2023-2024学年辽宁省大连市一0三中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市一0三中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别解不等式得集合A，B，再求并集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
2．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.
【详解】因为，所以．
故选：B
4．正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正实数，满足，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值是.
故选:B.
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式判断奇偶性排除B，再由函数值的符号可排除AD，即可得解.
【详解】因为定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数为偶函数，故排除B选项，
令可得，当或时，，故排除AD.
故选：C
6．已知函数对任意，且，都有成立，若，，则之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得是增函数，再根据，即可求出答案.
【详解】由对任意，且，都有，可得是增函数，
再由，
所以，
所以.
故选：A.
7．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围
【详解】解：，
当时，在上单调递增，
所以，此时，
当时，由，
当且仅当，即 时取等号，
因为在上单调递增，
若的值域为，则有，即，则，
综上，，
所以实数的取值范围为
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题
8．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围.
【详解】解：由，可得或，
由，即，得，，
当，即时，不等式的解为，
此时不等式组的解集为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
当，即时，不等式的解为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
二、多选题
9．已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，对集合是否为空集进行分类讨论，再对参数利用元素与集合间的关系进行分类计算即可.
【详解】将整理可得，
由可得，当时，可知，此时满足题意；
当时，可知，则易知，；
又，所以是方程的根；
即，所以，解得或；
经检验符合题意；
综上可知，或或.
故选：ABD
10．下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．若，，则
C．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
D．函数与函数为同一个函数
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用作差看法可判断B选项；由存在量词命题的真假求出实数的取值范围，可判断C选项；利用函数相等的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但，故等号不成立，即函数的最小值不是，A错；
对于B选项，若，，
则，故，B对；
对于C选项，若命题“，”为假命题，即方程无实解，
所以，，解得，C对；
对于D选项，对于函数，有，解得，
对于函数，有，解得或，
所以，函数的定义域为，函数的定义域为，
这两个函数的定义域不相同，故这两个函数不是同一函数，D错.
故选：BC.
11．给出以下四个结论，其中正确结论是（ ）
A．若关于x的方程有负根，则
B．函数（其中，且）的图象过定点
C．函数单调递增区间是
D．若，则的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对于A：即存在使方程成立，列出方程组解得a的范围即可；对于B：令指数位为0，真数位为1即可求得定点；对于C：先求函数定义域，然后根据复合函数单调性的判定方法求解；对于D：先化同底，然后分类讨论求得答案.
【详解】对于A：即存在使方程成立，当时，，即，解得，故A正确；
对于B：令，解得，代入得，所以B正确；
对于C：，设，
则在上单调递减，又因为外函数在上单调递减，
则根据复合函数单调性的判定方法得单调增区间为，故C错误；
对于D： ，当时，，无解；当时，，即的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
12．已知，若定义域为R的满足为奇函数，且对任意，，均有．则（ ）
A．的图象关于点对称
B．在R上单调递增
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】BD
【分析】根据为奇函数其图象关于原点对称，可得的图象关于对称可判断A；
对于B，根据函数单调性定义和奇偶性可判断B；根据可得关于对称可判断C；利用转化为求，利用在R上单调递增、可判断D.
【详解】对于A，因为为奇函数，则其图象关于原点对称，将其图象向右平移2个单位可得的图象，所以的图象关于对称，故A错误；
对于B，对任意，，均有，
所以时，，或者时，，
即在上单调递增，因为的图象关于对称，所以在上单调递增，因为定义域为R的为奇函数，所以，
所以在R上单调递增，故B正确；
对于C，因为，所以，即关于对称， 所以，故C错误；
对于D，因为，所以关于x的不等式，即求，因为在R上单调递增，，所以只需，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知函数 ,则＝ .
【答案】
【分析】先判断的范围，根据周期性得到,从而得到的值，
【详解】因为，所以，则，
则
.
【点睛】本题考查求分段函数的函数值，属于简单题.
