2023-2024学年安徽省高一上学期期末模拟考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省高一上学期期末模拟考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，解答题，作图题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，则“”是 “方程与有公共解”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出两方程有公共解的充要条件是，再判断即可.
【详解】与有公共解即两条直线相交或重合，
当两直线相交时，，即，
当，显然两直线平行，不合题意，
所以“方程与有公共解”等价成，
由于是的充分不必要条件，
故选：A.
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数和增函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：设，显然该函数的定义域为全体实数，
因为，
所以该函数是奇函数，
当时，，显然此时该函数是增函数，
又因为该函数是实数集上的奇函数，所以该函数是实数集上的增函数，
因此本选项函数符合题意；
B：设，该函数是定义域为全体非零实数集，
因为，所以该函数一定不是增函数，
因此本选项函数不符合题意；
C：该函数定义域为全体实数，因为当时，，所以该函数不是奇函数，
因此本选项函数不符合题意；
D：设，该函数是定义域为全体非零实数集，
因为，所以该函数一定不是增函数，
因此本选项函数不符合题意，
故选：A
3．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解.
【详解】设，又，则有
由三角函数的有界性，知
，
所以．
故选：B．
4．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，确定函数的性质，再逐项分析判断作答.
【详解】由可得是偶函数，由可得是周期为的周期函数.
对于A，是奇函数，A不符合题意；
对于B，是奇函数，B不符合题意；
对于C，是偶函数，周期是，C不符合题意；
对于D，是偶函数，周期为，D符合题意.
故选：D.
5．已知函数的最小正周期为， 且，则
A．在单调递增B．在单调递增
C．在单调递减D．在单调递减
【答案】D
【分析】化简，再根据已知条件求出，逐项验证各选项.
【详解】，所以，
又知为奇函数，
，
，没有单调性，
选项A，C不正确，
，单调递减，
选项B不正确.
故选:D
【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，涉及三角函数的单调性、奇偶性、周期性，属于中档题.
6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角的概念以及三角函数的定义，可得和，再根据以及两角和的正弦公式计算可得答案.
【详解】∵角的终边按逆时针方向旋转后得到的角为，
所以由三角函数的定义，可得：
，，
∴，
故选：A.
7．已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，且，则的取值范围为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数图象，由图象得出函数单调性，再作直线，由直线与函数图象交点得满足的性质，再求得其范围．
【详解】作出函数的图象，如图，作直线，当时，直线与函数图象有四个交点，由图象知，，即，，
，，所以，
所以，由对勾函数性质知函数在上是减函数，所以时，．
故选：A．
【点睛】本题考查方程解的问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图象交点问题，作出函数图象与直线，利用数形结合思想得出解具有的性质，然后再求解.
8．下列四个命题中真命题的序号是（ ）
①“”是“”的充分不必要条件；
②若命题：“，”；命题：“，”，则为真命题；
③命题“，”的否定是“，”；
④命题“若，则”的逆否命题是真命题.
A．①②B．①③C．①④D．③④
【答案】B
【分析】根据充分不必要条件的含义可以判断①；对于②，首先解出对数不等式，可知正确，对于利用辅助角公式即可判断错误；对于③，利用命题否定的含义即可判断；对于④，首先举例可以说明原命题错误，利用逆否命题与原命题真假性关系即可求解.
【详解】对于①，解，可得或，则可以推出，但不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，①正确；，成立，则命题为真命题，，此时最大值为，则，不成立，则为假命题，则为假命题，②错误；根据全称命题的否定是存在命题可知，
命题“，”的否定是“，”正确，③正确；对于④，若，则，假设，时，命题显然错误，而逆否命题与原命题真假性相同，故
命题“若，则”的逆否命题是假命题，④错误.综上，①③正确.
故选：B
二、多选题
9．现有以下说法，其中正确的是（ ）
A．接近于0的数的全体构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
D．不大于3的所有自然数构成一个集合
【答案】BD
【分析】判断是否满足构成集合的元素的确定性，得到答案.
【详解】“接近于”，“高科技产品”不满足确定性，故A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性．
故选：BD
10．关于函数，以下说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数的最小正周期是
C．是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上单调递增
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性的定义可判断A项，根据正弦型函数的周期可判断B项，根据正弦型函数的对称性可判断C项，整体代入求解正弦型函数的单调性可判断D项.
【详解】解：对于A，，故函数不是偶函数，故A错误；
对于B，令，则函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，函数图象的对称轴方程为，即，
当时，，故C正确；
对于D，当时，，故函数在区间上单调递减，则在区间上单调递增，故D正确；
故选：BCD.
11．已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据函数图象可确定和最小正周期，由此可得，结合可求得，从而得到的解析式，根据可构造方程求得，由此可得可能的取值.
【详解】由图象可知：，最小正周期，，
，，解得：，
又，，，，
，
，解得：，
当时，；当时，.
故选：AD.
12．已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则
C．的最小正周期为4D．在上的零点个数最少为1012个
【答案】AC
【分析】根据题设及正弦型函数的对称性有，假设B中解析式成立，由得，进而验证解析式，令，，，作差求，进而求最小正周期，根据所得周期及正弦型函数的零点性质判断区间零点个数.
【详解】A，由题意在的区间中点处取得最大值，即，正确；
B，假设若，则成立，由A知，
而，故假设不成立，则错误；
C，，且在上有最大值，无最小值，
令，，，
则两式相减，得，即函数的最小正周期，故正确；
D，因为，所以函数在区间上的长度恰好为506个周期，
当，即，时，在区间上的零点个数至少为个，故错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知A=，B=，若B⊆A，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据子集关系列式可得结果.
【详解】∵A=，B=，B⊆A，
∴m≥2，
∴实数m的取值范围为．
故答案为：．
14．已知定义在上的函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数"：给出以下四个函数：
①；②；③；④
其中“函数”的序号为 .
【答案】②③
【分析】由题设“函数"的定义，可得在定义域上为减函数，再根据各项的函数解析式判断函数单调性，即可知属于“函数”的序号.
【详解】在上的函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数"
∴，可得，即，
∴函数为定义域上的单调递减函数，
①为单调递增函数；
②是单调减函数；
③是单调减函数；
④是偶函数，不是减函数，
∴四个函数中只有②③为“函数”.
故答案为：②③
15．函数，若的值域为，则的值为 .
【答案】
【分析】根据对数的性质可知，且最小值为，即可求得的值.
【详解】因为的值域为，所以，
函数的最小值为，即，解得，
故答案为：
【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.
16．设函数的定义域为R，且对任意实数恒有：①；②；③当时，.若在上恰有三个零点，则的取值范围为 ．
【答案】(3，5)
【分析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出.
【详解】因为，所以是偶函数， 由得，所以的周期是，
结合时，，得到函数在上的图象，
因为在上恰有三个零点，
所以，解得
所以的取值范围为．
故答案为：.
四、证明题
17．已知函数
（1）求；
（2）探究函数的单调性，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）在上单调递增
【分析】（1）将代入函数即可；
（2）根据函数单调性的定义，首先应在所给区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可；
【详解】解：（1），
（2）在上单调递增，
证明的定义域为，
任取且，
则，
在上单调递增且，
即，
在上单调递增．
【点睛】本题考查的是函数单调性及其证明，是基础题．
五、解答题
18．已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，.
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）由题意令即可求解；
（2）令，利用函数的奇偶性定理即可证明.
（3）利用函数单调性定义可得在上为减函数，利用函数的单调性以及函数为奇函数即可求解.
【详解】（1）解：定义在上的函数对任意实数、，恒有，
令，可得，从而.
（2）证明：定义在上的函数对任意实数、，恒有，
令，可得，
所以，故为奇函数.
（3）解：对任意、，且，则，于是，
则，所以，，
所以在上为减函数，故函数的最大值为，最小值为，
因为，，
，
所以在上的最大值为，最小值为．
六、作图题
19．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式，并画出图象；
(2)判断该函数的奇偶性和单调性；
(3)求不等式的解.
【答案】(1)，图象见解析
(2)偶函数，在上单调递减，在上单调递增．
(3)
【分析】（1）根据已知，应用待定系数法求参数，即可得解析式，再由指数函数的性质画出函数图象；
（2）应用奇偶性定义判断奇偶性，由指数函数性质判断单调性；
（3）数形结合求不等式的解集.
【详解】（1）由题意知，则，故，
∴，图象如图：

