2023-2024学年上海市第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了填空题，单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．集合，，则 .
【答案】
【分析】由并集运算可得.
【详解】由集合，，
得.
故答案为：.
2．已知，用有理数指数幂的形式表示 .
【答案】
【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.
【详解】.
故答案为：.
3．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】分式不等式求解，移项通分变形，可由符号法则转化为整式不等式求解.
【详解】不等式可化为，
即，则有①，或②，
由①得，
由②得，解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：
4．设全集为，，，则 .
【答案】
【分析】由补集与交集运算可得.
【详解】由全集，，
则，又，
则.
故答案为：.
5．幂函数的图像经过点，则 .
【答案】
【分析】将点代入函数解析式待定，指对互化即可解出.
【详解】由幂函数的图像经过点，
得，则.
故答案为：.
6．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 .
【答案】至少有两个钝角
【分析】根据反证法思想作答．
【详解】应假设结论的反面，即假设：至少有两个钝角．
故答案为：至少有两个钝角．
7．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】分类讨论去掉绝对值符号即可得解.
【详解】当时，原不等式可化为，解得，又，；
当时，原不等式可化为，不等式成立；
当时，原不等式可化为，解得，又，；
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
8．化简： .
【答案】
【分析】根据根式的定义求解．
【详解】.
故答案为：.
9．已知，，则用a、b表示 .
【答案】
【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解．
【详解】，
故答案为：．
10．已知等式恒成立，其中为实数，则 ．
【答案】
【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；
方法二：令可得答案.
【详解】法一：，
所以；
法二：在中，令得.
故答案为：
11．设，则方程的解集为 .
【答案】
【分析】按题意分类讨论即可求解
【详解】时，原式，不合题意
时，原式
时，原式即恒成立
时，原式，不合题意
故
故答案为：
12．已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 .
【答案】
【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得.
【详解】由题意知，集合的“交替和”为.
集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集.
这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个，
设为；
则这个非空子集中含元素的集合，也共有个，
这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即.
对中的任意集合，记，
则“交替和”，其中，
由，则集合的“交替和”为
，
则集合与集合的“交替和”之和为，
下面举例说明：
如集合与集合，
的“交替和”为，
的“交替和”为
，
即集合与集合的“交替和”之和为.
综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，
且每组中“交替和”之和都为，共有组.
故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可，
综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为
.
故答案为：.
【点睛】“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见.
二、单选题
13．“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．即非充分又非必要
【答案】A
【分析】解不等式可得，再由推出关系判断即可.
【详解】解关于不等式，可化为，
则
解得.
由,但，
所以有“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
14．如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取特殊值可判断A,B选项，由函数在上为增函数可判断选项C，由的符号不定，则的符号不定，可判断D，从而得出答案.
【详解】选项A中，取，则，所以A 不正确.
选项B中，取，则，所以B 不正确.
选项C中，由函数在上为增函数，由，则有成立，所以C正确.
选项D中，由，因为，，则.
所以，即，所以D不正确.
故选：C
15．若对任意，都有成立，则的值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质判断．
【详解】显然当或时，，则，不满足题意，
若，则也不满足题意，
只有适合，实际上，此时， ，，
故选：A．
三、多选题
16．下列命题中错误的是（ ）
A．当时，一定成立
B．若实数x，y满足，则
C．对任意，都有
D．对任意，都有
【答案】AB
【分析】A项利用基本不等式进行判断；B项取特殊值判断；C、D项利用作差判断.
【详解】解：
对于A项，
由，等号成立时，，而，则成立，故A项错误；
对于B项，
因为实数x，y满足，取，则， 故B错误；
对于C项，因为
，
等号成立时，，故C项正确；
对于D项，因为，故D项正确.
故选：AB
四、解答题
17．幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值.
【答案】或或.
【分析】由幂函数与x轴、y轴均无交点得，再根据求出的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可.
【详解】由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点，
得，解得，又，
所以.
当或时，，定义域为，
即函数，其图象关于轴对称，满足题意；
当或时，，即，
设，由，
故其图象不关于轴对称，不满足题意；
当时，，即，定义域为，
设，则，
故是偶函数，则图象关于轴对称，满足题意.
综上所述，或或.
18．求解关于x的不等式：（是常数）
【答案】答案见解析
【分析】根据系数与的大小，以及的大小分类讨论即可.
【详解】由，解得，或.故分以下情况讨论不等式的解集：
①当时，不等式为，无解；
②当时，不等式为，无解；
③当，即，或时，
（i）当时，不等式可化为，解得，或；
（ii）当时，不等式可化为，解得；
④当，即时，
不等式可化为，解得；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当，或，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．甲、乙两人解关于的方程：甲写错了常数b，得到根为，乙写错了常数c，得到根为.求方程的真正根．
【答案】4或8
【详解】主要考查对数方程解法．
解：原方程可变形为：
20．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.

(1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围；
(2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值.
【答案】(1)，
(2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.
【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围；
（2）由基本不等式求出总面积最小值.
【详解】（1）单个矩形栏目的长度为，
，
（2）由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.
21．已知，.
(1)若，解关于的不等式组；
(2)若对任意，都有或成立，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别解一元二次不等式和一元一次不等式后求交集可得；
（2）由得出时，恒成立，由此分类讨论可得；
（3）在（2）的条件下问题转化为在上有解，结合（2）中m的范围即得．
【详解】（1）（1），，则或，
，则，
所以不等式组的解集为：；
（2）因为当时，，所以当时，恒成立，
当时，，的解为，不能满足时，恒成立，
当时，不满足题意，
当时，由得，化为，
若时，，不等式的解为或，因为，所以满足题意，
若时，，不等式的解为或，
因此，，因此，
综上，的取值范围是．
（3）时，，因此存在使得，
又，
因此在上有解，由于，
所以，解得，
综上，．
【点睛】本题第二问解题关键是将所求转化为在上恒成立，然后对m进行分类讨论，结合含参一元二次不等式的解法可得答案.