2023-2024学年江苏省盐城市响水中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市响水中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图确定阴影部分表示的集合为，根据集合的补集以及交集运算，即可求得答案.
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，
而或，故，
故选：A
2．已知函数，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】先求解，再求解，结合分段函数解析式即得解
【详解】由题意，
故选：A
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件
C．充要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】由得，
所以，
所以是的必要不充分条件.
故选：D
4．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性判断.
【详解】因为，，，
又，在上单调递增，
所以．
综上，．
故选：A．
5．在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（ ）

A．28B．38C．60D．100
【答案】B
【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可.
【详解】设要经过天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍，
则，即，
则
.
故选：B.
6．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解.
【详解】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D.
由题得，所以排除选项C.
故选A
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．18D．24
【答案】D
【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】，所以，
因为a，b为正数，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
8．定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“中心捺函数”的定义以及函数的单调性、奇偶性，化简不等式，求得，进而求得正确答案.
【详解】对任意，都有，
则在上单调递减.
函数是以为中心的“中心捺函数”，
所以函数在上单调递减，则在上单调递减，
且关于对称，即是奇函数，
所以，即，
所以，
若，则，没有意义，
若，则，没有意义，
所以且，
由两边除以得，
解得，所以，
所以.
故选：C
【点睛】函数的单调性的定义有多种形式，如：任取，通过计算得到，即可判断出函数函数的单调性；也可以形如：或等形式，也可以判断出函数的单调性.
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．，B．是的充分不必要条件
C．,D．若，则
【答案】AC
【分析】逐一分析探讨各选项在满足给定的条件时，对应结论是否成立，再作出判断并作答.
【详解】对于A选项：时，，即命题，正确，A正确；
对于B选项：时，或，即有，却不一定有，B不正确；
对于C选项：因，当且仅当x=0时取“=”，而，即命题,正确，C正确；
对于D选项：因，则，即命题若，则不正确，D不正确.
故选：AC
10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有3个单调区间B．当时，
C．函数有最小值D．不等式的解集是
【答案】BC
【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.
【详解】解：当时，，因为时，
所以，又因为是定义在上的偶函数
所以时，
即
如图所示：
对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；
对B，由上述分析知，当时，，故B正确；
对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；
对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.
故选：BC.
11．下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象过定点
B．已知，则
C．已知正数满足，则上的最小值为
D．为偶函数
【答案】BCD
【分析】根据指数型函数过定点、对数运算、基本不等式、函数的奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以定点为，A选项错误.
B选项，，
所以，所以B选项正确.
C选项，
，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，的定义域是，
，
所以是偶函数，D选项正确.
故选：BCD
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，函数，以下结论正确的是（ ）
A．在上是增函数B．是偶函数
C．是奇函数D．的值域是
【答案】ACD
【解析】先将函数分离常数，结合指数函数的性质得到单调性和值的分布，再利用奇偶性定义判断奇偶性，根据性质或特殊值法排除，逐一判断选项的正误即可.
【详解】函数，定义域为R，
又指数函数是单调递增的，可知是单调递减的，取值为，
故是单调递增的，值域为，故A正确；
当时，，当时，，
故的值域是，D正确；
又，故是奇函数，即C正确；
因为，故，，故，即，故不可能是偶函数，B错误.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题解题关键在于读懂题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的性质，突破难点.
三、填空题
13． .
【答案】
【分析】根据指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，解得且，
所以的定义域为.
故答案为：
15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析各段函数的的单调性，还需在左侧的函数图象不高于右侧的函数图象，即可得到不等式组.
【详解】二次函数的对称轴为，
又由函数的减区间为，增区间为，
若函数在上单调递增，有，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：
16．设表示函数在闭区间上的最大值.若正实数满足，则正实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据的表达式，画出其图象，根据图象，分和两种情况讨论，结合图象得在区间的最大值即可列不等式求解.
【详解】函数的图像如下：

的对称轴为，；当时，，
分类讨论如下：
（1）当时，，,
依题意，，而函数在时是增函数，此时，，故不可能；
（2）当时，，
依题意，，即，
令，解得：，
则有：并且，解得：；
或者并且，无解；
综上：
故答案为：
四、解答题
17．已知幂函数为偶函数
(1)求幂函数的解析式；
(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据幂函数和偶函数的定义可求结果；
（2）先求解的解析式，结合二次函数知识可得实数的取值范围.
【详解】（1）依题意有：，
解得或；
又函数为偶函数，则，
所以.
（2）；
由题知：或，
所以或.
18．已知全集
(1)求
(2)若且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得.
（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）由得，解得，所以，
由于或，
所以.
（2）因为，所以，
当时，，解得，此时符合题意；
当且时，
，解得
综上所述：的取值范围是
19．设，命题；命题.
(1)若为真命题，求的最大值；
(2)若一真一假，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）为真命题等价于，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；
（2）分别求出为真命题时的范围，再分真假和假真两种情况讨论即可.
【详解】（1）为真命题等价于，，
，
当且仅当，即时取到等号，
所以的最小值为，
因此，所以，
故的最大值是；
（2）一真一假，
当为真命题时，，所以或，
若真假，则，解得，
若假真，则，解得，
综上可知，的取值范围是.
20．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，
（2）若选条件①，求出抛物线的对称轴，分，和三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范围，若选条件②，则，由抛物线的性质可得或，从而可求出a的取值范围.
【详解】（1）当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
∴函数在区间上的值域为．
（2）方案一：选条件①．
由题意，得．
若，即，则函数在区间上单调递增，
∴，解得，
又，∴a＝4．
若，即，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，
解得，∴．
若，即，则函数在区间上单调递减，
∴，
解得，又，∴a＝－4．
综上所述，实数a的取值范围为．
方案二：选条件②．
∵，，
∴，
∵函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．
∴或，解得或，
∴．
故实数a的取值范围为．
21．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.
【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；
（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】解：（1）是定义在R上的奇函数，
，从而得出，
时，，
；
（2）是R上的增函数，证明如下：
设任意，且，
，
，，，，
，
是在上是单调增函数.
，
又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，
，
，；
（3）假设存在实数k，使之满足题意，
由（2）可得函数在上单调递增，
，
，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，
令，即方程有两个不等的正根，
于是有且且，
解得：.
存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数单调性的判断和性质应用，考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力.
22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可得出关于、的等式组，即可求得这两个函数的解析式；
（2）利用指数的运算性质可证得结论成立；
（3）设，可得出，问题转化为求函数，的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得的表达式.
【详解】（1）解：由性质③知，所以，
由性质②知，，，所以，
即，解得，.
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.
（2）证明：由（1）可得：
.
（3）解：函数，设，
由性质①，在是增函数知，当时，，
所以原函数即，，
设，，
当时，在上单调递减，此时．
当时，函数的对称轴为，
当时，则，在上单调递减，此时，
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
当时，即时，在上单调递减，此时．
综上所述，.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.