2023-2024学年江西省上饶市第二中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省上饶市第二中学高一上学期期中数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了 集合，，则＝， 已知，则 的解析式为等内容，欢迎下载使用。

江⻄省上饶市第⼆中学
2023-2024
学年⾼⼀上学期期中考试数学试卷
⼀、单选题：（本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题四个选项中 ，只有⼀项是 符合题⽬要求的）
1. 集合，，则＝（）
A. B.
C.D.
2. 若，且，则下列不等式中⼀定成⽴的是（）
A.B.
C.D.，则
若
3. 已知，则 的解析式为 （）
A. B.
CD.
4.
若定义在
上的奇函数 ，对 ，且 ，都有
，则不等式的解集为（）
A. B.
C.D.
5.
已知函数在
上单调递减，则 的取值范围为（）
A.B.C.D.
6.
已知函数
，则（）
A.B.C. 3D.
7.
已知实数
， 满⾜，，则 （）
A. 6B. 1C. 5D. 3
8.
已知函数
，且满⾜时，实数的取值范
围（）
或
A. B.
或
CD.
、
⼆多选题
（本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分，在每⼩题给出的四个选项中 ，有多
.
项是符合题⽬要求的 正确选项全对得
5 分，正确选项不全得 2 分，有错误选项得 0 分）
9.
若实数
A.
存在
B.
若
C.
且，则下列结论正确的是（）
，使得
，则
，不可能⼩于零
当时
D. 且
10.
⼰知定义在区间
上的函数满⾜：对任意均有；当
时，．则下列说法正确的是（）
A.B.
在定义域上单调递减
C.
是奇函数
D. 若，则不等式的解集为
11.
已知实数
， ， 满⾜，，则下列结论中正
确的是（）
A. 当时，B. 实数 的取值范围是
C. D.
12. 下列说法正确的是（）
实数 的最⼩值为
A. 函数（且）的图像恒过定点
B. 若不等式的解集为或，则
C.
函数值域为
D.
函数的最⼩值为
三、 填空题：本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
13.
已知命题
“
⽅程⾄少有
⼀个负实根”， 若为真命题的⼀个必要不充分条件为

