2022-2023学年云南省腾冲市高一上学期期中教育教学质量监测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年云南省腾冲市高一上学期期中教育教学质量监测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，填空题，问答题，证明题，作图题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求解一元二次不等式得到集合，再利用交集运算即可求解.
【详解】解：因为，所以或，
又，所以.
故选：D.
2．下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.
【详解】，与不是同一函数，故A错误；
的定义域为，与不是同一函数，故B错误；
的定义域为，且，
所以与是同一函数，故C正确；
，与不是同一函数，故D错误.
故选:C.
3．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分段求解值域，再取并集即可.
【详解】当时，；
当时，；
当时，，
所以函数的值域为.
故选:A.
4．设集合的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．
解：因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．故选B．
5．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由根号下式子大于等于0，分母不等于0，0没有零次方三个知识点即可列式求出定义域.
【详解】由题意可得：，解得：且.
故选B.
【点睛】本题考查定义域的求法，一般有解析式的函数定义域有以下几种情况：①偶次根式被开方数大于等于0；②分母不等于0,；③0没有0次方；④对数函数真数大于0.
6．不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.
则有，变形可得，
故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
7．已知正数满足，则当取得最小值时（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故选：B
8．已知定义在实数集上的函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数是偶函数，且在上单调递增，可得函数在上单调递减，从而可得不等式等价于或，从而可得出答案.
【详解】解：因为函数是偶函数，且在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又因，所以，
不等式等价于或，
即或，
所以或，
即不等式的解集为.
故选：B.
二、多选题
9．有下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【分析】根据可判断①；取可判断②；取可判断③④.
【详解】对于①，，故①为真命题；
对于②，,但不成立，故②为假命题；
对于③，存在，使得，故③为真命题；
对于④，当时，，故④是真命题.
故选:ACD.
10．已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A．时，函数解析式为
B．函数在定义域上为增函数
C．不等式的解集为
D．不等式恒成立
【答案】BC
【解析】对于A，利用奇函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.
【详解】对于A，设，，则，
又是奇函数，所以，
即时，函数解析式为，故A错；
对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对；
对于C，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，（舍去），即，
所以不等式，转化为，
又在上为增函数，得，解得，
所以不等式的解集为，故C对；
对于D，当时，
，
当时，
不恒大于0，故D错；
故选：BC
【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：
（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；
（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；
（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
11．已知是定义域为的奇函数，令的最大值为的最小值为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据可判断AB；根据可判断CD.
【详解】因为是奇函数，所以，故A错误，B正确；
根据奇函数的性质可知，，
又，
所以，
所以，故C错误，D正确.
故选:BD.
12．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”，下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可知，函数的解析式和值域相同但其定义域不同，则函数必为不单调函数，举出满足条件的例子构造“同族函数”即可.
【详解】选项A：当定义域分别为和时，值域均为，所以为同族函数，A正确；
选项B：当定义域分别为和时，的值域均为，所以为同族函数，B正确；
选项C：定义域为，函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，且在两个区间上的取值一正一负，不满足定义域不同时值域相同，C错误；
选项D：当定义域分别为和时，的值域均为，所以为同族函数，D正确；
故选：ABD
三、单空题
13．若函数，若，则 ．
【答案】或
【分析】分与讨论，代入解析求解即可.
【详解】时，，解得；
时，，解得或（舍）.
综上可得或.
故答案为:或.
14．已知函数是偶函数，其定义域为，则
【答案】
【分析】根据定义域关于原点对称可得，根据可求，从而可求与.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，
所以①，
且，即，解得,
代入①，可得，
所以.
故答案为:.
四、填空题
15．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意知，，
解得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
五、单空题
16．若某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间（单位：年）的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大．
【答案】5
【分析】先求出年平均利润关于机器运转时间的解析式，再利用基本不等式求解最值.
【详解】每台机器运转年的平均利润为，且，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元.
故答案为:5.
六、问答题
17．已知函数.
（1）求及的值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1）根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可.
（2）根据分段函数的表达式，讨论的取值范围进行求解即可.
【详解】（1），
，
（2）若时，由得，即，此时，
若时，由得，即，此时，
综上不等式的解集为.
【点睛】本题考查了分段函数的函数值以及解分段函数的不等式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
18．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法进行求解；
（2）在（1）的基础上，分与两种情况进行求解最大值.
【详解】（1）设，则，
因为，
所以，
故，解得：，
又，所以，
所以；
（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为．
因为，
①当时，函数的最大值为；
②当时，函数的最大值为.
综上：．
19．在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若选______，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）利用并集的定义可求得集合；
（2）选①，可得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；
选②，可得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；
选③，由题意可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】（1）解：当时，，则.
（2）解：选①，由题意可知，则，解得，
当时，，合乎题意，
当时，，合乎题意.
综上所述，；
选②，由题意可知，则，解得，
所以，；
选③，，则或，解得或.
所以，或.
七、证明题
20．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)判断在上的单调性并用定义证明．
【答案】(1);
(2)在上单调递增，证明见解析.
【分析】（1）代值列方程即可求解；
（2）设，则，判断符号即可.
【详解】（1）因为，所以，解得.
（2）由（1）得，则,
在上单调递增，证明如下：
设，
则.
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
八、问答题
21．若是定义在上的增函数，且.
（1）求的值；
（2）若，解不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）特殊赋值法，令，即可求得；
（2）利用和，将转化为，再根据函数的单调性和定义域列式可解得结果.
【详解】（1）令，则有，.
（2），
令，，则，
不等式等价为不等式，
，
又是上的增函数，
，解得，即不等式的解集为.
所以不等式的解集为.
【点睛】利用函数单调性解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉""，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内，考查学生的转化思想与运算能力，属于中档题.
九、作图题
22．给定函数．
(1)在图①中画出函数的大致图象；
(2)，用表示中的较小者，记为，求出的解析式，并将的图象画在图②中；
(3)直接写出函数的值域．
【答案】(1)图象见解析;
(2)，图象见解析;
(3).
【分析】（1）根据函数的解析式，在坐标系中分别描出5个点，再将各点连接起来，即可得，的大致图象；
（2）根据函数的定义，结合（1）所得图象写出解析式，进而画出的图象.
（3）由（2）所得图象直接写出的值域.
【详解】（1）
∴函数，的大致图象如下图示：
（2）由，可得或，结合（1）的图象知：
，
则的图象如下：
（3）由（2）所得图象知：的值域为.
2
1
0
1
2
6
0
2
0
6
6
3
0
3
6