（2）∵，
∴，
为偶函数，
又，
∴在上单调递减，在上单调递增．
（3）由（1）图象知：，即不等式的解集为.
七、问答题
20．已知，且α是第二象限角.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据三角函数的同角关系求得，结合角的象限即可得出结果；
(2)利用诱导公式将原式化简即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以.
因为α是第二象限角，所以.
（2）.
21．已知函数，，.
(1)若，方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
(3)设，记为函数在上的最大值，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域；
（2）转化为在上，，分类讨论求的最大值，然后可得参数范围；
（3）根据绝对值的意义求得的表达式，然后由的单调笥得最小值．
【详解】（1），
因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上为减函数.

故的取值范围为.
（2）∵对任意的，总存在，使得，
∴在上，，
∵函数图象的对称轴是直线，又
∴当时，函数有最大值为，
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域，
∴，得，
∴；
③当时，在上的值域为，只需，∴.
综上，的取值范围为.
（3）函数为的对称轴为，
当或时，在上单调递增，
则；
当时，，
解，得，
故当，.
综上，.
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴时取最小值为.
22．已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设是锐角，，求的值.
【答案】（1）的最大值1和最小值；（2）
【解析】（1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式，将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解.
（2）由（1）得到，再由是锐角，得到，然后由，利用两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）函数，
，
，

因为，
所以 ，
所以，
所以的最大值1和最小值；
（2）由（1）知：，
若，则，
所以，
因为，不可能，
所以，
所以，
求，
.
【点睛】易错点点睛：本题容易忽视的范围，