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2023-2024学年山东省青岛实验高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年山东省青岛实验高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由全称命题的否定判断．
【详解】命题“”的否定是“”．
故选：A
2．设集合则=
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－10}∪{x|－1－1}，故选C．
3．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断．
【详解】，由可得，
解得：或，
所以“”不能推出“”；
当时，可得：，
所以“”可以推出“”
“”是“”的必要非充分条件．
故选：B．
5．设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】考虑，两种情况，代入函数解不等式得到答案.
【详解】当时，，即，解得，
故；
当时，，即，解得，故.
综上所述：.
故选：B.
6．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
7．设函数，其中表示x，y，z中的最小者，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据函数定义写出分段函数形式，画出大致图象，即可确定最大值.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
综上，，其大致图象如下，
由图知：的最大值为3.
故选：B
8．设定义在上的奇函数满足，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．(-4，4)
【答案】B
【分析】由奇函数的定义求得时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．
【详解】即时，，，即，
时，，
因此时，，，所以，
综上，不等式的解为或．
故选：B．
二、多选题
9．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数D．当时，函数与x轴有且只有一个交点
【答案】AB
【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误.
【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错；
B：根据幂函数定义也是幂函数，错；
C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对；
D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对.
故选：AB
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．“，”是“”成立的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于x的方程有一正根一负根”的充要条件
【答案】ABD
【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质和方程根的分布，判断选项的正误.
【详解】时一定满足，所以“”是“”的必要条件，A选项正确；
由不等式的性质可知，当且时，有，所以“，”是“”成立的充分条件，B选项正确；
由绝对值的几何意义可知，时不能得到，“”不是“”的必要条件，C选项错误；
时，关于x的方程，，方程有两个不相等实根，两根之积，所以方程有一正根一负根；
关于x的方程有一正根一负根，设为，则有，解得，
所以“”是“关于x的方程有一正根一负根”的充要条件，D选项正确.
故选：ABD
11．已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据指数幂的运算依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
,,故选项D错误．
故选：AC．
12．已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ）
A．有最小值
B．有最小值
C．函数的最小值为1
D．有最大值
【答案】AD
【分析】直接利用基本不等式即可判断A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，进而即可判断B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等号取不到，进而即可判断C；先令，得到，再根据“1”的妙用得到，再结合基本不等式求得的最小值，进而即可判断D．
【详解】由a，b为正实数，满足，
对于A，，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即或时，等号成立，但，
所以取不到最小值，故C错误；
对于D，令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，即，所以有最大值，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．已知集合，且，则的值为 .
【答案】0
【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，，
而集合的元素具有互异性，故，所以，
故答案为：0
14．幂函数的图像过点,则的减区间为 .
【答案】
【分析】设幂函数的解析式为，代入点，得到的值，得到的解析式和定义域，再写出的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出的减区间.
【详解】设幂函数的解析式为
代入点，得，所以
所以幂函数为，定义域为，
所以，则需要
即其定义域为或，
而的对称轴为
所以其单调减区间为
所以的减区间为.
【点睛】本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.
15．函数的定义域是，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题知不等式恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
16．已知函数，满足对任意的实数，都有，则的取值范围是 .
【答案】.
【解析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可.
【详解】由题意得：在上单调递减，
故，解得，
即的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式.
四、解答题
17．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】利用指数、对数的运算性质可得解.
【详解】（1）
（2）
.
18．已知全集，集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）当时，，所以，从而可以求出（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．
当时，，即；当时，比较端点大小列出方程组求出a范围，然后把两种情况下求得的值求并集即可．
试题解析：
（1）当时，，所以，
所以．
（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．
当时，，即；
当时，得即．
综上，．
19．已知函数（且）的图象经过点．
(1)求a，并比较与的大小；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数过点代入求出，即可得到函数解析式，即可判断函数的单调性，再利用作差法比较与的大小，即可判断；
（2）首先求出内函数的值域，再根据指数函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：由已知得：，解得，所以，
因为在R上单调递减，，
所以；
（2）解：因为，
所以，故的值域是；
20．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.
