2023-2024学年湖北省孝感市高一上学期期中模拟数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省孝感市高一上学期期中模拟数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据Venn图表示的集合计算.
【详解】由书已知，,，
阴影部分集合为，
故选：B.
2．命题“，使得”的否定为（ ）
A．，B．，使得
C．，D．，使得
【答案】C
【分析】利用含有一个量词命题的否定形式，改量词、否结论即可判断出选项．
【详解】由命题“，使得”，
则命题的否定为“，”．
故选：C．
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
4．如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（ ）
A．B．，
C．D．，
【答案】B
【分析】根据题意建立函数关系即可.
【详解】如图，
圆的直径，矩形的边.
∵，
∴由勾股定理，得，
∴矩形的面积，
又∵，
∴.
故选：B.
5．函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可.
【详解】自变量可取或内的任意值，∴定义域为或.
函数值范围为或，即，∴值域为.
故选：C.
6．若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由在第一象限内是增函数可得出的大小，由是减函数可得出的大小.
【详解】因为在第一象限内是增函数，所以
因为是减函数，所以，所以
故选：D
【点睛】本题考查的是利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，较简单.
7．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设，则，且，
则函数可化为，
所以函数的值域为.
故选：A.
8．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，所以，
当在上单调递增时，，所以，
当在上单调递增时，，所以，
且，所以，
故选：A.
【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：
（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；
（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；
（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．，
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】按x分类讨论去绝对值判断选项A；先求得不等式的解集再判断二者间的逻辑关系进而判断选项B；先将和化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项C；先将化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项D.
【详解】选项A：当时，；当时，，
故有，.判断正确；
选项B：由，可得或，
则由可得成立，但由不能得到.
则“”是“”的充分不必要条件.判断正确；
选项C：由可得且；
由可得或；
则“”是“”的充分不必要条件. 判断错误；
选项D：由可得，
则“”是“”的必要不充分条件.判断正确.
故选：ABD
10．函数，且，则（ ）
A．的值域为B．不等式的解集为
C．D．
【答案】CD
【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集；令，根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从而判断各选项的正误.
【详解】解：作出函数的图像如下图所示：
可知函数的值域为，A选项错误；
当时，有或，解得，，，
所以，不等式的解集为，B选项错误；
令，由图可知a，b关于对称，
所以，即，C选项正确；
因为有三个零点，所以，而，
所以，D选项正确；
故选：CD.
11．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最大值2
C．有最小值5D．有最小值
【答案】AC
【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
当且仅当时，等号成立，可得，
所以有最大值，故B错误；
对于选项C：，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值5，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故D错误.
故选：AC.
12．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.则（ ）
A．
B．是偶函数
C．在上单调递减
D．（注：）
【答案】ACD
【分析】求得的值判断选项A；利用函数奇偶性定义判断选项B；利用函数单调性定义判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】由对任意，总有，
令，则，则，
令，则，
则有，故
则是奇函数，故选项B判断错误；
又由，可得，
则，故选项A判断正确；
设任意，，
则，
又，则，则，
则在上单调递减. 故选项C判断正确；
，
又由，可得
则
故选：ACD
三、填空题
13．集合，，，则符合条件的集合C的个数为 .
【答案】7
【分析】根据，列举求解.
【详解】解：因为集合，，且，
所以集合C为：，
故答案为：7
14．若关于的不等式对恒成立，则实数的范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，分离参数可得在恒成立，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】要使不等式对恒成立，即在恒成立，
因为，当且仅当时，即时取等号，
所以，即实数的范围是.
故答案为：
15．已知，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可.
【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，
令，则上式为：，即，
解得或（舍），所以的取值范围为.
故答案为：.
四、双空题
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．
（1）当时， ；
（2）若的值域是，则的取值范围为 .
【答案】 （﹣∞，-2]∪[2，+∞）．
【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；
②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围．
【详解】①当时，，函数f（x）是定义在R上的奇函数，
f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2；
②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a,
所以若f（x）的值域是R，
则当x＞0时，f（x）＝必须满足：
，或，
解得a≥2或a≤-2，
即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为【答题空1】；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．
【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．
五、解答题
17．（1）计算：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）23
【分析】（1）进行指数式运算可得；（2）将两边同时平方可得到的值，再将平方可求出的值，再用立方和公式将分解，代入、的值，即可求出的值.
【详解】（1）原式.
（2）因为，所以，得.
所以，得.
所以，
所以.
18．已知全集为，集合，.
(1)若，求；
(2)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）解分式不等式得集合，再根据补集与交集的运算即可得；
（2）由题意知，所以∅或∅，求出取值范围.
【详解】（1）若，则，
由，解得，则，
则，
则.
（2）由题意知，
当，即时，∅，符合题意；
当，即时，∅，要满足，可得，解得，
综上，实数的取值范围为或.
19．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据定义奇函数特征，，求出的值，又，求出的值，得到的解析式，并检验.
（2）利用定义法证明函数单调性.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，
则函数的解析式：，，
经检验，是奇函数.
（2）证明：设，则，
由于，则，，即，
又，
则有，
则在上是增函数.
20．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）．
(1)求单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.
【分析】（1）根据题意列出分段函数即可；
（2）根据分段函数分别讨论最值，再得出两者最大的为函数的最大值即可求解.
【详解】（1）依题意可得， ，
所以.
（2）当时，图象开口向上，对称轴为，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以；
当时，，
当且仅当，即时取得等号，
因为，所以当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.
21．已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的函数值求解析式；
（2）利用二次函数在给定区间的单调性分类讨论最小值即可求解.
【详解】（1）由题可得，，所以，
又因为，
所以二次函数的对称轴为，解得，
所以.
（2）由（1）知，，对称轴，
当，即时，
函数在上单调递减，
则函数的最小值；
当，即时，
函数在上单调递减，单调递增，
则函数的最小值；
当时，
函数在上单调递增，
则函数的最小值；
所以，
（i）当时，单调递减，所以；
（ii）当时，；
（iii）当时，单调递增，所以；
综上，的值域为.
22．设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，．
(1)判断的奇偶性和单调性，并加以证明；
(2)若对于任意和任意，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是奇函数，在上单调递减,证明见解析.
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性的定义证明；
（2）利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式，再利用双勾函数的性质解决恒成立问题.
【详解】（1）是奇函数，在上单调递减，证明如下：
因为对任意，恒有，
所以令，可得，
令，可得，即，
又因为函数的定义域为，所以是奇函数；
设，则，所以，
则，即，
所以在上单调递减.
（2）,
所以，
即，
所以，即，
所以问题转化为，对任意和任意恒成立，
所以恒成立，
因为，所以，所以恒成立，
设函数
（其中，令），
又由对勾函数在单调递减，单调递增，
所以，
所以，
所以函数，
所以由恒成立可得，，即，
所以实数的取值范围是.