2023-2024学年山东省济南市山东省实验中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市山东省实验中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得解.
【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B
2．命题“都有”的否定是（ ）
A．不存在
B．存在
C．存在
D．对任意的
【答案】B
【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
∴原命题的否定为：存在.
故选：B
3．下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．
【详解】对于，其对应函数的值域不是，错误；
对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；
对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；
对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；
故选：．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时成立，时如，则，
因此只能是充分不必要条件，
故选：A．
5．已知函数，则的值等于（ ）
A．11B．2C．5D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，令求出x即可计算作答.
【详解】函数，令，得，
所以.
故选：C
6．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.
【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
7．已知实数，函数，若，则的值为（ ）
A．1B．C．-1D．2
【答案】B
【分析】对进行分类讨论，分别确定与的范围，代入相应的函数解析式，再利用即可求解.
【详解】当时，有，，
又因为，
所以，解得：，
又，所以舍去；
当时，有，，
又因为，
所以，解得：.
故选：B.
8．已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（ ）
A．-4B．-2C．1D．1
【答案】A
【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得.
【详解】依题意，的值域为，且的解集为，
故函数的开口向下，，
则方程的两根为或，
则，，即，
则，
当时，取得最大值为，
即，解得：.
故选：A.
二、多选题
9．若则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】对于AB，可利用不等式的性质直接判断；对于CD，可赋值判断.
【详解】对于A，因为，所以，又因为，所以，故A正确；
对于B，因为，则有，所以，故B正确；
对于C，因为，若，，，则，，此时，故C错误；
对于D，因为，若，，，则，，此时，故D错误.
故选：AB.
10．设正实数、满足，则（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最小值D．有最大值
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误.
【详解】设正实数、满足.
对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，由基本不等式可得
，
当且仅当时，等号成立，B选项错误；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，，则，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．若定义域为R的函数满足为奇函数，且对任意，，已知恒成立，则下列正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在R上是增函数
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及单调性，再逐项判断即得答案．
【详解】由为奇函数，得，即，
因此的图象关于点对称，
由任意，，恒成立，得函数在上单调递增，
于是在R上单调递增，B正确；
显然，即的图象关于点不对称，A错误；
对C，由，得，C错误；
对D，由于在R上单调递增，，则，
即不等式的解集为，D正确．
故选：BD
12．设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．在上单调递减D．函数为偶函数
【答案】BCD
【分析】令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判断A、B、C，再求出的解析式，画出图象，即可判断D.
【详解】根据题意，由，解得，
，
所以，故A错误；
当时，
且在上单调递减，在上单调递增，，，
所以，即的值域为，故B、C正确；
因为，
则的图象如下所示：
由图可知的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．已知集合，且，则m的值为 ．
【答案】或/3或1
【分析】根据题意得到，，解方程再验证得到答案.
【详解】，，
当时，，此时，满足条件；
当时，，
时，不满足互异性，排除；时，，满足条件.
综上所述：或.
故答案为：或.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负且分母不为零得到不等式组，解得即可.
【详解】对于函数，则等价于，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
15．函数是上的单调减函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据分段函数单调性的定义，解不等式求实数的取值范围.
【详解】函数是上的单调减函数，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：．
16．设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】令，可得函数利是定义在上的偶函数且在上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.
【详解】令，
由是定义在上的奇函数，
可得是定义在上的偶函数，
由对任意的，，，满足：，
可得在上单调递增，
由，可得，
所以在上单调递减，且，
不等式，即为，即，
可得或，即或
解得或.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，
(1)时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求集合，根据交集的定义即可得解；
（2），即，分和两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】（1）解：若，则，
又，
所以；
（2）解：因为，所以，
当时，
则，解得，
此时，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，
所以若，m的取值范围为.
18．已知幂函数，且函数在上单增
(1)函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）幂函数，有，再由函数在上单调递增，解出的值，得函数的解析式；
（2）由函数的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】（1）为幂函数，则有，解得或，
时，，在上单调递增，符合题意；
时，，在上单调递减，不合题意；
所以.
（2），函数定义域为R，，
函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，
若，有，解得，
所以实数的取值范围为.
19．已知函数，且，
(1)求解析式；
(2)判断并证明函数在区间的单调性.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析.
【分析】（1）依题意可得，，解方程即可得函数解析式；
（2）利用函数单调性的定义法判断即可.
【详解】（1）因为，，
所以，，解得：，，
所以函数解析式为：.
（2）函数在区间上单调递增，证明如下：
由（1）知，
取任意、，令，
则
因为，所以，
又，则，，
所以，则，
所以，即，
所以，
即函数在区间上单调递增.
20．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为 ，一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客
(1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
(2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比，设置为多少？请说明理由.
【答案】(1)顾客购得的黄金是大于，理由见详解
(2)三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比,理由见详解
【分析】（1）设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现的砝码放在左盘，
将黄金g放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金g放在左盘使之平衡，
则顾客实际所得黄金为（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
（2）再一次将的砝码放在天平左盘，再取黄金g放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可.
【详解】（1）由于天平两臂不等长，设天平左臂长为，右臂长为，且，
先称得黄金为g，后称得黄金为g，则
，则，所以
当且仅当，即时取等号，由，所以
顾客购得的黄金是大于
（2）由（1）再一次将的砝码放在天平左盘，再取黄金g放在右盘使之平衡，则此时有
，此时有，所以三次黄金质量总和为：
，
当且仅当，即
所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比.
21．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知在时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，求出集合，结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由，都有不等式成立，
得在时恒成立，所以，
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
所以，当时，，，所以，.
（2）解：由可得.
①当时，可得或，
因为是的充分条件，则，则，此时，；
②当时，可得或，
因为是的充分条件，则，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
22．已知函数是定义域在上的奇函数，当时，.
(1)当时，求函数的解析式；
(2)若函数为上的单调函数.且对任意的，恒成立，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义和时的解析式，即可得出时的解析式，进而得出答案；
（2）由的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数的范围．
【详解】（1）函数是定义域在上的奇函数，，当时，．
当时，有，．
所以．
（2）因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，
由在上单调递减，故函数为单调递减函数，
由，
可得，
故，即，
又注意到，结合，
知，得：．
令，其中，
任取，
故，
因，则，，，
故，即，
所以在上单调递增，得．
又令，则转化为，其中．
要使式子成立，需小于的最小值．
又注意到函数与函数均在上单调递增，
则函数在上单调递增．
故，得，则的范围为．