(1)求的值；
(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
【答案】(1)；
(2)日产量为8时，每吨产品的利润最大，最大利润为4.
【分析】（1）根据题意得到，然后根据除尘后当日产量时，列方程，解方程即可得到；
（2）根据题意得到每吨产品的利润，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由题意得除尘后的总成本，
因为除尘后当日产量时，，所以，解得.
（2）设除尘后每吨的利润为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.
21．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增．
（1）求m的值及f（x）的解析式；
（2）若函数在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．
【答案】（1）m＝0，f（x）＝x3；（2）a＝±2．
【分析】（1）由幂函数的定义，列方程组，求解即可.
（2）化简函数，为开口向下的抛物线，在区间[0，2]上的最大值为3，谈论对称轴与区间的关系，由函数的单调性，即可求出函数的最大值，列方程求解即可.
【详解】（1）幂函数在(0，＋∞)上单调递增，
故解得m＝0，故f（x）＝x3．
（2）由f（x）＝x3，得
函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x＝a．
因为在[0，2]上的最大值为3，
①当a≥2时，g（x）在[0，2]上单调递增，故g（x）max＝g（2）＝3a－3＝3，解得a＝2．
②当a≤0时，g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝1－a＝3，解得a＝－2．
③当0综上所述，a＝±2．
【点睛】本题考查了幂函数的定义、二次函数在闭区间上取最值情况，考查了运算求解能力和分类讨论思想，属于中档题目.
22．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2) 减函数，证明见解析；(3) ．
【分析】（1）利用奇函数的性质令，求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．
【详解】（1）∵在定义域上是奇函数，
所以，即，∴，
经检验，当时，原函数是奇函数．
（2）在上是减函数，证明如下：
由（1）知，
任取，设，
则，
∵函数在上是增函数，且，
∴，又，
∴，即，
∴函数在上是减函数．
（3）因是奇函数，从而不等式等价于，
由（2）知在上是减函数，由上式推得，
即对任意，有恒成立，
由，
令，，则可设，，
∴，
∴，即的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由全称命题的否定判断．
【详解】命题“”的否定是“”．
故选：A
2．设集合则=
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1
3．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断．
【详解】，由可得，
解得：或，
所以“”不能推出“”；
当时，可得：，
所以“”可以推出“”
“”是“”的必要非充分条件．
故选：B．
5．设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】考虑，两种情况，代入函数解不等式得到答案.
【详解】当时，，即，解得，
故；
当时，，即，解得，故.
综上所述：.
故选：B.
6．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
7．设函数，其中表示x，y，z中的最小者，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据函数定义写出分段函数形式，画出大致图象，即可确定最大值.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
综上，，其大致图象如下，
由图知：的最大值为3.
故选：B
8．设定义在上的奇函数满足，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．(-4，4)
【答案】B
【分析】由奇函数的定义求得时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．
【详解】即时，，，即，
时，，
因此时，，，所以，
综上，不等式的解为或．
故选：B．
二、多选题
9．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数D．当时，函数与x轴有且只有一个交点
【答案】AB
【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误.
【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错；
B：根据幂函数定义也是幂函数，错；
C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对；
D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对.
故选：AB
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．“，”是“”成立的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于x的方程有一正根一负根”的充要条件
【答案】ABD
【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质和方程根的分布，判断选项的正误.
【详解】时一定满足，所以“”是“”的必要条件，A选项正确；
由不等式的性质可知，当且时，有，所以“，”是“”成立的充分条件，B选项正确；
由绝对值的几何意义可知，时不能得到，“”不是“”的必要条件，C选项错误；
时，关于x的方程，，方程有两个不相等实根，两根之积，所以方程有一正根一负根；
关于x的方程有一正根一负根，设为，则有，解得，
所以“”是“关于x的方程有一正根一负根”的充要条件，D选项正确.
