2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区高一上学期期中测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区高一上学期期中测试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的补集运算法则计算即可.
【详解】因为全集，集合，
所以.
故选：B
2．已知函数则（ ）
A．B．C．35D．53
【答案】C
【分析】根据解析式求函数值即可.
【详解】由题意知，所以.
故选：C.
3．是的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据题干直接判断即可.
【详解】因为，且 ，
所以，
所以是的充要条件.
故选：C
4．学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）
① ②
③ ④
A．①②B．③④C．①④D．②③
【答案】A
【分析】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象.
【详解】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m，
则，且，
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.
故选：A
5．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断．
【详解】由已知，因此AB错，C表达方式错，D正确．
故选：D．
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．C．D．在上单调递减
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性及单调性取特殊函数可判断AD，利用偶函数及单调性判断B，根据定义域判断C.
【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
取，满足条件，但，故A错误；
由偶函数及单调性知成立，故B正确；
因为函数定义域为，故无意义，故不成立，故C错误；
取，满足题意，但在上单调递增，故D错误.
故选：B
7．已知：当时，成立，若是的小数部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的性质，结合指数幂的运算即可求解.
【详解】,由于，所以，
故，
故选：C
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可做出判断.
【详解】对于，因为函数在上单调递减，且，所以，即；
对于，因为函数在上单调递增，且，所以，即；
对于，因为函数在上单调递增，且，所以，即；
综上所述，.
故选：D.
【点睛】关键点睛：比较大小的方法：指数、对数比较大小时通常采用函数单调性和特殊值进行比较，化同底是关键.
二、多选题
9．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据根式的定义，幂的运算法则，对数的运算法则判断．
【详解】选项A，时，左边为正，右边为负，错误；
选项B，由根式的定义知正确；
选项C，由幂的乘法法则知正确；
选项D，由对数运算法则，一般不等于，错误，
故选：BC．
10．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合作差法，特殊值法逐项判断即可.
【详解】由题，
对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于C，令满足，但，所以C错误；
对于D，因为，所以不同时为0，则，所以D正确；
故选：ABD
11．在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.由此，下列四组无限集合中等势的有（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】AC
【分析】根据集合等势的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，对任意，可建立到的一一对应；所以A正确；
对于C，对任意时对应中的，时对应中的，可建立一一对应；所以C正确；
对于，整数集与实数集，自然数集与实数集，之间都无法建立一一对应，所以错误；
故选：AC.
12．关于函数的下列四个说法中，正确的是（ ）
A．若对一切实数成立，则是增函数
B．若对一切实数成立，则
C．若对一切实数成立，则的图象关于轴对称
D．若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数
【答案】BC
【分析】取特殊函数判断AD，根据所给性质推理判断BC.
【详解】若，其中表示不超过的最大整数，显然，
即对一切实数成立，但不是增函数，故A错；
由可得，
所以，故B正确；
由可得，即，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；
若，满足，但函数是非奇非偶函数，故D错误.
故选：BC
三、填空题
13．命题“，”的否定是 .
【答案】，
【分析】根据全称命题的否定求解.
【详解】根据全称命题的否定可知：
命题“，”的否定是命题“，”
故答案为：，
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由分式分母不为零,平方根被开方数不小于零,即可求得
【详解】要使函数有意义须,
所以函数的定义域为.
故答案为:
【点睛】本题考查函数的定义域,对于函数解析式成立的条件要熟练掌握,属于基础题.
15．若正数，，满足，，则的最大值是 .
【答案】
【分析】根据基本不等式求得的最小值后可得结论．
【详解】由题意，所以，当且仅当时等号成立，
，即的最小值是.
故答案为：．
四、双空题
16．已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， .
【答案】 0 /
【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可.
【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称，
从而，即.当时，，.故；
，不等式组等价于，
因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以；
又，所以，因此，是的两个正根，即，
所以，解得，
又因为，所以，
即，解得或（舍）.
故答案为：0；.
