2023-2024学年广东省湛江市第二十一中学高一上学期期中考试数学含答案

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考试时间：120分钟，满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集的概念运算即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D.
2. 命题“，使得”的否定是（）
A. ，均有B. ，均有
C. ，有D. ，有
【答案】B
【解析】
【分析】依据命题的否定的书写即可
【详解】根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“，均有”，
故选：B
3. 已知函数，则（）
A. B. 9C. 81D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由，即可得到本题答案.
【详解】由题，得，
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查利用分段函数求函数值，属基础题.
4. 已知函数是奇函数，当时，，则=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的定义运算求解.
【详解】因为函数是奇函数，所以.
故选：B.
5. 已知偶函数在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性和奇偶性即可比较大小.
【详解】解：因为为偶函数
所以
因为在上单调递增
所以
即
故选：A.
6. 函数的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分段去绝对值得出函数解析式即可得出图象.
【详解】，A选项的图象符合.
故选：A.
7. 已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.
【详解】∵是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，
∴在区间上单调递减，且，
∴当时，，
当时，，
综上所述，的取值范围是.
故选：C.
8. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数，都有成立，
是上的减函数，
，解得，
实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是（）
A. 赵红出生时的体重为B. 赵红的体重随年龄的增长而增加
C. 赵红25岁之后，体重不变D. 赵红体重增加最快的时期是0-15岁
【答案】AD
【解析】
【分析】根据体重与年龄的变化关系，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A：由图，0岁体重为4千克，即赵红出生时的体重为，正确；
B：在25-50岁之间体重没有增加，故赵红的体重随年龄的增长而增加，错误；
C：50岁之后体重有下降趋势，故赵红25岁之后，体重不变，错误；
D：0-15岁体重平均每年增加千克，15-25岁体重平均每年增加千克，故赵红体重增加最快的时期是0-15岁，正确.
故选：AD
10. 下列各组函数是同一函数的有（）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数的定义判断.
【详解】A. 的定义域为，的定义域为R，故错误；
B. 的定义域为R，的定义域为R，故正确；
C. 的定义域为，的定义域为R，故错误；
D. 由，解得，故定义域，
由，得，故定义域为，故正确.
故选：BD
11. 下列条件中，的必要不充分条件是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的基本概念可以得到答案.
【详解】对于选项A，由不能推出，由可以推出，所以是的必要不充分条件.
对于选项B，由不能推出，由可以推出，所以是的必要不充分条件.
对于选项C，由不能推出，由也不能推出，所以是的既不充分也不必要条件.
对于选项D，由不能推出，由也不能推出，所以是的既不充分也不必要条件.
故选：AB
12. 已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（）
A. B. 的最小值为36
C. D. 的最小值为16
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式以及基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由两边同除以得，A错误；
因为，即，所以，
当且仅当，时取得等号，B正确；
由得，因为，所以，
因为当且仅当时取得等号，
且，
又因为上述过程可得，当且仅当，时取得等号，
取等条件不一致，所以，C正确；
，
当且仅当，即也即时取得等号，D正确，
故选:BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域.
【详解】函数的定义域需满足，解得：且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14. 函数在区间上的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】函数，二次函数的开口向上，对称轴为，且
所以函数在单调递减，在上单调递增，所以.
故答案为：1
15. 如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
16. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意，，
①若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以；
②若，则不等式无解，不满足题意；
③若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以.
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知且，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将集合化简，结合并集的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由交集以及补集的运算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，且，
则.
【小问2详解】
由（1）可知，，则，
，所以.
18. （1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数，且满足.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解；
（2）根据题意利用构建方程组法运算求解；
（3）根据题意利用待定系数法运算求解
【详解】（1）令，则，
可得，
所以；
（2）因为，可得，
即，消去可得；
（3）设，
因为，即，
整理得，
所以，解得，
所以.
19. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．
（1）作出时，函数的图象，并写出函数的增区间；
（2）求的解析式.
【答案】（1）图象见解析，增区间是，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数图象的对称性，作出时函数的图象，再由图象写出的增区间；
（2）利用偶函数定义求解析式即可.
【小问1详解】
因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，
作出时，函数的图象如图所示：
由图可知，的增区间是，.
【小问2详解】
因为是偶函数，则，
由题意，当时，，
则当时，，，即，
所以.
20. 已知函数是定义在R上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上单调递减.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出，得到解析式；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，
所以，所以，则，
此时，所以，解得，
所以；
【小问2详解】
证明：，且，
则，
∵
∴，，则，
又
∴，即，
所以在上单调递减.
21. 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
【答案】（1）；（2）每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
【解析】
【分析】（1）因为利润=收益—成本，这样就可以直接写出函数表达式；
（2）分段函数求最大值，两者大者为所求利润的最大值.
【详解】(1)设每月产量为台，则总成本为.又，
(2)当时，，所以当时，有最大值12 500；
当时，是减函数，.
所以当时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
22. 设函数的定义域为，并且满足，，且当时，.
（1）求的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果，求取值范围.
【答案】（1）.
（2）为奇函数.
（3）.
【解析】
【分析】（1）令，结合已知条件即可求.
（2）令代入已知等量关系式中，结合奇偶性定义即可判断函数的奇偶性.
（3）由题设得，则原不等式可转化为，再根据已知条件及单调性定义判断单调性，进而由单调性解不等式.
【小问1详解】
令，则，可得.
【小问2详解】
令，有，即，又定义域为，
∴为奇函数.
【小问3详解】
由题设，，则可转化为，
令，则，且，
∵当时，，
∴，即，故为增函数，
综上，，解得.