2023-2024学年山西省阳泉市郊区阳泉市第一中学校高一上学期11月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省阳泉市郊区阳泉市第一中学校高一上学期11月期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，且，则（ ）
A．B．或C．3D．
【答案】D
【分析】利用元素与集合的关系建立方程，求解并验证即得.
【详解】由集合，得，解得且，
显然，由，得，而，解得，
当时，，符合题意，
所以.
故选：D
2．下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性及单调性求解.
【详解】因为定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，
为偶函数，故排除CD；
因为在上单调递增，故排除A；
为奇函数且在上单调递减，故B正确.
故选：B
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的定义域求出，再令，解得即可.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
令，解得，所以函数的定义域为.
故选：A
4．甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.
故选：A
5．若，则函数与的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解.
【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为
故只有A项正确．
故选：A.
6．若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由在第一象限内是增函数可得出的大小，由是减函数可得出的大小.
【详解】因为在第一象限内是增函数，所以
因为是减函数，所以，所以
故选：D
【点睛】本题考查的是利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，较简单.
7．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将等式变形得，所求式子变形为，再由基本不等式求解最值即可.
【详解】由已知为正实数，且，
得，且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
8．已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式和函数单调性可得，，，结合存在性问题以及恒成立问题列式求解.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
又因为，且，
可知函数在上单调递增，
可得，所以，
即若，则，，
若对，使得，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题求的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重要且基础方法，应熟练掌握.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据常见数集及元素与集合关系即可作出判断.
【详解】根据常见数集的表示可知，，，，.
故选：AD
10．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为奇函数B．函数在定义域上为减函数
C．函数的值域为D．当时，
【答案】AD
【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可.
【详解】设幂函数为
将代入解析式得，故，所以，
定义域为，
因为，故函数为奇函数，故A正确；
函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；
显然的值域为，故C错误；
当时，，
即满足，故D正确
故选：AD
11．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，则”
C．设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】根据充分、必要条件和命题的否定定义依次判断即可．
【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，
例如当时，符合，但是不符合，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的否定是“存在，则”，故B正确；
选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；
选项D，因为b可以等于零，所以由不能推出，充分性不成立，
由可得且，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
12．已知函数，则（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点中心对称
【答案】BD
【分析】对A，由的范围得到的范围，进而求出函数的值域；对B，通过运算即可得到答案；对C，根据函数奇偶性的定义即可判断；对D，结合C中的推理即可判断答案.
【详解】对A，因为,则，，
所以.A错误；
对B，
.B正确；
对C，记，
，则函数为奇函数.C错误；
对D，由C可知，为奇函数，则的图象关于点对称，所以的图象关于点中心对称.D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．设，则的值为 .
【答案】11
【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值.
【详解】.
故答案为：.
14．函数，且，则的值是 ．
【答案】6
【分析】设，利用奇函数的性质求解即可.
【详解】令，
因为定义域为，且，
所以函数为奇函数，
因为，所以，
所以，
故答案为：6
15．已知为正数，且，则的最小值为
【答案】
【分析】根据“1”的变形及均值不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立.
故答案为：
16．已知满足，，都有，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，都有，
所以在上为增函数，
当时，，易知函数在上为增函数；
当时，则，解得，
综上，，则a的取值范围为，
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入，求出集合A，B，然后求并集即可.
（2）解含参的二次不等式得集合B，再根据列不等式求解即可.
【详解】（1），
当时，，
；
（2），
又由（1），
，
或，
实数a的取值范围是.
18．（1）计算：；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据幂指数运算即可；
（2）将等式两边平方配凑求解；
【详解】解析 （1）原式
．
（2）∵，
∴，
∴．
，
又∵且，
∴，
∴．
19．已知二次函数满足，且有.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，函数，求在区间上的最小值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）应用待定系数法求出函数解析式；
（2）先求出二次函数的对称轴，再根据对称轴在不同区间分类讨论.
【详解】（1）设，由，得，
因为，所以，
即，解得，
所以；
（2）易知，
所以的对称轴为直线，又，
①当时，即时，在上单调递增，
；
②当时，即时，在上单调递减，
在上单调递增，；
③当时，即时，在上单调递减，.
综上所述，
20．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）令，求出、的值，即可得到，再利用不等式的性质计算可得；
（2）由，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）令，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以的取值范围为.
（2）因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
21．已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
(2)1；
(3)0.
【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间；
（2）由（1）及题设知，即可求参数值；
（3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可.
【详解】（1）当时，，
令，由在上单调递增，在上单调递减，
而在R上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）令，，
由于有最大值3，所以应有最小值，
因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．
（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，
应使的值域为R，
因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），
故a的值为0．
22．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，.
(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析
(2)函数在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性；
（2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性；
（3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.
【详解】（1）函数是奇函数，
证明：因为对，都有
令，可得，解得；
令，则，
令，则，
所以为定义在上的奇函数.
（2）函数在上单调递减，
证明：取，则
可得，
因为所以
所以，
又，
所以，
又当时，，
所以，
所以，即
所以在上单调递减.
（3）因为，且函数是奇函数，
所以
又的定义域为且在上是单调递减的，
所以
所以，解得
所以不等式的解集为.