2023-2024学年北京市顺义牛栏山第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市顺义牛栏山第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知全集，集合，则 ．
【答案】
【分析】利用补集的定义直接求解.
【详解】全集，集合，则.
故答案为：.
2．已知集合，，且，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据并集的运算性质，即可求解.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
3．“”的否定是 .
【答案】
【解析】根据全称命题的否定是特称命题解答即可.
【详解】由题意命题“”是全称命题，故它的否定是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
4．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得且，
故的定义域为.
故答案为：
5．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式由内而外逐层计算可得出的值.
【详解】因为，则，故.
故答案为：.
6．若，则 ．
【答案】11
【分析】根据指数的运算性质计算即可.
【详解】由，两边同时平方可得，所以.
故答案为：11
7．关于的方程的解为 ．
【答案】
【分析】由可得出，结合可求得的值.
【详解】由可得，即，
因为，可得，故.
所以，方程关于的方程的解为.
故答案为：.
8．若不等式的解集为或，则 ．
【答案】1
【分析】由题意可知：2，3是方程的两根，利用韦达定理运算求解.
【详解】由题意可知：2，3是方程的两根，
则，可得，所以.
故答案为：1.
9．写出成立的一个充分不必要条件 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】解不等式，结合集合的包含关系可得出结果.
【详解】解不等式可得或，
因为或，故成立的一个充分不必要条件为.
故答案为：（答案不唯一）.
10．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可得或，结合一元二次不等式分析求解.
【详解】由题意可知：或，
解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
11．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数及指数函数的性质求解.
【详解】当时，，则，而，满足；
当时，则，而，则；
当时，，则，而，则，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
12．已知二次函数，且，则 ．
【答案】0
【分析】当时，，当时， ，可知.
【详解】已知二次函数，且，
当时，，
当时，由，
，
，故.
故答案为：0
二、双空题
13．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为 ，此时 ．
【答案】 /
【分析】利用基本不等式求解即可．
【详解】，
当且仅当且，即时取等号，
则的最小值为，此时.
故答案为：，.
14．若函数，则的最小值为 ，此时 ．
【答案】
【分析】作出函数的图象，可得出函数的最小值及其对应的的值.
【详解】由可得，解得，
由可得，解得，
故，
作出函数的图象如下图中的实线部分所示：
由图可知，当时，函数取最小值.
故答案为：；.
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
【答案】 130. 15.
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
三、解答题
16．已知函数.
(1)在直角坐标系下，画出函数的草图（用铅笔作图）；
(2)写出函数的单调区间；
(3)若关于方程有个解，求的取值范围（直接写出答案即可）．
【答案】(1)作图见解析
(2)减区间为、，增区间为.
(3)
【分析】（1）根据函数解析式直接作出函数的图象；
（2）根据函数的图象可得出函数的增区间和减区间；
（3）分析可知，直线与函数的图象有三个公共点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：作出函数的图象如下图所示：
（2）解：由图可知，函数的减区间为、，增区间为.
（3）解：如下图所示：
当时，直线与函数的图象由三个公共点，
此时，方程关于方程有个解，故实数的取值范围是.
17．已知函数．
(1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)比较，的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由定义法证明函数的单调性；
（2）通过单调性比较函数值的大小.
【详解】（1）函数，任取，
，
由，，，，即，
所以函数在上单调递增.
（2），则，当且仅当，即时等号成立，
，
由，有，则，，
函数在上单调递增，所以.
18．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若函数是偶函数，求a值；
(3)证明函数不是奇函数．
【答案】(1)1
(2)0
(3)证明见解析
【分析】（1）利用二次函数的性质求解；
（2）利用偶函数的定义求解；
（3）利用奇函数的定义判断.
【详解】（1）当时，，
∵，∴当，即时，.
（2）若函数是偶函数，则，
∴，
∴，即，
得，则.
（3）函数的定义域为，
∵，，
∴，即，
∴函数不是奇函数.
19．已知函数．
(1)判断函数的单调性与奇偶性，直接写出答案；
(2)若，求；
(3)若，判断的符号并证明．
【答案】(1)函数在上为增函数，且为奇函数
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据指数型函数的单调性与函数奇偶性的定义直接判断可得出结论，然后结合单调性和奇偶性的定义证明即可；
（2）利用奇函数的性质可得出的值；
（3）判断出，由可得出，利用函数的单调性及奇函数的性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数在上为增函数，且为奇函数，理由如下：
任取、，且，则，所以，，，
则
，
所以，函数在上为增函数，
对任意的，，故为奇函数.
（2）解：因为，则，
又因为函数为上的奇函数，
故.
（3）解：，证明如下：
因为，则，
又因为函数在上为增函数，且为奇函数，
则，所以，.
20．已知参数k为非零实数，记与为关于x，y的方程组的两组不同实数解；记与为关于x，y的方程组的两组不同实数解．
(1)求证：，；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)0；
(3)0.
【分析】（1）由给定方程组消去y，再利用韦达定理列式即得.
（2）由（1）的结论，求出，再代入计算即得.
（3）由表示给定式子，再结合（1）（2）的信息计算即得.
【详解】（1）由消去y并整理得：，显然是此一元二次方程的两个根，
所以：，.
（2）由消去y并整理得：，显然是此一元二次方程的两个根，
于是，，由（1）知，，
所以.
（3）由（1）（2）知，，
所以
.
21．已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
(1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
(2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
(3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
【答案】(1)，集合A是的恰当子集；
(2)，或，.
(3)10
【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验；
（3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集，
【详解】（1）若，有，由，则，
满足，集合A是的恰当子集；
（2）是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，，满足题意；
时，，此时，，满足题意；
，或，.
（3）若存在A是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，
当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，
时，设，经检验没有这样的满足；
当时，设，经检验没有这样的满足；，
因此不存在A是的恰当子集，并且，
所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10.