．
，则实数的取值范围是
14.
已知定义在
上函数满⾜：是偶函数且在上单调递增，若，

．
，则实数 的取值范围为
15.
若函数的单调递增开区间为
，对， ，则实数 a 的取值范

．
围是
16.
已知函数
，若，使得不等式成⽴，

．
则实数 的最⼤值是
、
四解答题
：本⼤题共 6 ⼩题，共 70 分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.
17.
1
已知全集
，集合，，.
， ；
（ ）求
（ ）若.
2，求实数 的取值范围
x
，命题 q
x
．
实数 满⾜
已知命题实数
p
满⾜：
，求实数 x 的取值范围
（ ）若命题为假命题
qp
不充分条件，求实数 m 的取值范围．
（
19.
）若命题
是命题
的必要
上的增函数．
函数是定义在
1；
（ ）求 的最⼤值
2不等式：．
（ ）解
20.
1
已知函数
， ．
⼀个实数根，求函数 的值域；
（ ）若是关于 的⽅程的
2，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
（ ）若对任意
21.
1
设，函数（）．
，求 a 的值；
（ ）若函数是奇函数
2，并⽤定义证明．
（
22.
）请判断函数的单调性
：．
已知奇函数和偶函数满⾜
1；
（ ）分别求出函数和解析式
2 上单调递减，求实数 的取值范围；
（ ）若函数在区间
3 ，都有 成⽴，求实数的取值范围．
（ ）若对于任意和任意
江⻄省上饶市第⼆中学
2023-2024
学年⾼⼀上学期期中考试数学试卷
⼀、单选题：（本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题四个选项中 ，只有⼀项是 符合题⽬要求的）
1. 集合，，则＝（）
A. B.
C. D.
B
【答案】
【解析】
.
【分析】由补集和并集的定义直接求解
【详解】集合 ， ， 则， .
B
故选：
2. 若，且，则下列不等式中⼀定成⽴的是（）
A.B.
C. D.
C
【答案】
若，则
【解析】
【分析】通过举反例可判断 ，D.
【详解】当，时，， 显然不成⽴，故 AB 错误；
因为，所以 ，即 成⽴，故 C 正确； 因为，，，
所以，即，故 D 错误；
C.
故选：
3.
已知
，则 的解析式为 （）
A.B.
C.D.
C
【答案】
【解析】
.
【分析】换元法求函数解析式即可
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
故 ，
C
故选：
4.
若定义在
上的奇函数，对，且，都有
，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
D
【答案】
【解析】
【分析】构造函数 ，由题意可以推出函数 的奇偶性、单调性，然后对 进⾏分 类讨论解不等式即可.
【详解】因为对任意的，且，都有 ， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，
所以有 ，所以函数 是上的减函数，
⼜因为 为奇函数，即有 ，有 ， 所以有，所以 为偶函数，
.
上单调递知
所以在增 由
，所以，
当时，有，，由得，
所以 ，所以 ，所以 ， 即，因为 ，所以 ，解得或，
⼜，所以；
当且时，有，由 得 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 即 ，因为，所以 ，解得，
⼜且，所以或；
综上所述，不等式 的解集为.
D.
故选：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数 ，并结合已知导出其函数性质， 从⽽分类讨论解不等式即可.
5.
已知函数在
上单调递减，则 的取值范围为（）
A. B.C. D.
A
【答案】
【解析】
.
【分析】由，利⽤反⽐例函数的性质求解
【详解】解：，
因为 在 上单调递减， 所以．
A
故选：
6.
已知函数
，则（）
A. B. C. 3D.
C
【答案】
【解析】
.
【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解
【详解】，所以，
3
所以，
:C.
故选
7.
已知实数
，满⾜，，则 （）
A. 6B. 1C. 5D. 3
D
【答案】
【解析】
【分析】根据 有 ，换元得，即 ，构造函数 ，根据函数单调性，确定函数在定义域内只有⼀个零点，即，求
【详解】由 得 ，所以 ，令，则，易知，
（提示：由题可知，则 ，）
所以 ，令函数 ，易知在上单调递增，
则，即 ，所以，所以 ；
D.
故选：
8.
已知函数
，且满⾜ 时，实数的取值范
围（）
A. B.
或或
D.
D
【答案】
【解析】
.
【分析】先判断函数的奇偶性再判断函数的单调性，最后运⽤函数的奇偶性和单调性进⾏求解即可
【详解】该函数的定义域为全体实数，
