2023-2024学年江苏省南通市海安市实验中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市实验中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据韦恩图确定阴影部分元素与集合的关系，结合交、并运算求阴影部分的集合.
【详解】由题设，阴影部分元素属于集合或，但不属于，
又，，
所以阴影部分的集合为.
故选：D
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“”的否定为“”.
故选：B.
3．已知函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】直接代入分段函数计算即可.
【详解】由已知，
.
故选：C.
4．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：①，②y＝x+1，③，④y＝x2，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A．①③B．①②C．③④D．②④
【答案】C
【分析】根据函数的定义：集合M中的每一个数通过对应法则对应后在集合N中都有唯一的一个元素与之对应，逐项判断，可得选项.
【详解】对于①：当时，，集合中不存在
对于②：当时，，集合中不存在
对于③：当，时；当时，；当时，；当时，；所以C选项满足函数的定义；
对于④选项：当时，；当时，；当时，；当时，；所以D选项符合函数定义，
故选：C
【点睛】本题考查函数的定义，属于基础题.
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为，
可知，
且在定义域内单调递减，则，即，
所以.
故选：C.
6．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.
【详解】由于，，，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；又因为，故排除D项，
故选：A.
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知为非零实数，且；则下列结论正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.
【详解】A：，若有，故，A错误；
B：，若有，又，故，B错误；
C：若，则，C错误；
D：，故，D正确.
故选：D
8．已知是定义在上的奇函数，，若且满足，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设易知奇函数在、上递增，结合且或，即可求解集.
【详解】由题设在上递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上递增，而，则，
由，有或，则或，
所以不等式解集为.
故选：A
二、多选题
9．设集合，，若，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系.
【详解】因为，
所以或或，
所以或或，
故选：ABD．
10．下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过点和．
B．幂函数的图象不经过第四象限．
C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数．
D．幂函数的图象过点，则
【答案】BC
【分析】根据幂函数的图像性质分别判断每个选项即可.
【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误；
对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B正确；
对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在R上单调递增；当时，，定义域为且在上单调递增，选项C正确；
对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误；
故选：BC.
11．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】根据题意，由条件可得，即可判断ABC，将不等式化简可得，即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误；
因为，故B正确；
不等式可以化简为，解得，故D正确；
故选：ABD
12．已知函数是R上的增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】AC
【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质分析求解.
【详解】因为函数是R上的增函数，则
解得，即，
结合选项可知：实数a的值可以是或.
故选：AC．
三、填空题
13．已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一定点，则这个点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据指数函数恒过定点求解即可.
【详解】因为当时，即时，，
即恒过点.
故答案为：
14．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】函数f（x）=，
∴
∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．
故答案为．
【点睛】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．求函数定义域的注意点：
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
15．已知函数,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则 .
【答案】
【解析】将方程中的换成，然后利用奇偶性可得另一个方程，联立解得即可.
【详解】∵,分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，
∴，即，
两式相减可得，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用方程组的方法求函数解析式，属于基础题.
16．已知定义域为的奇函数，则的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求得，结合函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集.
【详解】由题知，恒成立，所以，
此时，符合题意.
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，函数单调递增，
故等价于
等价于，
即，解得．
故答案为：
四、解答题
17．求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数的运算性质化简求值即可.
（2）根据对数的运算性质化简求值即可
【详解】（1）
（2）
18．设集合，.
(1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把题意转化为集合的关系，然后根据集合关系列不等式求解即可；
（2）根据交集运算结果得，然后根据和分类讨论，列不等式组求解即可.
【详解】（1）由是的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，
故，所以，即实数的取值范围为.
（2）因为，所以，
当时，，所以，满足题意；
当时，，解得；
综上，实数的取值范围为.
19．已知定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并用单调性定义证明；
【答案】(1)
(2)函数在上是增函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用，求得，再由，求得，即可求得的解析式；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】（1）解：由定义在上的奇函数，则，即，解得，
因为，即，解得，所以，
经检验：，符合题意，
所以.
（2）解：函数在上是增函数.
证明如下：
任取且，
则
，
因为，则，，
故，即，
因此函数在上是增函数.
20．解不等式：
(1)；
(2)若，解关于x的不等式.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）移项后把分式不等式变为一元二次不等即可，注意分母不为0；
（2）先因式分解，再对参数分类讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可.
【详解】（1），
所以，解得或，
故不等式的解集为；
（2），
①当时，此时，不等式解集为；
②当时，此时，不等式解集为；
③当时，有，不等式解集为，
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)封装160万片时，公司可获得最大利润
【分析】（1）根据利润=销售额-成本即可的利润的函数解析式；
（2）根据（1）利润的函数解析式，分段求解函数最值，最终比较得最大值即可.
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
综上可知；
（2）解：当时，，
∴当时，利润取最大值700万元；
当0时，，
∴当且仅当“”，即“”时，利润取最大值730万元，
综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元．
22．已知定义在R上的函数
(1)判断函数的奇偶性和单调性（无需证明）；
(2)解不等式；
(3)设函数，若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)奇函数，减函数
(2)或
(3)
【分析】（1）定义法判断函数奇偶性，由复合函数的单调性判断函数单调性；
（2）利用函数奇偶性和单调性解不等式；
（3）求出函数值域为，依题意有，换元法求的最大值即可.
【详解】（1）因为定义域是R，且，
所以是奇函数．
，
设，则，
因为在R上递增，且在上递减，
所以是R上减函数
（2）因为在R上是奇函数，
则可转化为，
由（1）得在R是减函数，则，
整理得，解得或，可得或，
所以不等式的解集为或．
（3）由题意可得：，
因为，即，则，可得，
所以的值域是，
若，，使成立，只需，
设，，
则
可知在上单调递增，
可知：，即时，取到最大值为，
所以，解得，
所以实数的取值范围．