2023-2024学年江西省抚州市黎川县第二中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省抚州市黎川县第二中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用集合并补运算求集合.
【详解】由题设，则.
故选：D
2．全称量词命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“”否定是“”.
故选：A
3．已知，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】把化为，利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
4．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例、二次函数及分段函数的性质判断各函数是否符合要求即可.
【详解】由反比例、二次函数性质知：、在上递减，A、B不符合；
对于C，在上不单调，不符合；
对于D，，显然在上为增函数，符合.
故选：D
5．已知函数，满足的的值有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据题意，分析可得当时与当时，的取值范围，对于，分析的范围，可得，解可得的值，进而可得或，解可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，函数，
当时，，
当时，，
若，必有，
则，解可得或，
若，必有，
则，解可得，
若，必有，
则，解得，
故或．
故选：B
6．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据函数的奇偶性以及函数的解析式判断出正确答案.
【分析】的定义域为，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以A选项错误.
当时，，所以C选项错误.
当时，令，解得，所以B选项错误.
所以正确的是D.
故选：D
7．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可.
【详解】，，.
故选：D.
8．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小.
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为在为增函数，所以，即；
所以.
故选：A.
二、多选题
9．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】CD
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同，
所以不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，
因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一个函数，故C正确；
对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，
所以两函数是同一个函数，故D正确.
故选:CD.
10．若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．.
C．的最小值为1D．的最小值为
【答案】BD
【分析】对于ABC：利用基本不等式分析判断；对于D：根据进行代换，结合二次函数分析判断.
【详解】因为为正实数，且，
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为1，故A错误；
对于选项B：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
且，可得，故B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
对于选项D：因为，则，可得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：BD.
11．已知函数是R上的增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】AC
【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质分析求解.
【详解】因为函数是R上的增函数，则
解得，即，
结合选项可知：实数a的值可以是或.
故选：AC．
12．用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．，都有
D．与图象所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令可得，结合新定义求得，讨论求的根，即可判断.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，则，
对于，都有，故，对；
D：令，又，
所以，可得，
当时，满足，即2为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
当时，，则，故1不为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
综上，图象所有交点的横坐标之和为，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意令结合分类讨论求对应根为关键.
三、填空题
13．请写出一个定义域和值域都为的函数（要注明定义域） .
【答案】或（答案不唯一）.
【分析】根据定义域和值域的概念求解.
【详解】因为定义域和值域都为，
所以可设函数为或（答案不唯一）.
故答案为: 或（答案不唯一）.
14．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据充分条件的定义求解.
【详解】因为是的充分条件，
所以，
所以.
故答案为：
15．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性解不等式.
【详解】由，
所以，即，
解得或，
故答案为：.
16．已知函数，若，都有成立，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用换元法构造函数，根据单调性求函数值域，结合题意即可求解.
【详解】当时，设，
则，
令，则，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
因为，所以，则函数在上单调递减，则，
所以当时，，，
因为，都有成立，即恒成立，
所以，解得，故，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．求值：
(1)；
(2)化简:
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据指数幂运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）因为，
由题意可得：.
18．已知集合，集合，．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）根据交集定义计算；
（2）根据补集与并集定义计算．
【详解】（1）由已知；
（2）或，∴或．
19．（1）已知定义在的函数，求函数的值域.
（2）已知，求函数的最小值及取得最小值时的值.
【答案】（1）；（2）当时，最小值为
【分析】（1）根据题意，结合基本不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，将函数化简变形，再结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的值域为.
（2）因为，
，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为，此时.
20．已知函数.
(1)若的定义域为，求的取值范围；
(2)若的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由定义域为即可知不等式对恒成立，对进行分类讨论即可；
（2）由的值域为可知函数的值域包括，限定的取值即可求得结果.
【详解】（1）因为的定义域为，
所以对恒成立.
当时，不恒成立，不合题意.
当时，由题意可得，
解得.
综上可知的取值范固为.
（2）设函数的值域为.
因为的值域为，所以.
当时，的值域为，满足题意.
当时，由题意知，解得.
故的取值范围为.
21．已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用指数函数的性质，直接解方程即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，再利用指数函数的性质与二次函数的最值即可得解.
【详解】（1）根据题意得，，即，
解得或舍去，
所以；
（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，
当时，有，
所以，
则，
所以实数的取值范围为．
22．设函数．
(1)当时，的最大值为8，求实数a的值；
(2)对于给定的负实数a，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立．问：a为何值时，最大？并求出这个最大的．
【答案】(1)；
(2)当时，取得最大值.
【分析】（1）借助一次函数、二次函数性质，分类讨论求解函数取最大值8时的a值即可.
（2）数形结合，把表示为的函数，再求最大值即可.
【详解】（1）当时，函数，在上的最大值为11，与已知矛盾，即；
当时，函数图象的对称轴，
由时，的最大值为8，得，解得，矛盾；
当时，函数图象的对称轴，
当，即时，则，即，解得，无解，
当，即时，则，即，解得，
所以.
（2）依题意，，，显然，，
①当，即时，因为在整个区间上，不等式都成立，

则是的较小根，，
②当，即时，则是方程的较大根，

因此，
所以时，取得最大值．
【点睛】关键点睛：利用函数的图象将表示为的函数，再求出最大值是关键.