2023-2024学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高一上学期期中数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A
2．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可得到答案
【详解】解：，
，
当且仅当即时取等号，
故选：C
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算性质即可求解.
【详解】.
故选：B
4．下列等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据根式的性质判断A，根据指数幂的运算法则判断B、D，根据对数的运算性质判断C.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故A正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：D
5．已知满足，且，，那么．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，可得，，∴，故选B.
6．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确；
对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误；
对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误；
对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误；
故选：A.
7．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.
故选：A
8．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程，求得答案.
【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得,
而当时，函数是上的偶函数，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．B．是的必要不充分条件
C．集合与集合表示同一集合D．设全集为R，若，则
【答案】ABD
【分析】对四个选项依次分析判断其真伪.
【详解】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中推不出，反之若可以得到，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查了特称命题、充分条件和必要条件、集合的类型、集合的运算及集合间的关系，涉及的知识点较多，属于新高考多选题型，解题时需要逐一判断，要对每个选项准确判断，具有一定的难度.
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据指数幂运算法则计算即可得到A正确；根据基本不等式得到，根据等号取等条件判断等号不可取从而得到B正确；通过指数幂运算直接计算得到C正确；通过对平方后进行比大小即可得到D错误.
【详解】因为，所以，故A正确；
易知，，由基本不等式得，所以，当且仅当时取等号，又因为，即，所以等号不成立，所以，故B正确；
，故C正确；
由，得，故D错误．
故选：ABC
11．关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（ ）
A．不等式的解集可以为
B．不等式的解集可以为
C．不等式的解集可以为
D．不等式的解集可以为
【答案】BD
【分析】选项A先假设结论成立，再得到不等式为并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A错误；选项B当，时，不等式恒成立，判断选项B正确；选项C当时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得，符合题意，判断选项D正确.
【详解】解：选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；
选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；
选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；
选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；
故选：BD
12．函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．，使
【答案】AB
【分析】利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理判断．
【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使
D不正确；
令，则，即
A正确；
若在上有最小值－1，即对，，使得
当时，，即在上有最大值1
B正确；
根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确；
故选：AB．
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】且
【分析】由中根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．
【详解】由 ，解得且x≠2．
∴函数的定义域是】且．
即答案为】且
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14．已知幂函数在上为单调减函数，则实数的值为 .
【答案】2
【分析】根据幂函数的定义以及性质，列出相应的等式和不等式，即可求得答案.
【详解】由题意为幂函数，在上为单调减函数，
故，则，
故答案为：2
15．已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】，即，整体代入即可求出的值.
【详解】由题：函数，，
所以，
.
故答案为：
【点睛】此题考查根据函数解析式求值，利用整体代入求值，可以结合奇偶性分析，也可依据指数幂的运算关系求值.
16．定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】首先将题意转化为或，再画出函数的图象，根据图象解不等式即可.
【详解】由题意得到与异号，故不等式可转化为或，
根据题意可作函数图象，如图所示：

由图象可得：当时，；当时，，
则不等式的解集是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，属于简单题.
四、解答题
17．计算：
(1)求值：；
(2)．
【答案】(1)81
(2)
【分析】（1）根据指数式的运算直接计算即可；
（2）根据对数式的运算直接计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
18．（1）设集合，，，求实数a的值；
（2）若集合，，，求满足条件的实数x．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1），对于集合，分类：或，检验即可；
（2），即，对元素进行讨论求解.
【详解】（1），，显然，
当时，，此时，，
与题矛盾，舍去；
当时，，此时，，
符合题意，
所以.
（2），即，，，
根据集合中元素互异性：且
当，，即，，或，，均满足题意；
当时，解得或（舍去）
即，符合题意.
综上：满足条件的实数x为
【点睛】此题考查通过集合间的关系及元素与集合的关系求解参数的值，需要注意求值中应该保证集合中元素的互异性进行检验，避免出现不合题意情况.
19．已知，.
（1）若，求集合；
（2）如果是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）解出不等式，利用集合并集的定义求解即可；
（2）化简集合，利用是的必要条件列出不等式组，可得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，由，
解得，；
而，所以.
（2），所以，
，，
如果是的必要条件，则，
，解得，
故的取值范围为.
20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=1米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？
（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）（0，）∪（2，+∞）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米.
【详解】试题分析：（1）由，列出函数关系式，通分化成标准形式，再求分式不等式的解集；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求解.
试题解析：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+1）米，
∵，∴|AM|=，∴S矩形AMPN=|AN|•|AM|=．
由S矩形AMPN＞9得＞9，又x＞0得2x2-5x+2＞0，解得0＜x＜或x＞2
即DN的长的取值范围是（0，）∪（2，+∞）．（单位：米）
（2）因为x＞0，所以矩形花坛的面积为：
y==2x++4≥4+4=8，当且仅当2x=，即x=1时，等号成立．
答：矩形花坛的面积最小为8平方米．
点睛：本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
【答案】(1)，
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意；
（2）设，由可证得在上单调递增.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，，解得：；
，；
经检验：当，时，，则，为奇函数；
，.
（2）在上单调递增，证明如下：
设，
；
，，，，，
是在上单调递增.
22．设是定义在[m,n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m,n]称为含峰区间.
(1)试判断是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
(2)若（，a、b、）是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求a的取值范围；
【答案】(1)是“含峰函数”， 峰点为；
(2).
【分析】（1）由“含峰函数”的定义，结合二次函数性质即可判断是否为“含峰函数”， 并确定峰点；
（2）由二次函数性质及峰点、值域可得且，再讨论、应用最小值求参数a范围.
【详解】（1）是在[0,6]上的“含峰函数”，理由如下，
由，开口向下且对称轴为，
所以区间[0,6]上，函数在上递增，在上递减，且峰点为，
所以为[0,6]上的“含峰函数”， 峰点为.
（2）由题设，，则，
又值域为[0,4]，故，
综上，且，
当时，，则；
此时，故；
当时，，则；
综上，.