2023-2024学年江西省抚州市资溪县第一中学高一上学期期中调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省抚州市资溪县第一中学高一上学期期中调研数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用并集和补集的定义可求得集合.
【详解】因为合，，则，
因此，.
故选：C.
2．已知p：，q：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】因为成立，必有成立，而成立，不一定成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
3．已知命题：，，那么命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故命题的否定是，.
故选：D
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】对于A，若，则不等式不成立，故A错误；
对于B，若，则不等式不成立，故B错误；
对于C，若，则不等式不成立，故C错误；
对于D，因为，所以，即，故D正确.
故选：D
5．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案.
【详解】对称轴为,
所以在严格增，所以，
故选：C.
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
7．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小.
【详解】由在定义域上单调递减，所以得：，
由在定义域上单调递增，所以得：，
即：.故A项正确.
故选：A.
8．若实数满足关系式，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，则，把看作关于的一元二次方程的两根，结合，求t的范围，再由，应用二次函数的性质求最小值.
【详解】令，则，
将看作关于的一元二次方程的两根，
则，故，可得或，
由，
结合二次函数性质，在上递减，在上递增，
又，
所以的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：令，将看作关于的一元二次方程的两根，利用求参数范围为关键.
二、多选题
9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】解不等式得到，根据充分不必要条件得到，得到答案.
【详解】，则，若“”是“”的充分不必要条件，
则，CD满足.
故选：CD.
10．已知，则满足的关系式有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】将和分别代入函数，然后整理后观察可得，，之间的关系可得答案.
【详解】因为，
所以.
观察可得，.
故选：AD
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为奇函数D．为增函数
【答案】ACD
【分析】根据解析式画出草图判断定义域、值域和单调性，应用奇偶性定义判断函数的奇偶性.
【详解】由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：
由图知：值域为，且在定义域上递增，
令，则，故，
令，则，故，且，
所以为奇函数.
故选：ACD
12．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据奇函数的性质求值判断A，根据奇偶性得函数的周期，利用周期性求值判断B，根据函数单调性比较大小判断CD.
【详解】因为为奇函数，所以，即，故A错误；
因为为偶函数，所以，
则有，，
又由为奇函数，得，
即，，
所以，，，
所以，B正确；
由可知当得，
由知，当得，
所以，所以，
又，都有即，
所以在上单调递增，且，所以，
所以，所以C正确；
由及
得，，
所以，
因为在上单调递增，且，所以，
所以，即，所以D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如等等，这些都是与周期性有关；如等等，这些都是与对称性有关.
三、填空题
13．函数的定义域是
【答案】
【分析】根据二次根式和分式的意义可得答案.
【详解】要使有意义，则，
∴，
∴的定义域为，
故答案为：．
14．若幂函数为奇函数，则的值为 .
【答案】0
【分析】利用幂函数的定义及性质，列式求解即得.
【详解】由是幂函数，得，解得或，
当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意，
所以.
故答案为：0
15．函数 （且）的图象过定点 ．
【答案】
【分析】根据指数函数恒过定点以及图象的平移变换的知识解决问题．
【详解】因为函数的图象过点定，而的图象是由的图象沿x轴向左平移一个单位得到的．故图象过点
故答案为（﹣1，1）．
16．设函数，存在最大值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】对进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得的取值范围.
【详解】①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值；
②当时，，当时，，
故函数存在最大值；
③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，，
当时，函数在上单调递增，此时 ，
于是时函数存在最大值.又，解得 ；
④当时，函数在上单调递减， ，
在上单调递增，此时
故当，解得，
又，故；
综上，的取值范围是时函数存在最大值.
故答案为：
【点睛】含参数的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏.
四、计算题
17．化简求值
(1)计算；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质化简可得；
（2）先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算性质可得.
【详解】（1）原式；
（2）原式
五、解答题
18．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合后取交集即可；
（2）根据子集关系，直接列式求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴.
（2）由题意可得，
又∵，
∴解得，
所以实数m的取值范围为.
19．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题．
(1)求实数的取值范围；
(2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在.
【分析】（1）先因式分解求出两根，再分别大于1求出参数取值范围即可；
（2）先得到，再考虑是否为空集的情况即可.
【详解】（1）因为命题为真命题，
而
，所以且，解得
（2）令，，
因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集，
若，此时；
若，则，解得，
综上所述，存在使得是的必要不充分条件
20．已知函数（且）的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接代入即可求出值；
（2）求出，再根据指数函数值域即可得到答案.
【详解】（1）因为的图象经过点，
则，又且，所以．
（2）当时，，则，
因为，所以在上单调递增，
则，即，
所以的值域为．
六、应用题
21．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元．
(1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？
(2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值．
【答案】(1)80；
(2)14.
【分析】（1）根据给定条件，列出关于不等式，求解不等式得解.
（2）列出关于不等式，分离参数并借助基本不等式求出最小值即可.
【详解】（1）依题意，，整理得：，即，而，解得，
所以调整后技术人员的人数x最多为80.
（2）依题意，，整理得：，
，而当时，，当且仅当时取等号，因此，
所以正整数t的最大值为14.
七、证明题
22．已知函数，满足.
(1)设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；
(2)设.
①当时，求的最小值；
②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）按单调性的定义证明即可；
（2）①单调性结合基本不等式即可求解；②恒成立转化为最值关系，并分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意可得，
令，则
，
时，且，
故，故在区间上为减函数；
时，且，
故，故在区间上为增函数.
（2）①令，解得，
由中可知的定义域为，
且，
因为，则，可得，故，
令，则，
故，当且仅当时取等号，
故，
②因为恒成立，
故，即，
由①：时，
令，令，
由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
时，在上为减函数，
故，，
故，得，和矛盾，
时，在上为减函数，在上为增函数，
，即，
得，
时，在上为增函数，故，得，
即或，由得，
综上得：或.