2023-2024学年辽宁省大连市第八中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市第八中学高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
所以为.
故选：D
2．下边的Venn图中，两个椭圆区域对应集合A，B，其中，．则阴影部分表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中,由此求解即可．
【详解】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中,
，，,
所以阴影部分表示的集合为，
故选：C．
3．已知函数f（x）的定义域为[-2，1]，函数g（x）=，则g（x）的定义域为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据f（x）的定义域以及二次根式的性质求出函数g（x）的定义域即可．
【详解】由题意得：
，
解得：＜x≤2，
故选A．
【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
4．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度随时间变化的下降速度.
【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，
燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，
燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，
结合所得的函数图象，A选项较为合适.
故选：A.
5．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】分和两种情况，根据函数单调性和零点存在性定理分析求解.
【详解】当时，则，即，
可得，
所以在内无零点；
当时，则，即，
可得，
因为在定义域内单调递增，则在内单调递减，
且，
所以在内有且仅有一个零点；
综上所述：函数的零点个数为1个.
故选：A.
6．已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】构造，确定函数为奇函数，得到，计算得到答案.
【详解】，设，函数定义域为，
，函数为奇函数，，
，，故.
故选：B.
7．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式转化为，再由在区间单调递增，得，然后求出的最小值，从而可求出的取值范围
【详解】由，得，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以可化为
因为在区间单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选：A
8．定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】D
【分析】易于判定①正确，②错误，③错误，④不易判定，可以绕开，利用排除法得到只有答案正确.也可用分离函数法，借助于数形结合思想判定④正确.
【详解】,故①正确；
由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误；
, ,，故③错误，故B错误；
对于，显然不是方程的解，可化为，
考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确.
故选：D
【点睛】选择题中有些问题不易确定时，常常要尝试使用排除方法，本题就是一个典型的例子.
二、多选题
9．下列式子中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，由对数的运算性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
因为，则，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
10．已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可.
【详解】函数，
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意；
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意.
故选：BC.
11．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是或
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.
【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，
于是得，即，
对于A，不等式化为：，解得，A正确；
对于B，，，
当且仅当，即时取“=”，B正确；
对于C，，令，则在上单调递增，
即有，因有解，则，解得或，C不正确；
对于D，当时，，则，，
依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，
从而得或，因此，D正确.
故选：ABD
12．已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】ABC
【分析】结合函数单调性求得的最小值，由题意可推出，故得到相应不等式，求出a的范围，即可求得答案.
【详解】由题意时，，即；
而，
故在上单调递减， 在上单调递增，
所以，
由于对任意，存在，使，
过，即，
结合选项，故实数的取值可以是，
故选：ABC
三、填空题
13．已知函数，，则
【答案】25
【分析】首先计算出，即可得.
【详解】根据题意可知，
则.
故答案为：25
14．对，函数都有，则 .（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由已知关系式可知关于点对称，由此可得函数解析式.
【详解】，图象关于点对称，则.
故答案为：（答案不唯一）.
四、双空题
15．如果函数，若，则值域为 ；若满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是 .
【答案】
【分析】将代入函数并画出函数图象，由图可知函数值域为；易知若对任意，都有成立，可得在定义域内为单调递增函数，所以可知，解不等式可得a的取值范围是.
【详解】若，则，
画出函数图象如下图所示：

由图可知，当时，值域为；
若满足对任意，都有成立，可知在定义域内为单调递增函数；
因此可知需满足，解得；
即么a的取值范围是.
故答案为：，
五、填空题
16．定义在上的函数满足，且，，则不等式解集是 .
【答案】
【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性，即可求出不等式的解集.
【详解】令，，，且，都有满足，
即，即，所以在上为减函数，
对于，等价于，所以，所以.
所以不等式解集是.
故答案为：
六、解答题
17．已知集合，集合.
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2){或}
【分析】（1）根据交集的概念计算即可；
（2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可.
【详解】（1）因为，，且，
所以，此时，符合题意，
故；
（2）显然，即，此时{或}，
若，则有或，
解之得{或}.
18．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；
（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
19．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）；
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值15（万元）
【分析】根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分和当两种情况得到的分段函数关系式；(2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可．
【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元，
依题：当时，
当时，，
所以；
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，取得最大值15（万元），
因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元.
20．已知函数对任意的，都有，且当时，.
（1）判断并证明的单调性；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）函数在R上单调递增；（2）
【分析】（1）设且，根据，得到，再由时，，判断其符号，得到其单调性；
（2）令已知条件中的，求出，所以不等式可以转化为，根据第（1）问中得到结论在R上为增函数，所以有：，即，解得．
【详解】（1）任取且，
∵，
∴，
即，
因为，∴，
∴，
∴在上单调递增，
（2）， ∴，
∴，
∴，
解得：.
所以原不等式的解为.
21．对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
【答案】(1)和3
(2)8
(3)
【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可；
（2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可；
（3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解.
【详解】（1）由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为和3.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解.
22．已知函数是定义域为的偶函数.
(1)求a的值；
(2)若，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的定义转化为等式恒成立问题，由系数为求值即可；
（2）由换元法，把函数转化为二次函数，然后分类讨论确定函数的最小值，从而求得参数值．
【详解】（1）
则，
因为是定义域为的偶函数，
则，
即对任意恒成立，则；
（2）由（1）知，
则
，
令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
则原函数化为：，，
①当即时，
在上单调递增，
则，即，；
②当，即时，
在单调递减，在单调递增，
则；
即，
综上所述，.