因为
，
所以函数
是奇函数，
⼜因为，
函数 是实数集上的增函数，且 ， 所以函数 是实数集上的减函数， 所以函数 是实数集上的减函数，
⽽函数也是实数集上的减函数，
所以由函数单调性的性质可知函数 是实数集上的减函数， 由
，
D
故选：
.
【点睛】关键点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性、复合函数的单调性
、
⼆多选题
（本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分，在每⼩题给出的四个选项中 ，有多
.
项是符合题⽬要求的 正确选项全对得
5 分，正确选项不全得 2 分，有错误选项得 0 分）
9.
若实数
A.
存在
B.
若
且，则下列结论正确的是（）
，使得
，则
C. 当时， 不可能⼩于零
且
BCD
【答案】
【解析】
A两种情况结合基本不等式讨论即可；对于 B
对所给条件等式变形并
【分析】对于 ，分和，
结合已知有，解不等式组即可；对于 C由
，
结合即可判断；对于 D
不妨设，从⽽有
，
，通过分析可以发现，分和两种情
.
不等式讨论即
况结合基本可
A，，当且仅当时等号成⽴，
【详解】对于 ，当时
此时不存在，使得，
当时，，当且仅当时等号
成⽴，
但此时，
，所以不存在 使得A
错误；
B
，
对于 ，由得
所以，
整理得，
所以，
⼜ ，
所以或，
上，
，
综B 正确；
；
对于 ，因为C 正确
D
对于 ，因为
，设 ，代⼊ 得 ，
因为，，
所以，
所以，
当时，由得， 所以 ，所以；
当时， ，
当且仅当时等号成⽴，，
综，
确
上，且D 正.
BCD.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：运⽤基本不等式、分类讨论思想以及拥有灵活的公式变形能⼒是解题的关键
10.
⼰知定义在区间
上的函数满⾜：对任意均有；当
时，．则下列说法正确的是（）
A.B.
在定义域上单调递减
C.
是奇函数
D. 若，则不等式的解集为
ACD
【答案】
【解析】
；
【分析】利⽤赋值法求出 ，可判断选项 A
C
B
根据函数单调性的定义可判断选项 ；
D.
根据函数奇偶性、
对称性和图象变换可判断选项 ；借助函数的单调性及题中条件可判断选项
【详解】对于选项
A
： 定义在区间
上的函数满⾜：对任意均有
令，可得 ，解得 ，故选项 A 正确；
对于选项
B
：由可得
任取 、，且 ，则.
由于当时，， ，所以 ，即 ，故 在定义域上单调递增，故选项 B 错误；
对于选项
：
C令，由 可得 ，即
称 ⽽
，所以 ，即函数 关于点对.的图象可由
图象向左平移 个单位得到，所以函数关于点 对称，则是奇函数，故选项 C
正确；
对于选项
D
：因为
，所以，则不等式
等价于
由在定义域上单调递增，得，解得，故选项 D 正确.
ACD.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象平移变换、抽象函数的奇偶性和单调性以及抽象不等式的解法
解题关键是：熟练函数奇偶性、对称性知识应⽤；解答抽象不等式的关键是根据不等式结合函数值情况得
到相应果
不等式，求得结.
11.
已知实数
， ， 满⾜，，则下列结论中正
确的是（）
A. 当时，B. 实数 的取值范围是
C. D.
ACD
【答案】
实数 的最⼩值为
【解析】
【分析】换元求参判断
A 选项，化简结合不等式性质判断 B 选项，应⽤基本不等式判断 C,D 选.
项
A，有，解得，因此有
【详解】选项 ：当时
，
整理得，由于，因此 ，故 A 正确；
B
选项 ：令
，则，且，
于是，则 ，即，所以 ，故 B 错误；
C
选项 ：因为
，所以（当且仅当时取等号），
故，于是，故 C 正确；
D
，
选项 ：由可得
因为，所以，即，
因此 ，即实数 c 的最⼩值为，故 D 正确．
ACD.
故选：
12. 下列说法正确的是（）
A. 函数（且）的图像恒过定点
B. 若不等式的解集为或 ，则
C.
函数的值域为
D.
函数的最⼩值为
BC
【答案】
【解析】
.
【分析】根据指数运算的性质、结合⼀元⼆次不等式解集的性质、换元法、基本不等式逐⼀判断即可
A，所以函数 （且） 图像恒过定点，因此本选
【详解】 ：因为
项不正确；
B不等式 的解集为或，
：因为
所以有，所以本选项正确；
C
，
：
， 当时，函数 有最⼤值，
所以函数的值域为，因此本选项正确；
：
D，令，
因为，所以，
函数在时，单调递增，
所以有，
故函数没有最⼩值，因此本选项不正确，
BC
故选：
.
【点睛】关键点睛：本题的关系是利⽤换元法求出选项 C 中函数的最值
三、 填空题：本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
13.
已知命题
“
⽅程⾄少有
⼀个负实根”， 若为真命题的⼀个必要不充分条件为
【答案】

