2023-2024学年广西壮族自治区百色市德保县高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区百色市德保县高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集运算求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A
2．设，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式，直接代入求解.
【详解】∵,
且，
∴.
故选：C
3．已知a，b是实数，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，结合反例可判断选项
【详解】由不等式的性质若且，则必有，反之不一定成立，如
故“”是“且”的必要不充分条件
故选：B
4．函数在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】A
【分析】由题意结合函数的单调性可得函数在上为减函数，即可得解.
【详解】∵函数在上为减函数，
∴.
故选：A.
5．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小.
【详解】因为，，，
又在第一象限内是增函数，，
所以，即.
故选：D.
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由且求交集即可求得结果.
【详解】由题意知，.
故选：A.
7．两个正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】妙用“1”先求得的最小值为4，然后解不等式可得.
【详解】正实数，满足，
，
当且仅当且，即，时取等号，
不等式有解，
，解得或，即．
故选：C．
8．若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出时，、和的解，再由奇函数性质得出时，、和的解，然后分类讨论解不等式可得．
【详解】当时，，时，，时，，，
又是奇函数，所以时，，时，，且，
不等式或或，所以或，
综上．
故选：D．
二、多选题
9．设，，若，则实数m的值可以为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】ABD
【分析】由可知，，分别研究、、时m的值即可.
【详解】因为，所以，
又，
所以①当时，，
②当时，，解得，
③当时，，解得.
综述：或或.
故选：ABD.
10．下列四个选项能推出的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】等价于，然后逐个分析判断即可.
【详解】，
对于A，当时，，所以，所以A正确，
对于B，当时，，所以，所以B错误，
对于C，当时，，所以，所以C正确，
对于D，当时，，所以，所以D正确，
故选：ACD.
11．已知，函数，下列表述正确的（ ）
A．为奇函数B．在单调递增
C．的单调递减区间为D．最大值为
【答案】BC
【分析】分类讨论，写出解析式，画出图像，分析选项可得答案.
【详解】由题可得，画出图像如下.
对于A选项，由图可知为非奇非偶函数.，故A错误.
对于B选项，由图可知，在上单调递增.故B正确.
对于C选项，由图可知，的单调递减区间为.故C正确.
对于D选项，由图可知，无最大值.故D错误.
故选：BC
12．若，则下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．的最小值为D．若，则
【答案】ABD
【解析】A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断.
【详解】A. 因为，故正确；
B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确；
C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误；
D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确；
故选：ABD
三、填空题
13．给出函数，如下表，则
【答案】1
【分析】由内到外依次求各函数值即可.
【详解】由题知，，所以.
故答案为：1.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域.
【详解】函数的定义域需满足，解得：且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
15．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
16．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意，，
①若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以；
②若，则不等式无解，不满足题意；
③若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以.
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知且，，求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将集合化简，结合并集的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由交集以及补集的运算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，且，
则.
（2）由（1）可知，，则，
，所以.
18．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数，且满足.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解；
（2）根据题意利用构建方程组法运算求解；
（3）根据题意利用待定系数法运算求解
【详解】（1）令 ，则，
可得，
所以；
（2）因为，可得，
即，消去可得；
（3）设，
因为，即，
整理得，
所以，解得，
所以.
19．已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把代入，利用二次函数的性质求出在上的最值即可.
（2）分类讨论解含参数的一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）当时，，函数图象的对称轴，
当时，取最小值，
因为，则当时，取最大值，
所以在区间上的值域为.
（2）由，得，即，
当时，或；
当时，或；
当时，，
所以当时，的解集为或；
当时，的解集为或；
当时，的解集为.
20．已知函数.
(1)判断函数在上的单调性并证明；
(2)判断并证明函数的奇偶性，并求在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)在单调递减，证明见解析
(2)为奇函数，证明见解析，，
【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；
（2）利用函数的奇偶性定义判断，利用函数的单调性求最值.
【详解】（1）解：任取，
，
，
，
，，
，即在单调递减；
（2）因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数，
又由（1）知在单调递减，所以在也单调递减，
所以，.
21．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.
22．设函数的定义域为，并且满足，，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)如果，求取值范围.
【答案】(1).
(2)为奇函数.
(3).
【分析】（1）令，结合已知条件即可求.
（2）令代入已知等量关系式中，结合奇偶性定义即可判断函数的奇偶性.
（3）由题设得，则原不等式可转化为，再根据已知条件及单调性定义判断单调性，进而由单调性解不等式.
【详解】（1）令，则，可得.
（2）令，有，即，又定义域为，
∴为奇函数.
（3）由题设，，则可转化为，
令，则，且，
∵当时，，
∴，即，故为增函数，
综上，，解得.
x
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
6
8