2023-2024学年广东省揭阳市惠来县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市惠来县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
2．已知实数x，y，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合幂函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义判断结论.
【详解】因为函数在R上单调递增，
由，有，可得；
由，可得，即．
则“”是“”的充要条件．
故选：C.
3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；
B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；
C中，函数和 ，
则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；
D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确.
故选：C.
4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取，
对于A， ， 不成立.
对于B，， 不成立.
对于C， ， 不成立.
对于D， ，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5．已知函数，则的最小值为（ ）
A．－3B．C．－2D．
【答案】A
【分析】分别求出和时，函数的最小值，比较后可得结论．
【详解】时，，∴时，，
时，，当且仅当时等号成立，
又，所以，
故选：A．
6．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性及，比较出大小关系.
【详解】因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
7．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.
【详解】在上单调递减，，解得，
故选：C
8．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得的解析式，判断出在区间上的单调性，由此列方程组来求得正确答案.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以.
因为当时，，所以当时，，
所以，
则当时，单调递减，
设，由，
得，
解得，
所以在区间内的“8倍倒域区间”为.
故选：D
【点睛】求解有关“新定义”函数问题的解题策略是：理解辨析题目所给“新定义”，将新的问题，转化为学过的知识来进行求解.如本题中，将“8倍倒域区间”转化为函数的单调性与最值来进行求解.
二、多选题
9．下列命题中是假命题的是（ ）
A．函数的图象是一条直线
B．是函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．与是同一个函数
【答案】ABD
【分析】由函数的定义域可知函数图象是离散的点，判断选项A错误；由函数的定义可判断选项BCD.
【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，
所以其图象是由离散的点（整点，横坐标和纵坐标都是整数）组成的，故选项A错误；
对于选项B，因为要使与有意义，则，不等式组无解，
所以由函数的定义可得不是函数，故选项B错误；
对于选项C，由函数定义可知：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，
故函数的图象与直线的交点最多有1个，故选项C正确；
对于选项D，因为函数的定义域为，函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项D错误.
故选：ABD..
10．设，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式求解判断即可.
【详解】对于A，因为，，，则，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确；
对于B，因为，则，
由A知，，则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为9，故C正确；
对于D，，
由A知，，则，
则，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故D错误.
故选：AC.
11．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上单调递增
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法及奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；结合奇偶性和单调性的性质可判断D选项.
【详解】由题意，定义在上的函数满足，
对于A，令，则，即，故A正确；
对于B，令，则，即，
所以为奇函数，故B正确；
对于C，任取，且，
则，
因为，所以，所以，
即，所以函数在上单调递减，故C错误；
对于D，由，可得，
由C知函数在上单调递减，所以，
解得，所以的解集为，故D正确.
故选：ABD.
12．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
其中“有界函数”是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】BC
【分析】利用分离常数法，换元法，二次函数的性质，分别求出四个函数的值域，即可得加绝对值的值域，结合有界函数的定义即可得正确选项.
【详解】对于（1）：，
由于，所以，，不存在正数，使得成立，不满足题意；故不是有界函数；
对于（2）令，，则，
因为，当时，函数的最大值为，
所以，即，，为有界函数；
对于（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以，故函数为有界函数；
对于（4）令， ，则，即，，
当时，，无最小值，即，，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数．
故选：BC.
三、填空题
13．用列举法表示= ．
【答案】
【分析】根据元素的性质得到，通过列举法表示即可.
【详解】由题，为自然数，且为自然数，则可以为1，2，3，6，
即可取到2，3，4，7，
故集合为，
故答案为：
14．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.
【详解】当时，不等式对一切实数都成立，
所以成立；
当时，由题意得解得：；
综上所述：.
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 .
【答案】/20立方米
【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.
【详解】设用水量为立方米，水价为元，
则，
整理得到：，
当时，；时，；
故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，
令，则（立方米），
故答案为：.
16．设矩形的周长为20，把三角形沿向三角形折叠，折过去后交于点P（如图所示），则三角形的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意设，，利用平面几何知识表示出，进而求得，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意可设翻折后B点的位置为,
因为矩形周长为20，设，
则 ，由翻折可知，即有,
而,故 ，
,设 ，则，
在中，由勾股定理得： ，
则 ，
，即， ，
则，
，当且仅当时取等号，
，即三角形的面积的最大值为，
故答案为：.
四、解答题
17．设全集，集合，集合.
(1)若，求与；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）当时，可得，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）当时，可得，
因为集合，
则
又由或，
则或或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得，
因为，，
可得且等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围为.
18．（1）已知关于的不等式的解集为，求函数在区间上的最小值和最大值；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）答案见解析.
【分析】（1）通过根与系数的关系求出、的值，再由二次函数的单调性求出函数在上的最小值和最大值；
（2）根据一元二次方程两根的大小分类讨论进行求解即可.
【详解】解：（1）由题意，方程的两个根为、，
由韦达定理可得，则，
函数的对称轴为直线，则在上单调递增，
则，，
故函数在区间上的最小值为，最大值为；
（2）由，得.
①当时，即时，原不等式的解为；
②当时，即时，原不等式即为，原不等式无解；
③当时，即时，原不等式的解为.
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
19．已知函数
(1)求的值；
(2)请在答题卡给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象直接写出函数的定义域、值域、单调递增区间、单调递减区间；
(3)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，的图象与的图象相同，试求出函数在上的解析式.
【答案】(1)
(2)作图见解析，定义域为，值域为，单调递增区间为，单调递减区间为，，
(3)
【分析】（1）根据函数的解析式，代入准确运算，即可求解；
（2）作出函数的图象，结合函数的图象，写出函数的性质；
（3）根据题意，结合函数的奇偶性，求得上的解析式，再由，即可求解.
【详解】（1）解：因为，所以.
（2）解：由题意，作出函数的图象，如图所示：
可得函数的定义域为，值域为 ，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，，.
（3）解：由题意，当时， ，
当时，则，所以，
因为是上的奇函数，则，
又因为，令，可得，
综上，函数的解析式为.
20．已知函数是定义在上的函数.
(1)判断函数的奇偶性并给出证明；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义及判断方法，即可求解；
（2）利用单调性的定义，结合作差法，即可证明；
（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解.
【详解】（1）解：是奇函数，
理由如下：
由于的定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数为定义域上的奇函数.
（2）证明：由题意，，且，
则，
因为，可得，
所以，即，
所以函数在区间上为单调递增函数.
（3）解：因为为定义域上的奇函数，
由，可得，
又因为函数在区间上单调递增，所以，
可得，解得，所以实数的取值范围是.
21．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.
【答案】（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.
【分析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利.
（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；
方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.
比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.
【详解】（1）由题意得：

由得即，
解得
由，设备企业从第3年开始盈利
（2） 方案一总盈利额
，当时，
故方案一共总利润，此时
方案二：每年平均利润
，当且仅当时等号成立
故方案二总利润，此时
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.
22．已知二次函数的最小值为1，且.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，再由得，从而得解；
（2）由题意得，解之即可得解；
（3）将问题转化为在区间上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为，
又函数的最小值为，可设，
又因为，可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，
则满足，解得，
故实数的取值范围为.
（3）由函数，
若在上，恒成立，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则开口向上，对称轴为，
又在上恒成立，即，
当，即时，在上单调递增，
则，解得，则；
当，即时，
，解得，则；
当，即时，在上单调递减，
，解得（舍去）；
综上，实数的取值范围为．
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/