2023-2024学年江苏省泰州中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省泰州中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由交集的运算法则即可求得.
【详解】由即可得.
故选：D.
2．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据偶次根式下非负以及分母不为0列出不等式组，解出即可得定义域.
【详解】要使函数有意义，
需满足，解得且，即函数的定义域为，
故选：C.
3．函数，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式，代入即可.
【详解】，.
故选：B.
4．下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】判断两个函数是否为同一个函数时，需满足定义域相同，对应关系相同.
【详解】A选项中，定义域为，的定义域为，
定义域不同，所以不是同一个函数，A错误；
B选项中，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，所以不是同一个函数，B错误；
C选项中，中，，解得：或，
即的定义域为，中，解得，
即的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，C错误；
D选项中，与的定义域均为，
且 ，所以与是同一个函数，所以D正确.
故选：D
5．已知，则等于（ ）
A．6B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】对两边同时平方，即可得出答案.
【详解】由可得：，
则.
故选：C.
6．函数，且，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由题意求出，则，令，结合即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
令，得，又，所以.
故选：A
7．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数，其中是一个无理数）
A．1085B．2085C．2869D．8686
【答案】A
【分析】由题意可知以内的素数的个数为，计算即可得到答案.
【详解】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，
则以内的素数的个数为
==
=2500，
故选:A.
8．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以
所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，
因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以

故，
故选：B
【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果.
二、多选题
9．设，若，则实数的值可以为（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】根据一元二次方程解得集合，结合交集的结果，利用分类讨论思想，可得答案.
【详解】，由，则，
当时，方程无解，则；
当时，即，方程的解为，可得或，解得或.
故选：ABC.
10．若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用基本不等式判断ABC；利用二次函数求最值判断D.
【详解】若，且，则有：
对于选项A：因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确；
对于选项B：因为，
当且仅当即时，等号成立，所以，故B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，
可得，所以ab有最大值，故C错误；
对于选项D：，
因为，所以，所以当时，有最小值，故D错误；
故选：AB.
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．
C．当时，
D．对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立.
【答案】ABD
【分析】判断的正负即可判断A；判断与2的关系即可判断B；通过，判断及的单调性；根据复合函数单调性即可判断在上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及在上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D.
【详解】因为，所以，即恒成立，
所以函数的定义域为R，故选项A正确；
，
所以，故选项B正确；
因为，
且函数在上单调递增，又有在上单调递减，
所以在上单调递减，所以，
且x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷，所以，故选项C错误；
记函数，由选项A知的定义域为R，
且，所以是奇函数，
因为，且函数在上单调递增，
又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，
因为是奇函数，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减，且，所以在R上单调递减，
所以对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立，故选项D正确.
故选：ABD
12．已知函数，若存在，使得，则称为函数的稳定点.下列函数中，有且只有一个稳定点的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据稳定点定义逐个判断各个选项即可；
【详解】对于A: ,,只有一个稳定点,A选项正确；
对于B: ,,只有一个稳定点,B选项正确；
对于C: ,,j结合函数图像只有一个交点即只有一个稳定点,C选项正确；
对于D: ,,有两个稳定点,D选项错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．命题“对，都有”的否定是 .
【答案】，使得；
【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得解；
【详解】解：命题“对，都有”为全称量词命题，
其否定为存在量词命题，故其否定为：，使得
故答案为：，使得
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
14．幂函数在上为减函数，则实数的值为 .
【答案】0
【分析】根据幂函数的定义和性质即可得解.
【详解】因为幂函数在上为减函数，
所以，解得.
故答案为：
15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质计算可得.
【详解】因为奇函数满足当时，，
所以.
故答案为：
16．命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的 .（在“充分不必要条件､必要不充分条件､充要条件､既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）
【答案】必要不充分条件
【分析】别求出命题为真命题的条件，然后根据必要条件，充分条件的判断即可求解.
【详解】因为命题在单调增函数，
当时，，满足题意；
当时，则有，解得；
综上：，
又因为命题在上为增函数，
则有，解得，
若命题Q成立，则命题P一定成立，反之则不一定成立，
所以P是Q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分条件.
四、解答题
17．已知集合.
(1)求；
(2)若集合，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式求解集合A，然后利用交集运算求解即可；
（2）利用交集为空集建立不等式求解即可.
【详解】（1），，
；
（2），，
，或，
解得或，即的取值范围是.
18．计算：
(1)；
(2)不等式的解集为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)实数的值分别为3，2
【分析】（1）利用指数幂的运算和对数运算性质化简求值即可；
（2）根据解集得为方程的两根，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）.
（2）因为不等式的解集为，
所以为方程的两根且，
由根与系数的关系得，解得，所以实数的值分别为3，2.
19．已知幂函数，其中，满足：①是区间上单调递增；②对任意的，都有.
(1)求同时满足①，②的幂函数的解析式；
(2)判断函数在定义域内的单调性并用函数单调性的定义证明．
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）根据幂函数的单调性，奇偶性进行求参数即可；
（2）利用定义证明幂函数的单调性即可.
【详解】（1）由函数是区间上单调递增得，得，而，得或.
当时，对任意的，都有；
当时，对于，不恒成立.（舍）
所以，
（2）设任意，且，，
由，故，，显然不会同时成立，
故，于是，即，
在R上单调递增，为增函数
20．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，
(1)现已画出函数在轴左侧的图象，请将函数的图象补充完整，并写出函数的解析式和单调减区间；
(2)若函数，求函数的最大值.
【答案】(1)图象见解析，，单调递减区间为和
(2)
【分析】（1）利用偶函数性质将图象补充完整，根据偶函数性质求解的解析式，通过图象求单调减区间；
（2）分类讨论求解函数的最大值.
【详解】（1）如图所示，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，
当时，则，因为函数为偶函数，所以，
所以函数的解析式为，
可得的单调递减区间为和；
（2）当时，，
可得其对称轴的方程为且开口向上，
①当时，即时，；
②当时，即时，，
综上可得，.
21．第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件.
(1)写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本）
(2)求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)30千件，850万元
【分析】（1）先由求得，再由利润销售总额-总成本建立函数模型求解；
（2）根据二次函数的性质及基本不等式分别求出分段函数的最值，比较大小即可得结论.
【详解】（1）由题意知，当时，，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为850；
当时，由基本不等式得，
当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为755；
因为，所以当年产量为30千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为850万元.
22．对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”.
(1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）
(2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由；
(3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围.
【答案】(1)既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”
(2)不是，理由见解析
(3)
【分析】（1）（2）根据所给定义判断即可；
（3）首先由在上恒成立，求出的取值范围，依题意存在实数使得，分、、三种情况讨论，分别结合方程有解求出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）对于，则，
又函数在定义域上单调递增，
所以不存在使得，即不是“弱偶函数”，
若存在使得，即，
即，又，当且仅当，即时取等号，
所以方程无解，故不存在使得，
即不是“弱奇函数”，
综上可得既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”.
（2）假设为其定义域上的“弱奇函数”，则，
若，则，则，舍去；
若，则，则，舍去；
若，则，则，舍去；
从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”.
（3）由在上恒成立，
转化为在上恒成立，即.
因为为其定义域上的“弱奇函数”，
所以存在实数使得，
当时，则，所以，即，
所以，，
即在有解可保证是“弱奇函数"，所以，又因为，所以；
当时，，此时，不成立；
当时，则，所以，则，
即，即在有解可保证是“弱奇函数”，
所以，由可知；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.