2023-2024学年福建省三明市五县高一上学期期中联合质检考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省三明市五县高一上学期期中联合质检考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】由，解得或，所以或，
因为，所以.
故选：A.
2．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数D．是偶函数，且在上是减函数
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义判断，然后利用单调性的性质判断单调性即可求解.
【详解】函数定义域为R．又，
所以函数为奇函数，设，，函数单调递增，
设，则在上单调递减，故函数在R上是减函数.
故选：C.
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得，解得且．
故选：C
4．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.
【详解】因为，且是R上的增函数，
故，又，
故．
故选：D
5．已知函数在上单调递增，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求解即可.
【详解】由分段函数单调递增得，所以.
故选：D.
6．设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】考虑，两种情况，代入函数解不等式得到答案.
【详解】当时，，即，解得，
故；
当时，，即，解得，故.
综上所述：.
故选：B.
7．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ）
A．1B．3C．0D．
【答案】A
【解析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值.
【详解】令，解得或，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最小值，此时，
故选：A.
【点睛】思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤：
（1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标；
（2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象；
（3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）.
8．已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出，，，，然后利用基本不等式比较大小即可.
【详解】由题意可得，①，②，③，④，且，
由基本不等式的关系可知，，当且仅当时等号成立，
由①②得，，所以⑤，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
由②③得，，所以⑥，
又，当且仅当时等号成立，
由①④得，，所以⑦，综合⑤⑥⑦可得，.
故选：D.
二、多选题
9．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.
【详解】若命题:，成立，则，解得，
故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确.
故选：AD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集
B．“”是“”成立的充分不必要条件
C．命题，则
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】AC
【分析】根据分式不等式的解法可判断A，根据充分性和必要性的判断可判断AD，根据命题的否定可判断C.
【详解】对于A，由得，解得，
所以不等式的解集，故A正确，
对于B, 由“”不能得到“”，比如，故充分性不成立，故B错误，
对于C，命题，则，故C正确，
对于D，“”是“”的充分不必要条件，所以D错误，
故选：AC
11．已知正实数满足，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为3
C．的最小值为
D．的最小值为8
【答案】AC
【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由的范围结合单调性判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D.
【详解】正实数满足，
对于A，，则，即，
解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，A正确；
对于B，，则，解得，即，
当且仅当时取等号，所以的最小值为9，B错误；
对于C，由选项B知，，，
所以当时，取得最小值，C正确；
对于D，由，得，而，则，
，当且仅当时取等号，
由，解得，所以当时，取得最小值，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
12．对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（ ）
A．B．
C．，若，则D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据的值，分析每个选项，A项可以举出反例，B项可以在中找出存在令命题成立的一对实数，，C项根据，可以得到，属于相同区间，D项先解出的范围，再解出的取值范围.
【详解】对于A，，，所以A为假命题；
对于B，，，，所以B为真命题；
对于C，因为，所以，，所以，C为真命题；
对于D，解不等式，得或，所以不等式的解集为，D为真命题.
故选：BCD
三、填空题
13．已知幂函数的图像过点，则 ．
【答案】16
【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求.
【详解】由题意，，解得，故，则.
故答案为：
14．已知函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.
【详解】令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.
故答案为：
15．已知函数为上的奇函数，满足在为增函数，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性及单调性得到大概趋势，则分两种或讨论即可.
【详解】因为函数为上的奇函数，则，，
因为在为增函数，所以在上单调递增，作出函数的示意图如下：
由，得或即或，
由图知或或，
故不等式的解集为.
故答案为：.
16．已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先得到，然后根据当时，恒成立分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】，当时，单调递增，
所以当时，恒成立，
注意到，
所以由得在区间上恒成立，
令，
当时，，
当时，任取，
，
其中，，
，
所以，
所以在上递增，，
所以在区间上，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】含有参数的分段函数最值有关的问题，可先考虑没有参数的一段函数的最值，然后再结合这个最值考虑含有参数的一段函数，结合分离常数法以及函数值域的求法可求得参数的取值范围.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）解不等式：.
【答案】（1）208；（2）.
【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值即可；
（2）利用指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）原式.
（2）因为即，所以，
化简得，解得或，
故原不等式的解集为.
18．已知函数的定义域为集合，集合
(1)若，求；
(2)在① ② 这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解．
问题：若 ，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）由已知求得集合,,计算即可得出结果.
（2）选①等价于，分当， ，计算即可，选②时，分，，两类计算可得出结果.
【详解】（1）因为的定义域需满足，解得，即，
若，则, 或.
所以
（2）选①等价于
当时，等价于，即
当时，等价于，等价于．
综上所述，
选②的时候，若，等价于，即．
若，等价于
即无解．
综上所述，
19．已知.
(1)当时，若同时成立，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可；
（2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求.
【详解】（1）当时，，即，
，即，
若同时成立，则，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，
，
即，
①当时，，
若是的充分不必要条件，则，解得；
②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
20．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得a；
（2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论；
（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为恒成立，利用判别式求解即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，且，
，解得：，
，
，
，解得：；
当，时，，
，满足为奇函数；
综上所述：，；
（2）由（1）得：；
设，则，
，，，
，
在上为减函数；
（3）由得：，
又为上的奇函数，，
，
由（2）知：是定义在上的减函数，
，即恒成立，
所以只需，
解得，即实数的取值范围为.
21．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）；
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值15（万元）
【分析】根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分和当两种情况得到的分段函数关系式；(2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可．
【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元，
依题：当时，
当时，，
所以；
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，取得最大值15（万元），
因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元.
22．设函数，.
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，，，求实数a取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式求函数值域；
（2）将问题转化为的值域为值域的子集求解.
【详解】（1）∵，又∵，，
∴，当且仅当，即时取等号，
所以，
即函数的值域为.
（2）∵，
设，因为，所以，函数在上单调递增，
∴，即，
设时，函数的值域为A.由题意知，
∵函数
①当，即时，函数在上递增，
则，即 ，∴
②当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，
而且，不合题意，
③当，即时，函数在上递减，
则，即 ，满足条件的不存在，
综上所述，实数a取值范围为.
【点睛】对于双变量双函数类似，，的问题转化为值域包含值域的问题.