2023-2024学年江苏省盐城第一中学高一上学期第二次校标考试（期中）数学含答案

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据对数函数的定义域求集合N，再利用交集的概念求答案.
【详解】根据对数函数的定义域得，又因为，所以，
故选：D.
2. 若且为第三象限角，则的值等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.
【详解】因为且为第三象限角，
所以，
则.
故选C
【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.
3. 设，则p是q成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.
考点：充分条件与必要条件.
【方法点睛】判断是不是充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当成立时，也成立，就说是的充分条件，否则称为不充分条件；而当成立时，也成立则是的必要条件，否则称为不必要条件；当能证明的同时也能证明，则是的充分条件．
4. 已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.
【详解】解：由函数在上单调递增，
所以，
由于函数在上单调递减，
所以，
由于函数在上单调递增，
所以，
故.
故选：A.
5. 在下列图像表示的函数中，既是奇函数又是增函数的可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数和增函数的图像特点来判断即可.
【详解】A.图像没有关于原点成中心对称，不是奇函数，排除；
B.图像没有关于原点成中心对称，不是奇函数，排除；
C.图像在定义域上不是增函数，排除；
D.图像即关于原点成中心对称，是奇函数，又在定义域上是增函数，符合.
故选：D
6. 已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（）
A. 4B. 1C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】函数中，由可得，，
即函数的图象恒过定点.
若点在直线上，即有，
于是得，
当且仅当,即时取等号成立.
所以时，的最小值为1.
故选：B.
7. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C. 牛奶的温度降至还需
D. 牛奶的温度降至还需
【答案】D
【解析】
【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可.
【详解】由，得，
故，AB错误；
又由，，得，
故牛奶的温度从降至需，
从降至还需.
故选：D
8. 设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的单调性，由可得，分、两种情况讨论，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】对任意的、，有，
不妨设，则，，则，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数为偶函数，则该函数在上为减函数，
因为，则，
由知，
当时，，可得；
当时，，可得，
所以，不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，定义域为的函数是（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的定义域逐项判断.
【详解】对于A：函数的定义域为，故A错误；
对于B：指数函数的定义域为R，故B错误；
对于C：对数函数的定义域为，故C正确；
对于D：幂函数的定义域为，故D正确.
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（）
A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2
C. 经过4小时时针转了120°
D. 若角与终边关于轴对称，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数值在各象限的符号来判断A选项；
根据弧度数公式判断B选项；
根据角的定义判断C选项；
根据终边关于轴对称的角的关系判断D选项.
【详解】对于A：若角终边在第二象限或第四象限，则，是真命题，充分性成立；
若，则角终边在第二象限或第四象限，是真命题，必要性成立，所以角终边在第二象限或第四象限是的充要条件，故A正确.
对于B：由弧度数公式，得，即，故B正确.
对于C：经过4小时时针转了，故C错误；
对于D：若角与终边关于轴对称，则，故D错误
故选：AB.
11. 下列命题正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 命题“，都有”的否定为“，使得”
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质特值法来可判断A选项；
函数的单调性来可判断B选项；
由全称量词，存在量词命题的否定可判断C选项；
利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A：令，则成立，而，所以不一定成立，故A错误；
对于B:易知幂函数在R上增函数，所以时，得，故B正确；
对于C：命题“，都有”是全称量词命题，否定为存在量词命题，即“，使得”，故C错误；
对于D：由得，利用基本不等式可得，，即，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（）
A. B. C. 0D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义，整理不等式，构造函数，根据一次函数与二次函数的性质，可得答案.
【详解】不妨令，因为，所以，即，
令，则，因为，所以在上单调递减，
当时，符合题意；当时，则，解得：，
综上所述：实数的取值范围是，显然.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数的图象经过点，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义确定的值，再由函数图象经过点，代入可得，进而可得所求.
【详解】由函数为幂函数，可知，
故，
由函数图象经过点，
所以，即，
故，
故答案为：.
14. 已知的终边上有一点，则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，得到，再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】因为的终边上有一点，可得
则.
故答案为：.
15. 已知在定义域内单调，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数，二次函数单调性，结合分段函数单调性的要求即可求解.
【详解】由分段函数中当时，，对称轴为，所以，
当时，函数在上增函数；
当时，函数在上单调递减，上单调递增函数，而在上不单调.
综上可知，函数在R上单调递增函数.
因此可得，解得.
故的取值范围是.
16. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.
【详解】由题意知；
当时，，
故需同时满足以下两点：
①对时，
∴恒成立，
由于当时，为增函数，
∴；
②对时，，
∴恒成立，
由于，当且仅当，即时取得等号，
∴，
∴，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；
（2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解.
【小问1详解】
因为当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
当时，，，满足；
当时，，
因为，所以；
综上，实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围.
（2）若，解关于的不等式：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论，从而可得出答案；
（2）先根据求出，再解关于的一元二次不等式，最后根据指数函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
当时，满足，恒成立，
当时，则只需，
综上，要使，恒成立，则；
【小问2详解】
因为，所以，
此时，
所以，即，
令，即为，解得或，即或，
因为，所以无解，
解得，
所以不等式的解集为.
19. 已知，是关于的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可；
（2）根据已知条件判断出，所以利用即可求解.
【小问1详解】
由已知得①，②，
将①两边同时平方得，
则，所以；
【小问2详解】
∵，，，
∴，，∴，
.
20. 已知函数．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式．
【答案】（1）增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先用解析式得出单调性，再用定义证明；
（2）先判断函数的奇偶性，再利用单调性解不等式.
【小问1详解】
，所以函数是R上的增函数，证明如下：
设且，则
.
易知，指数函数在R上增函数且，所以，由，得即，又即.
因此，，得.
所以函数在R上增函数.
【小问2详解】
函数的定义域为R，因为，所以是奇函数.
由，得即.
又在R上增函数，所以，即，
又因为函数在上增函数，所以，解得.
故不等式的解集为.
21. 已知函数是偶函数．
（1）求k的值．
（2）若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？
若存在，求出实数m值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，m的值为
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）求出的表达式，用令，则，化函数为二次函数，由二次函数的性质求解．
【小问1详解】
∵函数是偶函数，
∴，即，
∴，∴；
【小问2详解】
假设存在满足条件的实数m．
由题意，可得，．
令，则，．
令，．
∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当，即时，，解得；
当，即时，
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）．
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为．
22. 对于函数，如果对其定义域中任意给定的实数，都有，且，就称为“倒函数”．
（1）判断函数是否为“倒函数”，并说明理由；
（2）若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，．
①根据定义，研究在上的单调性；
②若，函数，求在上的值域．
【答案】（1）是“倒函数”；理由见解析
（2）①在上单调递增；②
【解析】
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）①根据单调性定义证明；②换元法结合二次函数的单调性求值域可解.
小问1详解】
由，得，因为，所以的定义域，
因为，所以，所以是“倒函数”；
【小问2详解】
①设，且，则，
因为在上单调递增，，
所以，则，
由，得，
所以，所以在和单调递增．
又定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，所以在上单调递增．
②由题意得，因为在上单调递增，所以在上的值域为，
令．
因为函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当或2时，，所以在上的值域为，则，
因为，所以．
因为函数在上单调递增，所以，，
故在上的值域为．