．
，则实数的取值范围是
【解析】
.
【分析】先求得为真命题时 的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围
“
【详解】若命题
根
⽅程 ⾄少有⼀个负实”
真命题，
时，，符合题意；
当时，，且，
则此时⽅程有⼀个正根和⼀个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时⽅程为 符合题意；
由解得，此时 ，
则此时⽅程有意
两个负根，符合题.
综上所述， 为真命题时， 的取值范围是. 若 为真命题的⼀个必要不充分条件为， 则.
故答案为：
【点睛】含参数的⼀元⼆次⽅程根的分布问题，可采⽤直接讨论法来进⾏研究，也可以采⽤分离参数法来
.不充分条件，
进⾏研究，如果采⽤直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏 求命题的必要
可转化为找解
⼀个⽐本身“ ⼤” 的范围来进⾏求.
14.
已知定义在
上的函数满⾜：是偶函数且在上单调递增，若，
【答案】

．
，则实数 的取值范围为
【解析】
【分析】先根据已知条件分析 的对称性以及单调性，然后根据对称性以及单调性将的 ，再根据恒成⽴思想采⽤分离参数的⽅法求解出 的取值范.
关系转变为的关系围
【详解】因为是偶函数，
所以 ，所以 的对称轴为，
⼜因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减， 所以⾃变量越靠近对称轴对应的函数值越⼩，反之亦然，
因为 ，恒成⽴，
所以 ，恒成⽴，即恒成⽴，
所以 ，恒成⽴，即 恒成⽴， 所以，
⼜因为 为增函数， 为减函数，
所以 ， ，
所以，即 ， 故答案为： .
【点睛】结论点睛：对称性的常⽤结论如下：
1
，则 的⼀
（ ）若函数满⾜或或
条对称轴为；
2 ，
（ ）若函数满⾜或或
则 的⼀个对称中⼼为.
15.
若函数的单调递增开区间为
，对， ，则实数 a 的取值范

．
围是
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性求得，根据指数函数的单调性、⼀元⼆次不等式等知识求得 的取值范围
.
【详解】函数的开⼝向下，对称轴为直线， 函数在上单调递减，
.
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增开区间为
依题意，对，， 所以对，，
函数的开⼝向上，对称轴是直线， 当 时，函数在 上单调递增， 所以 ，
.
解得或
当时，函数在时取得最⼩值， 所以，
.
解得
综上所述， 的取值范围是.
故答案为：
【点睛】求解复合函数的单调性，⾸先要求得复合函数的定义域，研究函数的单调性，必须在函数定义域
.，主要根据的是“ 同增异减” .
解⼀元⼆次不等式在某区间上恒
的范围内进⾏研究 复合函数单调性的判断求
.
成⽴问题，可利⽤分类讨论的数学思想⽅法来进⾏求解
16.
已知函数
，若 ，使得不等式成⽴，