【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键.
五、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由交集定义计算；
（2）由包含关系得不等式求解．
【详解】（1）因为，所以，所以；
（2），
若，则，所以的取值范围为.
18．（1）求值：；
（2）已知，用表示式子：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指数幂的运算即可求得答案；
（2）根据对数运算化简，再将化为对数式可得，由此可得答案.
【详解】（1）；
（2），
因为，所以，所以，
所以.
19．随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭的重要生活方式，A，两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A地提高景区门票价格到120元/人，地取消了景区门票.政策实施后，A地的游客人次近似于直线上升（线性增长），地的游客人次近似于指数增长（如图所示）.
已知：
①2011年度，A地的游客人次为600万，地的游客人次为300万；
②从2011年度开始，A地游客人次的年增加量近似为10万人次，地游客人次的年增长率近似为20%；
③平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入（不含门票）；
(1)填空：2014年度，地的年度游客人次近似为______万；
(2)从2011年度开始，分别估计多少年后，A地，地的年度旅游收入开始超过50亿元？
(3)结合（2），谈谈你的看法.
（附参考数据：，，，，，）
【答案】(1)519
(2)估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元
(3)答案见解析
【分析】（1）根据指数增长，计算可得；
（2）分别根据一次函数和指数函数的模型列不等式求解；
（3）结合快速增长，长远发展，政策适合等进行说明．
【详解】（1）2014年度，地的年度游客人次为万；
（2）设从2011年度开始，估计年后，A地的年度旅游收入为（单位：万元），
则，得，
令，得，解得，
所以，估计21年后，A地的年度旅游收入开始超过50亿元，
由题意，年后，地的年度旅游收入为万元，
，
，
，
所以，估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元，
或者令，得，
因为，，结合图像，
所以，估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元；
（3）指数增长让地的游客人次增长很快，取消门票，反而有利于促进消费，拉动经济增长：或者，地景区的政策更有利于地方经济的长远发展；或者，一段时间后，地景区的收入明显超过A地景区，不同的政策有不同的结果．
20．已知，命题：，命题：函数在上存在零点.
(1)若是真命题，求的取值范围；
(2)若，中有一个为真命题，另一个为假命题，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；
（2）求出为真命题时m的取值范围，再分类讨论命题，的真假，即可求得答案.
【详解】（1）因为是真命题，所以成立，解得；
（2）若为真命题，则函数在上存在零点，
则方程在上有解，
因为，该方程在有解时两解同号，所以方程在上有两个正根，
则，得，
若为真命题，为假命题，得，
若为假命题，为真命题，得，
所以的取值范围为或.
21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求在上的取值范围；
(2)求的函数关系式；
(3)设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数单调性求最值；
（2）利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式；
（3）根据题意求出，转化为的值域包含的值域即可得解.
【详解】（1）因为的对称轴为，
所以函数在单调递减，在单调递增，
因为，所以在上的值域为；
（2）因为是定义在上的奇函数，所以；
设，则，所以；
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以
（3）因为，所以，所以，
当时，，因为在上递增，所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，
当时，，
因为在上递减，在上递增，
此时，因为，，所以，
所以不符合题意，
综上，.
22．已知函数.
(1)求；
(2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性；
(3)设，若在时有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时，在上是单调递增函数
(3)或
【分析】（1）直接代入求解即可.
（2）利用单调性定义法证明即可.
（3）根据与时的单调性，求解不等式在定区间上有解问题即可.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）当时，设，则，
，
显然，，
当有一个值为0时，因为，所以有；
当时，因为，所以有；
当时，，所以有；
当时，，所以有；
综上，当时，必有，
当时，在上是单调递增函数；
（3）由上知当时，在上是单调递增函数；
同理可证明：当时，在上是单调递减函数；
令，所以，可得，在时有解，等价于在时有解，
当时，由的单调性知，令，得；
当时，由的单调性知，令，得；
当时，无解；
综上，的取值范围这或.