2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部高一上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集是实数集，，都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图可知阴影部分表示的为，则先求出，再求即可
【详解】由图可知阴影部分表示的为，
由，得，
因为，
所以，
故选：C
2．关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D． 或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解，即可求解.
【详解】由可得；
若，则不等式解集为空集；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为2、3，则；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为；所以；
综上或，
故选：A
3．若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对于变形后，结合已知可得和是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得答案
【详解】由，得，则，
所以，即，
因为，，
所以和是方程的两个根，
所以，即，
故选：B
4．已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数以及一次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解.
【详解】由在R上是减函数可得，解得，
故选：B
5．若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次函数与一元二次方程之间的关系，需限定，区间两端点处函数值大于0，且对称轴在区间内部，解不等式即可求出结果.
【详解】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点，
所以需满足，解得；
所以可得的取值范围是.
故选：B
6．设，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．9B．18C．20D．27
【答案】B
【分析】根据变形后，利用均值不等式求出的最小值即可求解.
【详解】,,
,
当且仅当，即时等号成立.
所以，即实数k的最大值为18，
故选：B.
7．已知函数，函数是定义在上的奇函数，若的图象与的图象交于四点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，分别得到函数和都关于点成中心对称，根据两函数的对称性，结合题意，即可求解.
【详解】由函数，
因为，满足，
可得为定义域上的奇函数，图象关于原点对称，
所以函数关于点成中心对称，
又由函数是定义在上的奇函数，可得函数图象关于原点对称，
所以函数的图象关于点成中心对称，
因为若的图象与的图象交于四点，
根据对称性，不妨设与关于对称，与关于对称，
则且，
所以.
故选：B.
8．函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（ ）
A．615B．616C．1176D．2058
【答案】B
【分析】由题意可以推出，，再结合可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.
【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故；
由函数为奇函数，则，
整理可得，即函数关于对称，故；
由，可得，
所以，故，
解得，
所以，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．下列函数中，值域为的是（ ）
A．，B．
C．，D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C，利用基本不等式计算D.
【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故A正确；
对于B：由，所以，即，故B错误；
对于C：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，故D错误；
故选：AC
10．下列命题中，真命题是（ ）
A．若、且，则、至少有一个大于
B．，
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【分析】由反证法即可判断A，举出反例即可判断BC，由一元二次方程根的情况即可判断D.
【详解】假设都不大于，即，则，因此不成立，所以假设不成立，故A正确；
因为时，，故B错误；
因为，但是，则不一定能推出，
且，但是，所以不一定能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
关于方程有一正一负根，
所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确；
故选：AD
11．下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使得不等式成立
B．若，则函数的最大值为
C．若，，，则有最小值4
D．函数的最小值为4
【答案】ABC
【分析】根据基本不等式的性质对各个选项计算判断即可得出结论.
【详解】对于A选项，当 时, 显然不等式成立, 故A正确;
对于B选项，当 时,
因为,
当且仅当, 即当时取等号,
于是，
即函数的最大值为, 故B正确;
对于C选项，因为,
所以,
当且仅当 , 即 时, 等号成立.
所以 的最小值为 4 ，故C正确；
对于D选项，
，
当 时, 即当时取等号,
所以函数的最小值为，故D错误．
故选：ABC
12．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．
C．，D．若的值域为，则
【答案】BCD
【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
【详解】，，
，，
关于对称，，
，，，
，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，，，为偶函数，故A错误；
，图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，
，故D正确；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
三、填空题
13．已知集合，，，则a的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据并集结果得到，且，求出答案.
【详解】由题意得，且，故，
故答案为：-2
14．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】首先根据函数的定义域为，得到函数的分子对应的函数的定义域为，解之得，再结合分式的分母不等于0，列出不等式组，解之可得函数的定义域．
【详解】∵函数的定义域为，
∴函数的定义域为，解得，
因此函数的定义域满足：，可得．
∴函数的定义域为：．
故答案为：．
15．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，讨论其单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】因为，且，
则两边同时除以可得，
令，则在上单调递减，
由得，
又因为，
所以，解得，
故答案为：.
16．已知正实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由常数代换法，换元法，并利用基本不等式解决最值问题即可.
【详解】解：根据题意，由于
，
令，
当时，由已知可得，所以；
当时，
则
，
令；
，
当且仅当，即，即时取等号，
即的最大值.
故答案为：.
四、解答题
17．已知.
(1)当时，若同时成立，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可；
（2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求.
【详解】（1）当时，，即，
，即，
若同时成立，则，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，
，
即，
①当时，，
若是的充分不必要条件，则，解得；
②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
18．已知
(1)在上恒成立，求x的范围．
(2)在上恒成立，求a的范围．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）根据在上恒成立，令，由则求解；
（2）由在上恒成立，转化为在上恒成立，令，由求解.
【详解】（1）解：在上恒成立，
令，
则，即，即，
因为，
所以不等式的解为或，
所以x的范围是或；
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
在上恒成立，
令，
因为，所以，
所以，则，
所以a的范围是.
五、应用题
19．某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．
(1)求k的值；
(2)将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
(3)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．
【答案】(1)
(2)
(3)当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元．
【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；
（2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案；
（3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由已知，当时，，
∴，解得：，
（2）由（1）知，
故
，
化简得：．
（3），
∵，∴，即，则，
当且仅当即时等号成立，
此时，，
答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元．
六、解答题
20．已知关于x的不等式的解集为或（）.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.
（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
七、证明题
21．已知定义域为的函数满足对任意，都有．
(1)求证：是偶函数；
(2)设时，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②或或
【分析】（1）函数性质先计算，令即可证明；
（2）①设，则,由通过性质可得出即可证明；②由是偶函数原不等式可得，再利用函数在上是减函数求解即可.
【详解】（1）取得，即，
取得，即，
取，得，即是偶函数；
（2）①设，则，
由时，得，
则，
即在上为减函数，
②由是偶函数且在上是减函数，
则不等式等价为，
即得，
得得，
即或或，
即不等式的解集为或或..
【点睛】关键点点睛：在②中解题关键点利用的单调性解不等式，本题考查了学生的思维能力、运算能力.
22．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．函数的图象关于点对称，且当时，．
(1)求的值；
(2)设函数．
（i）证明函数的图象关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据题意，结合对称性，得到，进而分别令，和，即可求解；
（2）（i）利用分式函数的性质，化简得到，结合，即可得证；
（ii）先求得的值域为，设的值域为，根据题意转化为，结合二次函数图象与性质，分离讨论求得函数在上的最值，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数的图象关于点对称，所以，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，即，
则.
（2）解：（i）由函数，
可得，
即，所以函数的图象关于点对称；
（ii）当时，为单调递增函数，可得，
函数的值域为，
若对任意，总存在，使得成立，等价于,
当时，，
①当时，即时，函数在上单调递增，
由对称性知在上单调递增，则函数在上单调递增，
则，又由，所以，
则，所以，
因为，可得，解得，因为，此时.
②当时，即时，函数在上单调递减，在单调递增，结合对称性，可得或，
因为，可得，
又，所以，
即当时，满足，此时，
又由，
因为，则，
此时满足，
所以当时，成立.
③当时，即时，函数在上单调递减，
由对称性知在上单调递减，则函数在上单调递减，
则，且，则，所以，
因为，可得，解得，
综上可得，，即实数的取值范围为.