2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县第二中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县第二中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合交、并、补运算的基本概念得到答案.
【详解】图中所表示的集合为.
故选：B
2．已知，那么的一个充分不必要条件是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件定义，结合推出关系依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，
是的一个充分不必要条件，A正确；
对于B，，，
是的一个既不充分也不必要条件，B错误；
对于C，，，
是的一个必要不充分条件，C错误；
对于D，，，
是的一个必要不充分条件，D错误.
故选：A.
3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用乘1法即得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
4．当时，函数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，
当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
5．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件得出函数在上单调递增，再结合奇偶性转化为解不等式即可.
【详解】由任意两个实数，不等式恒成立，
函数在上单调递增．
又函数是定义在上的奇函数，得，
所以不等式
化为，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A．
6．已知函数在定义域内的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【分析】先求出函数定义域，化简得到，令，，得到为奇函数，从而得到，进而得到.
【详解】由题意得，解得，
故，定义域为，
令，，
则，
故为奇函数，所以，
故，即.
故选：D
7．右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）

A．，，1，2B．2，1，，
C．，，2，D．2，，，
【答案】B
【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可.
【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为；
对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为；
对应的图象为抛物线，对应的图象应为；
在第一象限内的图象是；
所以与曲线对应的n依次为2，1，，.
故选：B
8．已知函数，是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用分段函数的单调性计算即可.
【详解】由题意可得，即D正确.
故选：D
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】分别判断个选择项的奇偶性，排除A，再判断B、C、D的单调性，排除B．
【详解】A项，函数的图象不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，故A项错误；
B项，函数是奇函数，但是在和上是减函数，
在定义域上不具有单调性，故B项错误；
C项，设，因为，是奇函数，
由幂函数知：是增函数，故是减函数，故C项正确；
D项，函数可化为，
其图象如图：
故既是奇函数又是减函数，故D项正确．
故选：CD．
10．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为2
C．的最大值为2D．的最小值为2
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式，可判定A错误；由，结合基本不等式，可判定B正确；由，可判定C正确；由，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为正实数满足，由，所以，
解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C中，由，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，由，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：BCD.
11．下列说法中正确的有（ ）
A．若，对任意的时，都有，则在I上是增函数
B．函数在R上是减函数
C．函数y＝－在定义域上是增函数
D． 的单调递减区间是和
【答案】AD
【分析】根据函数单调性定义判断A，根据二次函数性质判断B，利用特殊值判断C，根据反比例函数的性质判断D.
【详解】对于A，根据函数单调性定义知A正确；
对于B，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C，在整个定义域内不是增函数，如，而，故错误；
对于D，在和上单调递减，故D正确.
故选：AD
12．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】AD
【分析】利用已知条件判断的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可．
【详解】关于的不等式的解集中恰有4个整数，
所以，因为时，不等式的解集中的整数有无数多个．
不等式，对应的方程为：，
方程的根为：和；
由题意知，，则，解得；
当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意．
当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：,0,1,2；满足题意．
当时，不等式的解集是,，此时，
解集中含有5个整数：,0,1,2,3；不满足题意．
当时，不等式的解集是,，，
解集中含有整数个数多于4个，不满足题意．
综上知，的值可以是和．
故选：AD
三、填空题
13．命题“”的否定是 ．
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定是.
故答案为：.
14．已知，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用1的妙用以及基本不等式求最值.
【详解】，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
15．已知 且，则= .
【答案】
【分析】设，易判断是奇函数，可得，即，可得解.
【详解】由题意，设，
又，所以函数是奇函数，
可得，即，
又，则.
故答案为：.
16．已知二次函数图象的顶点坐标为，则不等式的解集为
【答案】
【分析】根据二次函数定点坐标得到，代入数据解不等式得到答案.
【详解】二次函数图象的顶点坐标为，则，解得，
不等式，，即，所以，
所以所求不等式的解集为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)当时或，与集合A求交集，即可.
(2)对集合B，进行分类讨论，当即时，成立；当，若使得成立，则需，求解不等式组，即可.
【详解】(1) 当时，则或.
所以；
(2)当即，即时，满足题意，
当，即，若使得成立，
则需，解得.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合之间的关系及运算，属于较易题.
18．已知二次函数，且满足①不等式的解集为：②函数的图象过点.
(1)求函数的解折式：
(2)设，求函数在上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）是方程的两个根，由韦达定理求出，结合图象过点，得到，从而求出，，得到解析式；
（2），求出对称轴，分，与三种情况，结合单调性求出最小值，得到答案.
【详解】（1）由题意得是方程的两个根，
所以，故，
又的图象过点，故，
所以，解得，
所以，所以；
（2），
对称轴为，
当，即时，在上单调递增，
故在取得最小值，最小值为，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故在取得最小值，
最小值为，
当，即时，在上单调递减，
故在取得最小值，最小值为，
故.
19．（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可；
（2）利用奇偶函数的性质列方程组求解解析式即可.
【详解】（1）设，则，
∴，
又∵函数是定义域为R的奇函数，
∴，
∴当时，.
又时，，
所以；
（2）∵是偶函数，是奇函数，，
∴．
则
即，解之得.
20．已知是定义在上的奇函数，当时，；
(1)求，的值；
(2)求的解析式.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，求出的值，由奇函数的性质计算可得答案；
（2）令，则，利用奇函数的性质求出的表达式，综合可得答案．
【详解】（1）根据题意，当，，则，
是奇函数，则．
（2）令，则，由已知，
∵是奇函数，
∴当时，，
∴
21．已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）由已知可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递减，
则，解得，故.
（2）解：由（1）可知，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
22．某企业计划建造一个占地面积为40平方米，高为2米的长方体冷库，已知冷库正面每平方米的造价为220元，顶部和地面每平方米的造价为200元，其他三个面每平方米的造价为180元.设冷库正面的长为x米.
(1)求建造这个冷库的总费用y（单位：元）与该冷库正面的长x（单位：米）之间的函数关系式.
(2)当这个冷库正面的长为何值时，建造这个冷库的总费用y最低？总费用最低是多少？
【答案】(1)
(2)冷库正面的长为6米时，建造这个冷库的总费用y最低，最低是25600元
【分析】（1）根据题意建立函数关系即可；
（2）利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为该冷库正面的长为x米，所以该冷库侧面的长为米，
则建造这个冷库的总费用，
即；
（2）因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则当这个冷库正面的长为6米时，建造这个冷库的总费用y最低，最低是25600元.