2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一上学期11月期中测试数学试题（A卷）含答案

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一上学期11月期中测试数学试题（A卷）含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，，那么等于
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得
．选B．
2．命题“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】D
【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【解析】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】代入相应解析式计算函数值，相加即可.
【详解】，，
.
故选：A
【点睛】本题考查分段函数的函数值，属于基础题.
4．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
5．三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由，即可得到结果.
【详解】由三个数，
可知其大小关系为.
故选：A
6．下列函数中,在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性判断即可．
【详解】解：函数在上递增，是奇函数，
对于A，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意；
对于B，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，是偶函数，不符合题意；
对于D，在定义域上递增，是奇函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．
7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】试题分析：是偶函数，则 的图象关于直线对称，又 是奇函数，则，且 是周期函数，且周期为8，所以．故选D．
【解析】函数的奇偶性，周期性．
【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数是奇函数，又有对称轴时，则函数一定是周期函数，且周期为；若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；同样若有两个对称中心 和，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；
8．已知函数，若直线与函数的图象有三个交点，它们的横坐标分别为，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将去掉绝对值，写为分段函数的形式，做出的图像，同时做出直线的图像，当直线与函数的图象有三个交点的时候，利用图像的对称性可得结果．
【详解】解：，
其图像如图：
设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为，
则，，
所以，
故选D．
【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用，属中档题．
二、多选题
9．已知集合，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】解出集合A，根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系即可判断．
【详解】
由于，则选项A正确；
由于，则选项B不正确；
由于，则选项C正确；
由于，则选项D不正确．
故选：AC．
10．设，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质判断AD，列举例子判断BC.
【详解】A.，同除可得，A正确；
B.当时，，B错误；
C.若，此时有，C错误；
D.，故，D正确.
故选：AD.
11．定义域为R的函数满足，且当时，.以下结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为增函数D．为减函数
【答案】AC
【解析】由题意，令x=y=0，可求得，令y=-x，代入条件，可求得的奇偶性，任取，且，利用定义法，结合题意，即可证明的单调性
【详解】因为对于任意x，y都有，
令x=y=0，则，即，
令y=-x，则，所以，
所以为奇函数，故A正确，
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在R上为单调递增函数，故C正确，
故答案为：AC
12．对于给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，a－b∈M，则称集合M为F集合，则下列说法中正确的有（ ）
A．集合M＝{1，0，－1}为F集合
B．有理数集为F集合
C．集合M＝{x│x＝2k，k∈Z}为F集合
D．若集合A，B为F集合，则A∪B为F集合
【答案】BC
【解析】根据集合的概念对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，，所以不是集合.
对于B选项，由于有理数加上或减去有理数，所得结果还是有理数，所以有理数集为集合.
对于C选项，偶数与偶数的和或差，所得结果还是偶数，所以偶数集为集合.
对于D选项，，由C知为集合.
的整数倍的和或差，所得结果还是的整数倍，所以为集合.
由于，但，所以不是集合.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查集合新定义，属于基础题.
三、填空题
13．已知函数在R上是奇函数，且，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求解．
【详解】解：因为函数在R上是奇函数
所以
故答案为
【点睛】本题考查奇函数的性质，属于基础题．
14．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是 .
【答案】
【分析】令真数等于1，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【详解】解：对于函数，令，求得，，
可得函数的图象图象恒过定点，
故答案为．
【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
15．已知，不等式恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】结合二次函数的图像性质即可求解.
【详解】，不等式恒成立,
即与轴没有交点，
即，
则，解得，则的取值范围为.
故答案为：
16．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意知，，
解得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
四、解答题
17．计算：（1）；
（2）.
【答案】（1）－3；（2）．
【详解】试题分析：
试题解析：
（1）原式；
(2)


18．已知集合，函数的定义域为，
（1）当时，求，，
（2）若求实数的取值范围.
【答案】（1）;
（2）
【分析】（1）根据题意，由可得，再由交并补的定义可得，；
（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：当时和当时，列不等式分别求出的取值范围，进而对其求并集可得答案．
【详解】解：根据题意,当时, ,,
则 ,
又或,
则；
根据题意,若,则,
分2种情况讨论：
当时,有,解得：；
当时,若有,必有 ，解得：,
综上可得：的取值范围是：．
【点睛】本题考查集合间关系的判断，涉及集合间的混合运算，（2）中注意可能为空集的情况，是基础题．
19．已知，且．
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；
（2）根据题意结合基本不等式可得，然后求解关于的不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
（2）因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
因为恒成立，
所以，解得
所以实数的取值范围为
20．已知函数是定义域在R上的奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)；
(2)增函数，证明见解析.
【分析】（1）利用奇函数及已知条件列方程组求参数，再验证是否满足奇函数，即可得答案；
（2）设，作差法比较大小，即可证单调性.
【详解】（1）由题意，，又，解得，
此时，则，
所以满足题设，故.
（2）由上在R上单调递增，证明如下：
令，则，
由且，故，
所以函数在R上单调递增.
21．据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本（万元）可以看成月产量（吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元；当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.
（1）写出月总成本（万元）关于月产量（吨）的函数关系；
（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润；
（3）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？
【答案】（1）（ ），（2）月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．（3）月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.
【详解】试题分析：（1）由待定系数法设出将x=10，y=20代入可得．（2）利润＝收入－成本，设利润为可得化为二次函数求最值即可．（3）平均成本＝可化为利用基本不等式求最小值．
试题解析：解：（1） （） 2分
将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得 3分
（ ） 4分
（2）设利润为则 6分
因为，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元8分
（3） 10分
当且仅当，即时上式“=”成立. 11分
故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 12分
【解析】本题主要考查二次函数，基本不等式的应用．
22．设函数，.
（1）求函数的解析式；
（2）设，在上的最小值为，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，代入得，求得，即可得到函数的解析式；
（2）由，得，令，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由函数，且，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以函数的解析式为.
（2）由，
可得，
令，
可得函数为增函数，∵，∴，
令.
若，当时，，∴，∴
若，当时，，解得，舍去.
综上可知.
【点睛】本题主要考查了指数函数图象与性质，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记指数的运算性质，以及合理换元法和二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.