．
则实数 的最⼤值是
8
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的形式构造新函数，利⽤新函数的单调性、奇偶性，结合对勾函数的单调性、存在性
.
的性质进⾏求解即可
【详解】构造函数 ，
因为 ，
时，
所以函数 是奇函数， 当
，
因为，所以 ，
因此有 ，
所以有 ，因此此时函数 单调递减，⽽ ，函数 是奇函 数，所以函数是实数集上的减函数，
，
因为，所以由， ， 令
当时， 单调递减，当时， 单调递增，
∴
因为 ， ,
在上的最⼤值为 ，
要想，使得不等式成⽴，只需，则实数 的最⼤值是
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：构造新函数，利⽤新函数的奇偶性和单调性，结合对勾函数的单调性是解题的关键
、
四解答题
：本⼤题共 6 ⼩题，共 70 分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.
17.
1
已知全集
，集合，，.
， ；
（ ）求
（ ）若 .
2，求实数 的取值范围
1， 或
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1.
【分析】（
2
）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案
，由此列不等式来求得 的取值范围
（ ）根据是否是空集进⾏分类讨论.
1
【⼩问详解】
∵ 集合，，∴.
或 ， 或 ，
.
∴或
2
【⼩问详解】
，
当时，即时，，此时，满⾜题意；
当时，即时， ，
若，则或， 即 或 ，∴ .
综上，实数 的取值范围为.
x
，命题 q
x
．
实数 满⾜
已知命题实数
p
满⾜：
，求实数 x 的取值范围
（ ）若命题为假命题
qp
不充分条件，求实数 m 的取值范围．
（ ）若命题
1
是命题
的必要
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，可得，解不等式即可得出答案；
【分析】（
2
）由命题为假命题
，命题 对应的集合为 ，由命题 是命题的必要不充分条件，可得是
（ ）设命题对应的集合为
的真⼦集案
，列出不等式组即可得出答.
1
【⼩问详解】
命题为假命题，
则，解得，
所以实数
2
x
；
的取值范围为
【⼩问详解】
由题意，命题或，
设其对应的集合为，则 或 ， 命题或，
设其对应的集合为 ，则或 ， 因为命题 是命题的必要不充分条件，
所以是 的真⼦集，
所以（不同时取等号），解得，
.
所以实数的取值范围为
19.
上的增函数．
函数是定义在
1；
（ ）求 的最⼤值
2不等式：．
（ ）解
1
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1，作差整理可得.⽽根
【分析】（ ）进
据函数的单调性，得出，即可得出答案；
2，结合函数的单调性以及定义域可得出. 求解不等式，
（ ）根据已知得出
即可得出答案.
1
【⼩问详解】
，则
.
因为，
所以 ， ， .
⼜因为 在 上单调递增，
所以， ， ， 所以， ，
.
因为，，
所以， ，
所以，， 即 的最⼤值为 .
2
【⼩问详解】
易知，
.
则由可得出
因为在上单调递增，所以.
由 可得， .
当时，有，解得，所以；
当时，有 ，解得或，所以. 综上所述，或.
同理，解，可得或.
所以，由可得，或.
所以，不等式的解集为 .
20.
已知函数
1
， ．
⼀个实数根，求函数 的值域；
（ ）若是关于 的⽅程的
2，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
（ ）若对任意
1
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1，利⽤⼆次函数性质即可得值域为；
【分析】（ ）将代⼊⽅程即可求得
（
）
2根据题意只需满⾜ 即可，对参数 进⾏分类讨论即可求得实数 的取值范围
是 .
1
【⼩问详解】
由是关于 的⽅程的⼀个实数根，可得,
即 ，解得；
所以 ，由⼆次函数性质可得 ；
即可得函数 的值域为；
2
【⼩问
详解】
根据题意可知，需满⾜；
当时，由⼆次函数性质可知 ；
当时，若时，；
可得，解得，所以； 当 时， ，
可得 ，解得或，所以；
当 时，，
可得，解得 ，所以； 综上可得实数 的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：对于求解双变量不等式恒（能）成⽴问题时，关键在于将不等式转化为求解函数最
⼤值或最⼩值的问题，再通过解不等式即可求出实数 的取值范围．
21.
1
设，函数（）．
，求 a 的值；
（ ）若函数是奇函数
2 ，并⽤定义证明．
（ ）请判断函数的单调性
1
【答案】（ ）
（ ）函数在.
2上为增函数，证明⻅解析
【解析】
1
， ，即可求解；
【分析】（ ）根据奇函数的性质
（ ）⾸先根据解析式的形式.
1
【⼩问详解】
若函数为奇函数，则，
，则 ，
解得，由，得；
2
【⼩问详解】
函数单调递增函数，证明如下：
设，
因为，所以，即，且，，
所以 ，即 ，
所以函数在上为增函数.
22.： ．
已知奇函数和偶函数满⾜
1；
（ ）分别求出函数和的解析式
2 上单调递减，求实数 的取值范围；
（ ）若函数在区间
3 ，都有 成⽴，求实数的取值范围．
（ ）若对于任意和任意
1， ；
【答案】（ ）
2；
（ ）
3
（ ）
【解析】
【分析】（
）根据.
1与的奇偶性构造⽅程组即可求解
2，利⽤复合函数单调性即可求得实数 的取值范围.
（ ）对 的取值进⾏讨论
3，根据不等式恒成⽴求解实数的取值范围.
（ ）利⽤函数的单调性
1
⼩问详解】
⽤替换条件等式中的 得，
因为为奇函数，为偶函数， 所以，
与联⽴可得：
， .
2
【⼩问
详解】
由题，
令 ，则易知 在 单调递增，
对于，
当时， 开⼝向上，对称轴为，则且递减的区间为， 当时， 开⼝向下，对称轴为，则且递减的区间为 ， 则对于，根据复合函数单调性有：
当时，在上递减，符合题意；
当时， 的单调递减区间为 ， 所以，解得；
当时，的单调递减区间为 ， 所以，解得 ；
综上，.
3
【⼩问详解】
由题意，
令，
因为与均在 上单调递减， 所以在上单调递减，
所以 ，
⼜因为对任意 都有 ，
当时， 恒成⽴，满⾜题意；
当时，幂函数在 上递增，
所以，即；
所以，即；
综上，实数的取值范围为 .