14．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则函数解析式为 .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质求出函数在时的解析式，由奇函数的性质得出，综合可得出函数的解析式.
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，
则当时，，则，
由奇函数的性质可得，
因此，.
故答案为：.
15．已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】因为且，所以当时，函数只能单调递减，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：
四、双空题
16．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是 ，的最大值是 .
【答案】
【分析】画出的图象，再数形结合分析参数的的最小值，再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.
【详解】画出的图象有：
因为方程有四个不同的解，故的图象与有四个不同的交点，又由图，，
故的取值范围是.
又由图可知，，
故，故
故.
又当时，.当时，，故.
又在时为减函数，故当时取最大值.
故答案为： ；4
五、解答题
17．计算：
(1)已知，求的值.
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用指数函数的运算，完全平方公式，立方和展开式计算即可；
（2）用对数的运算性质先化简，再求值.
【详解】（1）因为，
所以，
所以
（2），，
即，，
，即，
，，即，
或，
，即，符合题意，舍去，
18．已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)或.
【分析】（1）求解分式不等式和一元二次不等式，解得集合，再求交集即可；
（2）根据的充分不必要条件可知是的真子集，列不等式求的取值范围即可.
【详解】（1）要使得有意义，则，得，解得：，
所以；
当时，，要使得有意义，则，解得：或，
所以或，
故或.
（2）以为，即，解得：或，
所以或，
由题意可知是的真子集，所以或（等号不同时成立），
得或.
19．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)判断单调性，并用单调性的定义加以证明；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）先用函数为奇函数，求出，再用单调性的定义证明单调递增即可；
（2）先用奇函数把不等式变形成，再用单调性得到自变量的大小关系，再结合对数的运算和二次函数的最值运算.
【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，
所以，
则，所以，
在上递增，证明如下：
任取，且，
，
根据指数函数单调性知，则，所以，即，
所以在上单调递增.
（2），，
所以对任意恒成立，
设，
当，时等号成立.所以
20．第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完. 当 时，每万台的年销售收入 （万元） 与年产量 （万台）满足关系式: ; 当 时，每万台的年销售收入 （万元）与年产量 （万台）满足关系式:
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y（万元）关于年产量x(万台）的函数解析式.
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.
【详解】（1）由题意，当时，年收入为，
当时，年收入为，
故年利润为，
即.
（2）当时，，
由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数单调递增，
所以当时，，
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.
21．已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且.
(1)求和的值；
(2)证明：函数在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，即可求出；
（2）利用单调性的定义证明函数单调递增；
（3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可.
【详解】（1）因为对任意，都有，
所以，令，则，所以；
令，，则，因为，
所以；
（2）任取，且，
则
当时，，，，，，
在上单调递增；
（3）
，
，得
所以原不等式可化为；
由和（1）可得，
，所以，，
根据（2）得，为单调递增函数，所以，，
，得，
所以，不等式的解集为：
【点睛】第一问根据已知条件分别赋值和，即可求出；第二问利用单调性的定义证明函数单调递增；第三问将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可
22．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足：，则称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点.
(1)函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由；
(2)现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点
(2)
【分析】（1）根据“平均值函数”的定义，假设求，确定是否在上即可判断是否是上的“平均值函数”.
（2）由题设，设是平均值点可得，应用换元法则在区间上有解，法一：利用二次函数的性质，讨论区间内根的个数求参数范围；法二：应用参变分离思想，将方程整理为，讨论t，结合的性质求参数范围.
【详解】（1）函数是上的“平均值函数”，理由如下：
，设是它的平均值点.，则有解得：.
∴函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点.
（2）由题意得：，设是它的平均值点，
∴，即，整理得：.
令，则有解.
法一：令，
①当在内有一个实根时，，解得.
②当在内有两个不等的实根时，，可得，故.
综上所述：.
法二：整理得，
①当，即时，解得（矛盾），故.
②当，即时，整理得：
令
在上单调递增，
，即.
.