2023-2024学年湖南省岳阳市岳汨联考高一上学期11月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市岳汨联考高一上学期11月期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定方法判断作答.
【详解】命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定为：，．
故选：D
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式性质判断各命题的真假即可.
【详解】A：若时，不成立，假命题；
B：由不等式性质知，则，真命题；
C：若，则，假命题；
D：若，则，假命题；
故选：B
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解.
【详解】，所以，
所以3，
故选:C.
5．已知，则“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由关于x的一元二次方程没有实数根可得，然后利用充分条件、必要条件的定义即得.
【详解】由关于x的一元二次方程没有实数根，
可得，即，
由可推出，而由推不出，
所以“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的必要不充分条件.
故选：B.
6．已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性求解.
【详解】令在单调递增，单调递减，
所以函数在单调递减，单调递增，
故选:C.
7．已知奇函数在R上单调递增，且正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性以及单调性可得，即可根据不等式求解.
【详解】由于奇函数在R上单调递增，且正数m，n满足，
所以，
由于，所以，
当且仅当，即等号成立，
故选：D
8．设定义在R上的奇函数满足，对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性的定义，结合函数的单调性奇偶性解抽象函数不等式.
【详解】因为对任意、，且，都有，
所以函数在单调递减，
且，所以时，，时，，
又因为是定义在R上的奇函数，
所以，所以时，，时，，
所以由可得，或，解得，
故选:A.
二、多选题
9．设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据对数的运算求解.
【详解】对A，，A正确；
对B，，B正确；
对C，，C正确；
对D，，D错误；
故选:ABC.
10．下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．方程有一正一负根充要条件是“”
C．“幂函数为反比例函数”的充要条件是“”
D．“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”
【答案】BCD
【分析】根据集合间的关系可判断A；由一元二次方程根的分布结合韦达定理判断B；根据幂函数的性质及反比例函数的定义即可判断C；根据二次函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，由可得，故充分性成立，
由可得，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件，故A错误；
对于B，方程的有一正一负根，设为，
则，解得，满足充分性，
当时，，则方程有一正一负根，满足必要性，
所以方程有一正一负根充要条件是“”，故B正确；
对于C，若幂函数为反比例函数，则，解得，满足充分性，
当时，函数为幂函数，也为反比例函数，满足必要性，
所以“幂函数为反比例函数”的充要条件是“”，故C正确；
对于D：若函数在区间上不单调，则，
所以“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”，故D正确.
故选：BCD.
11．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则的最小值是9
C．的最小值为2D．若，则的最大值为4
【答案】ABD
【分析】根据不等式以及等号成立的条件结合选项逐一求解.
【详解】对于选项A：由，得，则，当且仅当，即时等号成立，所以，A正确；
对于选项C:，当且仅当，即时等号成立，又，所以不能等于2，选项C错误；
对于选项B：由，得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，选项B正确；
对于选项D：根据题意可得，，又，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为4，选项D正确．
故选：ABD．
12．已知函数，若满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若方程有三个不同的实根，则k的取值范围为
B．若方程有一个实根，则k的取值范围为
C．若，则M的取值范围为
D．若，则N的取值范围为
【答案】ACD
【分析】作出函数的图象，观察直线与的相交情况即可判断AB；记，观察图象求出e的范围，结合对称性化简，利用二次函数性质即可求M和N的范围，判断CD.
【详解】作出函数的图象如图，
由图可知，当或时，直线与有三个交点，
即方程有三个不同的实根，故A正确；
当或时，直线与有一个交点，
即方程有一个实根，故B错误；
记，则，
由对称性可知，，所以，
令得，结合图象可知，，，
所以，
由二次函数性质可得，C正确；
由上可知，，
由二次函数可得，，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数（，且）的图象过定点P，则P点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的性质确定函数所过的定点.
【详解】由指数函数性质知：当时，，故定点.
故答案为：
14．命题“，”为真命题，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】由题，命题“，”为真命题，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即取得等号，
所以，所以，
故答案为: .
15．已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ．
【答案】.
【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可.
【详解】因为不等式的解集为或，
所以，且和4为方程的两根，
故，得，
又，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】由题干分析函数是关于对称的函数，且在上单调递减，上单调递增.再通过距离对称轴的远近来比较函数值的大小即可.
【详解】由于是偶函数，则是关于对称的函数，
又因为是定义域为R，且在上单调递减，
所以函数的上单调递增.则根据增减性的特点，分析得到距离对称轴越近，函数值越大.由于
所以.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)若，求和；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，再由交并运算可得；
（2）由，得，分类讨论是否为，由包含关系建立不等式组求解可得.
【详解】（1）当时，集合，
集合，
∴，，
（2）∵，∴，
（1）当时，则，解得；
（2）当时，则，解得，
综上所述，或
即实数a的取值范围是．
18．已知指数函数在定义域内单调递减，二次函数的图象顶点的横坐标．
(1)求的取值范围；
(2)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据指数函数的单调性以及二次函数的性质、不等式的性质求解；
（2）作差法比较大小.
【详解】（1）由题在定义域R上单调递减，∴,
又因为二次函数顶点的横坐标,
∵，∴,
∴的取值范围为.
（2）由题∵
又∵，b同号且，所以
（i）当时，;
（ii）当时，.
19．已知函数是奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．
【答案】（1），；（2）上为增函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数有可得，再由可得；
（2）根据函数单调性定义法证明即可.
【详解】（1）∵是奇函数，
∴．
即，
比较得，.
又，
∴，
解得，
即实数和的值分别是2和0.
（2）函数在上为增函数．
证明如下：由（1）知，
设，
则，
，，，
∴，
∴，
即函数在上为增函数．
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的定义法证明，属于中档题.
20．已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法，解一元二次不等式，可得答案;
（2）换元，将不等式变为一元二次不等式在给定区间上恒成立的问题，列出相应的不等式组，求得答案.
【详解】（1）当时，即，
即，令 ，则，
解得 ，故 ，
所以关于的不等式的解集为 ；
（2）对，不等式恒成立，
即恒成立，
令 ，则恒成立，
需满足 ，即 ，
而函数 是单调递增函数，且 时， ，
故由可知： ，
即求实数的取值范围为 .
21．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数
(1)将利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
【答案】(1)
(2)当月产量为300台时，利润最大，最大值为.
【分析】（1）分和两种情况，求出函数解析式；
（2）在（1）基础上，分和，结合函数单调性求出最大值，得到结论.
【详解】（1）当时，，
当时，，
故；
（2）当时，，
故当时，取得最大值，最大值为；
当时，单调递减，故，
综上，当月产量为300台时，利润最大，最大值为.
22．已知函数，，，且函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为与有三个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案；
（2）转化为，对变形后得到其单调递增，求出，再分三种情况，求出的最大值，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）设,
有三个零点，即与有三个不同的交点，如图所示

则，即；
（2）对任意的，总存在，使得成立，
，
，
函数有三个零点，由，，
在上递增，
，
，
①若，即，则在上单调递增，
，
，解得，故，
②令，解得，
若，即，此时在处取得最大值，
，
由于恒成立，；
③若，即，此时在处取得最大值，
则，
，解得，；
综上可得：.