2023-2024学年四川省成都市武侯高级中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市武侯高级中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列集合符号运用不正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合知识,逐项分析,即可求得答案.
【详解】对于A,由,故A正确;
对于B,因为,故B错误;
对于C,因为,故C正确;
对于D,因为,故D正确.
故选:B.
【点睛】解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】命题“，”的否定是“，”，
故选：C
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=1与g(x)=x0B．与
C．f(x)=x与g(x)=D．与
【答案】D
【解析】根据函数的定义判断：定义域与对应法则相同的函数是同一函数
【详解】A中函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数；
B中函数定义域不相同，定义域是，定义域是或，不是同一函数；
C中函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数；
D中两个函数定义域都是，对应法则也相同，都可以看作是取绝对值，是同一函数．
故选：D．
4．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】，
对于A，，故A正确；
对于B，当时，或，故B不正确；
对于C，当时，，故C不正确；
对于D，当，时，则，故D不正确.
故选：A
5．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，再根据充分不必要条件判断即可.
【详解】由得，，即，得，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是的子集，
所以，由各选项可知 “”满足题意，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.
故选：D．
6．一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：D.
7．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，解此不等式即可得解.
【详解】因为函数为偶函数，且在上单调递增，
由可得，则，即，解得.
故选：C.
8．若存在实数，使m
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】满足题意时，应有：，
令，则：m>f(x)min.
函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x=1
∵x∈[2,4]，∴x=2时，f(x)min=f(2)=22−2×2+5=5，
∴m>5，即实数m的取值范围是(5,+∞).
故选：A.
二、多选题
9．下列不等式的解集为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，
所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，因为，
所以方程的两根为，
所以不等式的解集为，所以B错误，
对于C，因为，
所以不等式的解集为，所以C正确，
对于D，因为，
所以方程的根为，
所以不等式的解集为，所以D错误，
故选：AC
10．已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数及反比例函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，，解得，
∴整数的取值为或或．
故选：ABC
11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上为增函数，则在上为减函数
C．若在上有最小值，则在上有最大值1
D．若时，，则值域为
【答案】AC
【分析】A：R上的奇函数必有f(0)＝0；
B、C：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；
D：根据x＞0时的解析式求出值域，然后根据奇函数求出x＜0时的值域﹒
【详解】奇函数有f(－x)＝－f(x)，∵x∈R，则可取x＝0，得f(0)＝0，故A正确；
奇函数图像关于原点对称，故在关于原点对称的区间上，单调性相同，故B错误，据此亦可知f(x)在上有最小值，则在上有最大值1，故C正确；
时，，f(x)∈(0，1)，∵f(x)是奇函数，∴x＜0时，f(x)∈(－1，0)，又∵f(0)＝0，∴值域为，故D错误﹒
故选：AC﹒
12．定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A．B．是偶函数
C．在上有最大值D．的解集为
【答案】CD
【分析】赋值法可以求出，，判断出B选项；利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而判断AC；利用函数的单调性进行解不等式，判断D.
【详解】∵定义在R上的函数满足，
令得：，解得：，
令得：，因为，所以，
故是奇函数，B错误；
任取，，且，则令，，代入得：，
因为当时，，而，所以，
故，即，从而在R上单调递减，
所以，A错误；
所以函数在上有最大值为，C正确；
由， 在R上单调递减，故，解得，故的解集为，D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．已知幂函数的图象经过，则函数
【答案】2
【分析】设幂函数，将点代入求出，即可求解.
【详解】设，的图象经过，
.
故答案为:2.
【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题.
14．已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质可得.
【详解】解：∵，∴，
∵，∴.
故答案为：.
15．设，，且，则 .
【答案】1
【分析】令导出，代入题目中的表达式，得到与的第一个表达式与题目中与的第二个表达式联立，消去即可得到的表达式，进而求出的值.
【详解】①，令则②
②①，得，，故
故答案为：1
16．设函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】分两种情况解不等式即可
【详解】解：当时，，解得（舍去）
当时，，得，解得或（舍去）
综上，实数的取值范围为，
故答案为：
四、解答题
17．（1）已知，且，或，求；
（2）设，，，求．
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）利用集合的交运算即可求解；
（2）根据已知集合的描述，应用集合的交并补混合运算求.
【详解】（1）或或.
（2）由题意，，且，，
所以，则．
所以．
18．（1）若，求的最小值；
（2）已知，，且满足求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题得，再利用基本不等式计算求得最值即可；
（2）由题得，展开计算，再利用基本不等式计算求得最值即可．
【详解】解：（1）因为，所以，
，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为；
（2）因为，，，
所以，
当且仅当即，时等号成立，
所以的最小值为
19．已知函数.
（1）用定义证明在区间上是增函数；
（2）求该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为，最大值为.
【解析】（1）在任取，，设，然后作差判断其正负即可.，
（2）根据（1）的结论，利用函数的单调性法求解.
【详解】（1）在任取，，设.
，
∵，∴，，，
∴，即，
∴在增函数.
（2）由（1）知，函数在是增函数，
当时有最小值为，当时有最大值为.
【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大值是f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b)．
20．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
21．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据奇函数可求，再利用可求，进而可得解析式；
（2）由及是定义在上的增函数，计算可求答案.
【详解】（1）函数是上的奇函数，所以，即.
因为，所以，解得，所以.
经检验是定义在上的奇函数，所以.
（2）因为，且函数是定义在上的增函数，
所以，解得.
故不等式的解集为.
22．已知．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)，用表示，中的最小者，记为.若，记的最小值，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据已知得出解析式，根据已知结合二次函数单调性列出不等式，得出答案；
（2）根据已知函数新定义结合二次函数最值得出，即可根据与的草图得出答案.
【详解】（1）在上单调递减，
则对称轴，解得，
故实数的取值范围为；
（2）的对称轴为，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
故，
而，
令，
当时，，解得，（舍），
当时，，解得，（舍），
当时，，解得（舍），
即解得：或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：在研究含参二次函数最值问题上，一般分为：
定轴定区间：根据二次函数在区间上的单调性直接得出答案；
动轴定区间：分对称轴在区间左边，中间，右边三种情况讨论，得出其在区间上的单调性，再求最大最小值，注意对于中间情形，又可具体分为偏左，偏右讨论；
定轴动区间：分区间在对称轴左边，对称轴在区间中间，区间在对称轴右边三种情况进行讨论，得出其在区间上的单调性，再求最大最小值；
动轴动区间：分对称轴在区间左边，中间，右边三种情况讨论，一般会通过范围约掉部分进行讨论；
对于函数的新定义，根据定义将其解析式转化出来，再根据具体情况分类讨论即可.