2023-2024学年山东省烟台市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省烟台市高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，且，则m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或﹣1
【答案】B
【分析】根据集合的元素不重复可解得.
【详解】因为，所以或，解得，或或，
当时，，又集合中不能有相同的元素，所以
故选：B
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可判断．
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，
命题“”的否定为“”.
故选：A.
3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特值法及作差法判断.
【详解】对于A，取，则，此时，故A错误；
对于B，取，则，此时，故B错误；
对于C，取，则，此时，故C错误；
对于D，∵，且，∴，且，
则，即，故D正确.
故选：D.
4．某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，分段讨论列方程求解.
【详解】该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元，
当时，，令，解得，不合题意；
当时，，
令，解得，符合题意；
当时，，
令，解得，不合题意，
综上，.
故选：C.
5．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.
【详解】对于A，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；
对于B，由函数的图象可知，
由的图象可知且，相符，故B正确；
对于C，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.
故选：B.
6．若函数的图象恒在图象的上方，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，可转化为恒成立问题来求解.
【详解】函数的图象恒在图象的上方，
则恒成立，即恒成立，
因为，所以，解得，
故选：A.
7．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数是减函数，则由每一段是减函数，且左侧的函数值不小于右侧函数值求解.
【详解】由题意得在上单调递减，
当时，的开口向上，对称轴，
当时，，得，
所以得：，解得：，故D项正确.
故选：D.
8．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题中条件结合函数奇偶性与单调性的性质，判断出的值的正负情况，所求不等式等价变形为或，求解即可.
【详解】是定义在上的奇函数，则，
又在上单调递增，，
则在上单调递增，，，
所以，当时，；当时，，
可化为，
可得或，
即或，
解得.
故选：C.
二、多选题
9．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AC
【分析】根据同一函数的概念判断即可.
【详解】与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故A正确；
由解得，则的定义域为，
由解得或，则的定义域为或
则与的定义域不同，不是同一函数，故B错误；
与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故C正确；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.
故选：AC.
10．给定集合，定义且，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式求得集合，根据新定义进行求解判断即可.
【详解】∵，∴，∴，
当且仅当时取等号，则，故A正确；
∵，，
由新定义可知，，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
11．已知，，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为6
C．的最大值为0D．的最小值为
【答案】AC
【分析】根据均值不等式和不等式的性质判断AB，消元思想和函数性质的应用判断CD即可.
【详解】对于A：，
当且仅当时取到等号，A正确；
对于B：，
当且仅当时取到等号，B错误；
对于C：，所以，所以，
因为，所以，
当且仅当取到等号，C正确；
对于D：，
由函数性质易知在单调递增，所以，
所以，故D错误，
故选：AC
12．德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】利用赋值法，求得，由单调性定义可判断A；由③得，利用对称性性质可判断B；求得，，进而得，可判断C；求得，进而得，即，即可判断D.
【详解】由②得，即，
得，而，得，
∴，故A错误；
由③可知，，即，
则的图象关于点对称，故B正确；
由②得，则，
由③得，即，
由，得，故C正确；
由，得，则，
∵任意，，
∴当时，，即，
∴，即，则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知为奇函数，则实数a的值为 ．
【答案】1
【分析】由列等式求解即可.
【详解】因为为奇函数，
所以，
得，
得，
得.
故答案为：1
14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，以及充分不必要条件的定义即可得到结论.
【详解】不等式的解集记为，
不等式，解得或，解集记为或，
若“”是“”的充分不必要条件，则，所以.
故答案为：.
15．已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围
【详解】由题意得：当时，，不符题意；
当时，的对称轴为，
所以，只需，解得：，
当时，显然满足题意，
综上，的取值范围为，
故答案为：
四、双空题
16．设，，用表示，中较小者，记为，则 ；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为 .
【答案】 2
【分析】计算与，比较大小可得；结合解不等式，得出的解析式，作出图象，将方程恰有三个不同的实数解，转化为直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得答案.
【详解】，，则；
由，解得，
由，解得或，
则，作出图象，如图，

由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
此时方程恰有三个不同的实数解，
则实数c的取值范围为.
故答案为：2；.
五、解答题
17．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，然后利用集合的并集运算求解；
（2）先求出，然后利用并集运算，求出的取值范围.
【详解】（1）当时，， 所以.
（2）因为，，
所以， 解得：.
故的取值范围为：.
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义进行证明即可.
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，
所以，当时，．
当时，，又为奇函数，
所以，即．
综上，，，
（2）任取，且，
，
因为，且
所以，，且，
所以，即，
所以，函数在区间上单调递减．
19．某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少?
【答案】当池底的长和宽均为10米时，其容积最大，最大容积为立方米
【分析】设池底的长为x米，宽为y米，则水池的容积为，由题意得，结合基本不等式进行转化整理，解不等式即可得出结果．
【详解】设池底的长为x米，宽为y米，则水池的容积为，
由题意得，
因为，当且仅当时取“＝”，
所以，即，
解得，即．
所以，当，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大．
此时，最大容积为立方米.
20．已知幂函数的图象经过点．
(1)求的解析式；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由条件可得，得到的值即可；
（2）令，由条件得，且．令，，由题意可得，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）设的解析式为，
则，解得，因此．
（2）因为，所以．
令，则，且．
令，，
因为在单调递增，在单调递减，所以．
因为存在，使得，所以．
所以．又因为，所以的取值范围为.
21．已知函数满足：，．令．
(1)求值，并证明为偶函数；
(2)当时，．
(i)判断在上的单调性，并说明理由；
(ii)若，求不等式的解集．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)(i)在上单调递增，理由见解析；(ii) 或
【分析】（1）利用赋值法，根据函数的奇偶性的定义证明即可；
（2）（i）根据函数的单调性的定义证明即可；(ii)根据函数单调性和奇偶性的性质得到关于的不等式，解出即可．
【详解】（1）因为，所以定义域为，
因为，
令，则，所以．
令，则，所以．
令，则，
所以，，
所以为偶函数.
（2）(i)因为，
两边同除以得，即．
任取，且，则，
，
因为当时，，所以，即，
所以在上单调递增．
(ii)因为，所以，
所以原不等式可化为．
又为偶函数，且在上单调递增，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为或．
22．已知函数，，
(1)解关于x的不等式；
(2)从①，②]这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并给出问题的解答．
问题：是否存在正数t，使得 ?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）先代入，再进行因式分解，最后根据参数的取值不同分别得到解集即可；
（2）先将题目意思理解为定义域和值域问题，然后对二次函数对称轴的分布分类讨论，根据不同情况分别求出和的值，再逐一验证是否符合要求即可.
【详解】（1）由，则，
即，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为，
综上，当时不等式的解集为，时不等式的解集为，时不等式的解集为；
（2）因为是开口向下的二次函数，
若选择条件①：
此时的解集为，
所以，，且，
由，，得，解得，
当时，，此时，
所以，
因此时符合题意；
若选条件②：
此时，，
①当时，在单增，此时，
且，所以，此时，矛盾；
②当时，在单减，此时，
且，所以，
此时，与矛盾；
③当时，在单增，单减，
此时，
且，
所以，解得，
当时，与矛盾；
当时，满足，所以满足要求；
④当时，在单增，单减，
此时，
且，
所以，解得，
当时，与矛盾；
当时，与矛盾，
故正数t的取值为，
综上，若选①则，若选②则.
【点睛】关键点睛：当函数含有参数且单调区间不明确的时候，对参数分类讨论是一个很好很有用的解决方法.
每户每年用气量
单价
不超过的部分
超过但不超过的部分
超过的部分