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    2023-2024学年内蒙古部分名校高一上学期期中联合考试数学试题含答案

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    2023-2024学年内蒙古部分名校高一上学期期中联合考试数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年内蒙古部分名校高一上学期期中联合考试数学试题含答案,共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,计算题,解答题,证明题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题
    1.已知集合,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】先解一元二次不等式,再根据交集定义计算即可.
    【详解】因为,所以.
    故选:B.
    2.“,”的否定是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】C
    【分析】直接根据特称命题的否是是全称命题得到答案.
    【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题,
    “,”的否定是:,.
    故选:C.
    3.“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】先解方程,再结合充分不必要条件定义判断即可.
    【详解】由,解得或2,所以“”是“”的充分不必要条件.
    故选:A.
    4.设,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“0”、“1”分析判断.
    【详解】因为在上单调递增,且,则,即,
    又因为在上单调递减,且,则,即,
    又因为在上单调递减,且,则,即,
    所以.
    故选:B.
    5.函数的零点所在的区间为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】先判断函数的单调性,再根据零点的存在性定理即可得解.
    【详解】因为函数在上都是增函数,
    所以在上单调递增,
    因为,所以的零点所在的区间为.
    故选:C.
    6.某工厂准备建造一个长方体无盖的蓄水池,其容积为7200立方米,深度为2米.已知池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为80元,则该蓄水池的最低造价为( )
    A.793200元B.745800元C.739200元D.758400元
    【答案】D
    【分析】根据已知条件列式,再应用基本不等式求解即可.
    【详解】设蓄水池底面长为米,宽为米,总造价为元,则,得.
    根据题意可得.
    因为,所以,
    当且仅当时,等号成立.故该蓄水池的最低造价为758400元.
    故选:D.
    7.函数的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值法排除即可求解.
    【详解】的定义域为,关于原点对称,
    因为,
    所以为奇函数,排除选项.
    因为,所以排除选项.
    当时,,则,排除选项D.
    故选:C
    8.已知定义在上的函数满足,对任意的,且,恒成立,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据题意,得到,令,推得在上单调递减,把不等式转化为,结合,得到,即可求解.
    【详解】由题意知:,
    可得,
    且,即,
    令,不妨设,可得,则,
    即,所以在上单调递减,
    则不等式,且,转化为,
    因为,所以,则,解得,
    所以不等式的解集为.
    故选:D.
    二、多选题
    9.若幂函数的图象过点,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】BC
    【分析】根据幂函数的定义求出幂函数的解析式,再把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.
    【详解】由题意得,则,
    所以过点,由,得.
    故选:BC.
    10.下列命题为真命题的是( )
    A.对角线相等的平行四边形是矩形B.若,是任意实数,则
    C.若是奇数,则是奇数D.若,,则
    【答案】ACD
    【分析】举反例得到B错误,根据定义判断AC正确,确定,,D正确,得到答案.
    【详解】对选项A:对角线相等的平行四边形是矩形,则A是真命题.
    对选项B:当时,,则B是假命题.
    对选项C:x是奇数,所以x不能被2整除,所以不能被2整除,即是奇数,
    则C是真命题.
    对选项D:由,,得,则,则D是真命题.
    故选:ACD.
    11.已知定义在上的函数,对任意实数,都有,则( )
    A.B.
    C.D.为奇函数
    【答案】ABD
    【分析】根据题意,令令,可判定A正确;令,可判定B正确;令,求得,再令,可判定C错误;令,求得,
    再令,得到,可判定D正确.
    【详解】由题意知,定义在上的函数对任意实数,都有,
    对于A中,令,得,所以A正确;
    对于B中,令,得,则,所以B正确;
    对于C中,令,得,
    再令,得,
    可得,所以C错误.
    对于D中,令,得,则,
    再令,得,则为奇函数,所以D正确.
    故选:ABD.
    12.已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根,则的取值可能为( )
    A.B.C.5D.
    【答案】AB
    【分析】根据题意,分别求得函数在两段区间上的单调性,画出函数图象,根据方程根的个数可知方程的两个不相等的实数根,满足,即可得,可得,即可得出结论.
    【详解】当时,.
    当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
    且函数在上单调递减,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    由,得;
    当时,单调递增,,如下图所示:
    令,当或时,方程只有一解;
    当时,方程有两解;
    当时,方程有三解.
    方程有四个不相等的实数根,
    等价于关于的方程有两个不相等的实数根,,且.
    令,
    因为,所以,
    即,得,此时,
    故的取值范围为.
    故选:AB
    三、填空题
    13.某校春季举办了一次田径运动会,某班有20名同学参赛,该学校秋季又举办了一次趣味运动会,这个班有25名同学参赛.已知该班级这两次运动会都参赛的有12人.则这两次运动会中,这个班参赛的同学有 人.
    【答案】
    【分析】直接根据集合的基本运算的定义得到答案.
    【详解】这两次运动会中,这个班参赛的同学有人.
    故答案为:.
    14.已知正数,满足,则的最大值为 .
    【答案】
    【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.
    【详解】根据题意可得,得,当且仅当时,等号成立.
    故的最大值为1.
    故答案为:
    15.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
    若某户居民本月交纳的水费为100元,则此户居民本月用水量为 立方米.
    【答案】20
    【分析】因为,所以此户居民本月用水量超过18立方米,设此户居民本月用水量为立方米,列出方程求解即可.
    【详解】因为,所以此户居民本月用水量超过18立方米,
    设此户居民本月用水量为立方米,且,则,解得.
    故答案为:20.
    16.已知实数满足,则 .
    【答案】36
    【分析】根据函数单调性利用试根可求得,,即可得.
    【详解】易知函数为增函数,
    且,得;
    由函数为增函数,且,得;
    所以.
    故答案为:36
    四、计算题
    17.(1)求值:.
    (2)已知正数满足,求的值.
    【答案】(1)3(2)
    【分析】(1)根据对数的运算性质计算即可;
    (2)根据指数幂的运算性质计算即可.
    【详解】解:(1)原式.
    (2)因为,所以.
    所以.
    五、解答题
    18.已知关于x的不等式的解集是.
    (1)若,求b,c的值;
    (2)求不等式的解集.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据韦达定理即可求解;
    (2)由(1)用表示,代入得一元二次不等式,即可求解.
    【详解】(1)因为不等式的解集是,所以
    所以.
    因为,所以.
    (2)由(1)可知,所以不等式等价于不等式.
    因为不等式的解集是,所以,
    所以不等式等价于,
    解得或,即不等式的解集是.
    六、证明题
    19.已知函数.
    (1)判断的奇偶性,并说明理由;
    (2)证明:.
    【答案】(1)为偶函数,理由见解析
    (2)证明见解析
    【分析】(1)根据函数奇偶性的定义,即可证得函数的奇偶性,得出结论;
    (2)当,根据不等式性质求出,再根据奇偶性得到结论.
    【详解】(1)为偶函数.
    的定义域为,关于原点对称,
    因为

