2023-2024学年内蒙古部分名校高一上学期期中联合考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古部分名校高一上学期期中联合考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】直接根据特称命题的否是是全称命题得到答案.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，
“，”的否定是：，.
故选：C．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解方程，再结合充分不必要条件定义判断即可.
【详解】由，解得或2，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“0”、“1”分析判断.
【详解】因为在上单调递增，且，则，即，
又因为在上单调递减，且，则，即，
又因为在上单调递减，且，则，即，
所以.
故选：B.
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
6．某工厂准备建造一个长方体无盖的蓄水池，其容积为7200立方米，深度为2米.已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为80元，则该蓄水池的最低造价为（ ）
A．793200元B．745800元C．739200元D．758400元
【答案】D
【分析】根据已知条件列式，再应用基本不等式求解即可.
【详解】设蓄水池底面长为米，宽为米，总造价为元，则，得.
根据题意可得.
因为，所以，
当且仅当时，等号成立.故该蓄水池的最低造价为758400元.
故选：D.
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值法排除即可求解.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，排除选项.
因为，所以排除选项.
当时，，则，排除选项D.
故选：C
8．已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解.
【详解】由题意知：，
可得，
且，即，
令，不妨设，可得，则，
即，所以在上单调递减，
则不等式，且，转化为，
因为，所以，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题
9．若幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据幂函数的定义求出幂函数的解析式，再把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.
【详解】由题意得，则，
所以过点，由，得．
故选：BC.
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形B．若，是任意实数，则
C．若是奇数，则是奇数D．若，，则
【答案】ACD
【分析】举反例得到B错误，根据定义判断AC正确，确定，，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题．
对选项B：当时，，则B是假命题．
对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇数，
则C是真命题．
对选项D：由，，得，则，则D是真命题．
故选：ACD.
11．已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】根据题意，令令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得，
再令，得到，可判定D正确.
【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有，
对于A中，令，得，所以A正确；
对于B中，令，得，则，所以B正确；
对于C中，令，得，
再令，得，
可得，所以C错误.
对于D中，令，得，则，
再令，得，则为奇函数，所以D正确.
故选：ABD.
12．已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】AB
【分析】根据题意，分别求得函数在两段区间上的单调性，画出函数图象，根据方程根的个数可知方程的两个不相等的实数根，满足，即可得，可得，即可得出结论.
【详解】当时，.
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由，得；
当时，单调递增，，如下图所示：
令，当或时，方程只有一解；
当时，方程有两解；
当时，方程有三解.
方程有四个不相等的实数根，
等价于关于的方程有两个不相等的实数根，，且.
令，
因为，所以，
即，得，此时，
故的取值范围为.
故选：AB
三、填空题
13．某校春季举办了一次田径运动会，某班有20名同学参赛，该学校秋季又举办了一次趣味运动会，这个班有25名同学参赛．已知该班级这两次运动会都参赛的有12人．则这两次运动会中，这个班参赛的同学有 人．
【答案】
【分析】直接根据集合的基本运算的定义得到答案.
【详解】这两次运动会中，这个班参赛的同学有人．
故答案为：.
14．已知正数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.
【详解】根据题意可得，得，当且仅当时，等号成立．
故的最大值为1．
故答案为：
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为100元，则此户居民本月用水量为 立方米.
【答案】20
【分析】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，设此户居民本月用水量为立方米，列出方程求解即可.
【详解】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，
设此户居民本月用水量为立方米，且，则，解得.
故答案为：20.
16．已知实数满足，则 .
【答案】36
【分析】根据函数单调性利用试根可求得，，即可得.
【详解】易知函数为增函数，
且，得；
由函数为增函数，且，得；
所以.
故答案为：36
四、计算题
17．（1）求值：.
（2）已知正数满足，求的值.
【答案】（1）3（2）
【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；
（2）根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：（1）原式.
（2）因为，所以.
所以.
五、解答题
18．已知关于x的不等式的解集是.
(1)若，求b，c的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据韦达定理即可求解；
（2）由（1）用表示，代入得一元二次不等式，即可求解.
【详解】（1）因为不等式的解集是，所以
所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知，所以不等式等价于不等式.
因为不等式的解集是，所以，
所以不等式等价于，
解得或，即不等式的解集是.
六、证明题
19．已知函数．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)证明：．
【答案】(1)为偶函数，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，即可证得函数的奇偶性，得出结论；
（2）当，根据不等式性质求出，再根据奇偶性得到结论．
【详解】（1）为偶函数.
的定义域为，关于原点对称，
因为
，
所以为偶函数．
（2）证明：当时，，，
则，，得，
．
又因为为偶函数，所以当时，，
故得证．
七、解答题
20．小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）
【答案】(1)，
(2)54天
【分析】（1）由题意可得，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；
（2）令，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）依题意可得，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，则.
（2）令，
得，
故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.
八、证明题
21．已知函数.
(1)求的值；
(2)设函数，证明：在上有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先计算得出，再分组求和得出函数值即可；
（2）先判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）
因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，
，
所以，
所以，即在上有且仅有一个零点.
九、解答题
22．已知函数且.
(1)若的值域为，求的取值范围.
(2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值.
【详解】（1）设函数的值域为，因为的值域为，所以.
当时，的值域为，符合题意.
当时，由，解得.
综上，的取值范围为.
（2）当时，，因为，所以不符合题意，舍去.
当时，，不符合题意.
下面只讨论的情况.
若，则在上单调递增，由，
解得，
此时，
得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.
若，则在上单调递减，
由，解得，
此时，
得，则当，即时，存在，符合题意.
综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.
每户每月用水量
水价
不超过12立方米的部分
4元/立方米
超过12立方米但不超过18立方米的部分
6元/立方米
超过18立方米的部分
8元/立方米