故选：ABD
11．已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据指数幂的运算依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
,,故选项D错误．
故选：AC．
12．已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ）
A．有最小值
B．有最小值
C．函数的最小值为1
D．有最大值
【答案】AD
【分析】直接利用基本不等式即可判断A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，进而即可判断B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等号取不到，进而即可判断C；先令，得到，再根据“1”的妙用得到，再结合基本不等式求得的最小值，进而即可判断D．
【详解】由a，b为正实数，满足，
对于A，，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即或时，等号成立，但，
所以取不到最小值，故C错误；
对于D，令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，即，所以有最大值，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．已知集合，且，则的值为 .
【答案】0
【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，，
而集合的元素具有互异性，故，所以，
故答案为：0
14．幂函数的图像过点,则的减区间为 .
【答案】
【分析】设幂函数的解析式为，代入点，得到的值，得到的解析式和定义域，再写出的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出的减区间.
【详解】设幂函数的解析式为
代入点，得，所以
所以幂函数为，定义域为，
所以，则需要
即其定义域为或，
而的对称轴为
所以其单调减区间为
所以的减区间为.
【点睛】本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.
15．函数的定义域是，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题知不等式恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
16．已知函数，满足对任意的实数，都有，则的取值范围是 .
【答案】.
【解析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可.
【详解】由题意得：在上单调递减，
故，解得，
即的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式.
四、解答题
17．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】利用指数、对数的运算性质可得解.
【详解】（1）
（2）
.
18．已知全集，集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）当时，，所以，从而可以求出（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．
当时，，即；当时，比较端点大小列出方程组求出a范围，然后把两种情况下求得的值求并集即可．
试题解析：
（1）当时，，所以，
所以．
（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．
当时，，即；
当时，得即．
综上，．
19．已知函数（且）的图象经过点．
(1)求a，并比较与的大小；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数过点代入求出，即可得到函数解析式，即可判断函数的单调性，再利用作差法比较与的大小，即可判断；
（2）首先求出内函数的值域，再根据指数函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：由已知得：，解得，所以，
因为在R上单调递减，，
所以；
（2）解：因为，
所以，故的值域是；
20．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.
(1)求的值；
(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
【答案】(1)；
(2)日产量为8时，每吨产品的利润最大，最大利润为4.
【分析】（1）根据题意得到，然后根据除尘后当日产量时，列方程，解方程即可得到；
（2）根据题意得到每吨产品的利润，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由题意得除尘后的总成本，
因为除尘后当日产量时，，所以，解得.
（2）设除尘后每吨的利润为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.
21．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增．
（1）求m的值及f（x）的解析式；
（2）若函数在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．
【答案】（1）m＝0，f（x）＝x3；（2）a＝±2．
【分析】（1）由幂函数的定义，列方程组，求解即可.
（2）化简函数，为开口向下的抛物线，在区间[0，2]上的最大值为3，谈论对称轴与区间的关系，由函数的单调性，即可求出函数的最大值，列方程求解即可.
【详解】（1）幂函数在(0，＋∞)上单调递增，
故解得m＝0，故f（x）＝x3．
（2）由f（x）＝x3，得
函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x＝a．
因为在[0，2]上的最大值为3，
①当a≥2时，g（x）在[0，2]上单调递增，故g（x）max＝g（2）＝3a－3＝3，解得a＝2．
②当a≤0时，g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝1－a＝3，解得a＝－2．
③当0
【点睛】本题考查了幂函数的定义、二次函数在闭区间上取最值情况，考查了运算求解能力和分类讨论思想，属于中档题目.
22．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2) 减函数，证明见解析；(3) ．
【分析】（1）利用奇函数的性质令，求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．
【详解】（1）∵在定义域上是奇函数，
所以，即，∴，
经检验，当时，原函数是奇函数．
（2）在上是减函数，证明如下：
由（1）知，
任取，设，
则，
∵函数在上是增函数，且，
∴，又，
∴，即，
∴函数在上是减函数．
（3）因是奇函数，从而不等式等价于，
由（2）知在上是减函数，由上式推得，
即对任意，有恒成立，
由，
令，，则可设，，
∴，
∴，即的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．
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