    所以为偶函数.
    (2)证明:当时,,,
    则,,得,

    又因为为偶函数,所以当时,,
    故得证.
    七、解答题
    20.小钗计划开始学习国画,且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为,已知10天后小钗的国画学习值为1.22.(参考数据:取)
    (1)求的值,并写出的解析式;
    (2)当小钗的国画学习值达到2.89时,试问小钗已经坚持学习国画多少天?(结果保留整数)
    【答案】(1),
    (2)54天
    【分析】(1)由题意可得,进而结合指数与对数的相互转化求解即可;
    (2)令,结合对数的运算性质求解即可.
    【详解】(1)依题意可得,即,
    因为,所以,
    因为,所以,
    即,则.
    (2)令,
    得,
    故当小钢的国画学习值达到2.89时,小钢已经坚持学习国画54天.
    八、证明题
    21.已知函数.
    (1)求的值;
    (2)设函数,证明:在上有唯一零点.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【分析】(1)先计算得出,再分组求和得出函数值即可;
    (2)先判断函数的单调性,再结合零点存在定理即可得证.
    【详解】(1)因为,
    所以.
    (2)
    因为函数在上单调递增,
    函数在上单调递增,
    所以在上单调递增,
    又因为,

    所以,
    所以,即在上有且仅有一个零点.
    九、解答题
    22.已知函数且.
    (1)若的值域为,求的取值范围.
    (2)试判断是否存在,使得在上单调递增,且在上的最大值为1.若存在,求的值(用表示);若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)答案见解析
    【分析】(1)首先设函数的值域为,根据对数函数定义域和值域的关系,可得,讨论的取值,结合二次函数的性质,即可求解;
    (2)分,和三个大类讨论函数的单调性和最值,判断是否存在实数的值.
    【详解】(1)设函数的值域为,因为的值域为,所以.
    当时,的值域为,符合题意.
    当时,由,解得.
    综上,的取值范围为.
    (2)当时,,因为,所以不符合题意,舍去.
    当时,,不符合题意.
    下面只讨论的情况.
    若,则在上单调递增,由,
    解得,
    此时,
    得,即当时,存在,符合题意,当时,不存在符合题意的.
    若,则在上单调递减,
    由,解得,
    此时,
    得,则当,即时,存在,符合题意.
    综上,当或时,存在,符合题意;当时,不存在符合题意的.
    【点睛】关键点点睛:本题考查对数函数的值域,单调性,最值的综合应用问题,结合对数型复合函数单调性的判断方法,以及二次函数单调性的讨论,可由函数的单调性求函数的最值.
    每户每月用水量
    水价
    不超过12立方米的部分
    4元/立方米
    超过12立方米但不超过18立方米的部分
    6元/立方米
    超过18立方米的部分
    8元/立方米

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