2023-2024学年广东省东莞市东莞中学高一上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省东莞市东莞中学高一上学期11月期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】化简集合，根据集合交集运算即可.
【详解】解：由题知，，从而得到．
故选：A．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，即，不能推出，
反之，，一定有成立．
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
3．已知，且，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】与作乘法，即可构造基本不等式求解.
【详解】由题得
,
当且仅当，即时等号成立，与联立，解得时等号成立.
故选：C.
4．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数的单调性可比较a，c，再由对数函数性质可知，即可得答案.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，即，
又，所以.
故选：C
5．向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是.
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项.
【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
【点睛】本题考查实际问题中的函数的图象的识别，主要考查函数值的变化快慢与函数图象陡峭程度的对应关系，考查了学生数形结合的能力，本题属于中档题.
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】偶函数的定义域关于原点对称，求出a的值，然后根据单调性即可得出答案.
【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以，
又函数在，即单调递增，所以在单调递减，
等价为，
故选：B.
7．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数和二次函数的单调性，结合分段函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】二次函数的开口向下，对称轴为，
因为函数是上的增函数，
所以有，解得.
因此实数的取值范围是.
故选：D
8．存在函数使得对任意都有，则函数可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，即一个x只能对应一个y判断即可.
【详解】A：，代入得，不符合函数的定义，故错误；
B：，代入得，不符合函数的定义，故错误；
C：，代入得，不符合函数的定义，故错误；
D：的定义域为，关于原点对称，且，
故为偶函数，令，当时，，
此时原函数可化,由对勾函数的性质得，单调递增，
又也单调递增，根据复合函数单调性的判定方法得在单调递增，
又为偶函数，在单调递减，所以当取确定的值时，的值唯一确定，此时也唯一确定，故正确.
故选：D.
二、多选题
9．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．为偶函数
【答案】BC
【分析】换元法求函数解析式，由解析式求函数值，求函数奇偶性.
【详解】函数，令，则，有，
，A选项错误；
，B选项正确；
由，得，C选项正确；
函数的定义域不关于原点对称，没有奇偶性，D选项错误.
故选：BC
10．下列结论正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质，判断各选项的结论是否正确.
【详解】若，则，
有， A选项正确；
若，满足，但不成立，B选项错误；
若，则有，可得，C选项正确；
若，当时，有，D选项错误.
故选：AC
11．已知函数则下列选项成立的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】选项中，求出函数的值域，再求的值.
【详解】若，有，所以，A选项正确；
若，有，当时，，此时，B选项错误；
若，有，则，C选项正确；
若，当时，，此时，D选项错误.
故选：AC
12．设表示不超过的最大整数，如.设，且，则下列选项正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．若，则
C．函数的值域为
D．函数的值域为
【答案】ABD
【分析】由已知可得，，分类讨论，求出和值.
【详解】，时，在R上单调递减；时，在R上单调递增，
由，有，则，即，可得，
所以函数的值域为，A选项正确；
且，且，
故，又是R上的单调函数，
若，则，B选项正确；
又由，
故当，时，
，
，
故当时，
，
故当，时，
，
，
函数的值域为，C选项错误；
函数的值域为，D选项正确
故选：ABD
三、填空题
13．函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为指数函数在R上单调递增，
所以有，而，
因此函数的值域为.
故答案为：
14．函数的单调递增区间是
【答案】
【分析】根据复合函数单调性的判断方法“同增异减”，求解出内层函数的单调递增区间后则的单调递增区间可求，同时注意定义域.
【详解】因为的对称轴为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
又的解集为，且在上单调递增，
所以的单调递增区间为，
故答案为：.
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调递增区间的求解，解答问题的关键是理解“同增异减”的含义，难度较易.求解复合函数的单调区间时，要注意分析函数的定义域.
15．已知函数且为常数，且，则 .
【答案】0
【分析】令，利用函数的奇偶性即可求.
【详解】令，易知在定义域上是奇函数，
所以，即，，
又，所以.
故答案为：0.
16．已知均为正数，且，则的大小关系为 .
【答案】
【分析】设，然后分别求出，然后将对数式和指数式利用公式变形，判定大小关系.
【详解】设，因为均为正数，所以，
则，所以，
同理，，
所以只需要比较的大小即可.
,,因为，所以，
，，因为，所以，
又，所以，
故，所以，
故答案为：.
四、计算题
17．计算下列各式（式中字母均是正数）.
(1)求值：；
(2)化简：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的运算性质以及换底公式进行计算；
（2）利用分数指数幂的运算性质进行计算.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
五、解答题
18．已知集合，集合.
(1)求集合A和集合.
(2)已知集合是集合A的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解分式不等式得到集合A，然后求出;
（2）根据集合是集合A的子集列出不等式求解即可.
【详解】（1）或，
所以，
（2）且集合是集合A的子集，
所以或，
解得或，
故实数的取值范围为.
19．已知函数是定义域为的奇函数，且时，.
(1)求的解析式；
(2)在给定坐标系中画出函数的图象，并讨论方程（为常数）根的个数（写出结果即可）.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意利用函数的奇偶性求函数在上的解析式，结合奇函数的性质可得函数的解析式.
（2）根据函数的解析式，画出函数的图像；数形结合即可写出方程（为常数）根的个数的情况.
【详解】（1）函数是定义域为的奇函数
，
当时，
当时，有 ，则
（2）函数的图象如图所示：
方程（为常数）根的个数即为函数与的图象交点的个数.
由图象可得：当或时，方程（为常数）根的个数为1个；当或时，方程（为常数）根的个数为2个；当时，方程（为常数）根的个数为3个.
20．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的倍.
(1)求函数的解析式；
(2)喷气式飞机起飞时，声音约为，计算喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出对应声音的声音强度，然后根据条件列出方程组，通过对数运算求解出的值，则的解析式可知；
（2）将两个声音的值分别代入解析式，然后两者作差并结合对数运算求解出对应声音强度的倍数.
【详解】（1）设的声音强度是，的声音强度是，则，
所以，所以，
所以，所以，
所以；
（2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为，
所以，所以，
所以，
故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的倍.
六、证明题
21．已知.
(1)证明函数在上单调递减；
(2)任取，且，证明.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明；
（2）代入函数，作差，然后换元化简证明即可.
【详解】（1），
任取，且，
，
因为，且，所以，
所以，
所以函数在上单调递减.
（2）
,
令，且,
则上式可化为，
所以对任意，且恒成立，
所以对任意的，且， .
七、解答题
22．已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义，带特值求解，并检验；
（2）求出并化简，恒成立问题，参变分离求最值.
【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，
，解得,
,即，
所以.
（2）由（1）得，
，
，，
代入得，
即对任意且，
令，又，所以，所以
故原问题等价为对任意的且恒成立，
参变分离得对任意的且恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
所以.