2023-2024学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列写法中，正确的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合集合间的基本关系以及元素与集合的关系，逐项分析即可求出结果.
【详解】A因为空集是任何集合的子集，所以，故A正确；
B因为集合中只有一个元素0，所以，故B错误；
C因为空集是任何集合的子集，所以，故C错误；
D因为空集中无元素，所以，故D错误，
故选：A.
2．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可.
【详解】因为命题，所以为.
故选：C
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
3．若，则下列式子一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质结合反例法逐一判断即可
【详解】对于A：若，则，故A错误；
对于B：由，可得，故B正确；
对于C：若，则，故C错误；
对于D：若，则，故D错误；
故选：B
4．将化成分数指数幂的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可.
【详解】.
故选：A
5．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.
故选：C
6．函数的单调减区间为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间．利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间．
【详解】解：令，求得，故函数的定义域为，
本题即求在内的减区间．
利用二次函数的性质可得在内的减区间为，
即函数的单调减区间为，
故选B．
【点睛】本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注意，求单调区间，一定要先求函数定义域．
7．若，且，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解即可.
【详解】因为，且，所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为9.
故选：C.
8．已知函数，若对任意的正实数，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，得到，又由，解得，分类讨论，即可求解．
【详解】设的最大值为，令，
当时，函数单调递减，所以，
因为，所以，
又由，解得，
（1）由，当时，；
当时，；当时，；
（2）由时，；
（3）由时，；
综上可得：，所以实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系的有解问题，其中解答中合理分类讨论，确定函数的最小值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
二、多选题
9．下列判断正确的有（ ）
A．B．（其中）
C．D．（其中，）
【答案】BCD
【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.
【详解】对于选项A，，A错误；
对于选项B，因为，所以，B正确；
对于选项C，，C正确；
对于选项D，因为，，所以，D正确；
故选：BCD.
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用比差法比较的大小，判断A，B，比较的大小，判断C，D.
【详解】，因为，所以，，
所以，即，所以A错误，B正确，
，因为，所以，，
所以，即，所以C错误，D正确，
故选：BD.
11．已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【答案】AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
12．在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
【答案】BCD
【分析】若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项
【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；
结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；
代入1得，且所以，故B正确
故选：BCD
三、填空题
13．集合，，若，则 .
【答案】
【分析】根据，得到，由此求得，进而求得.
【详解】由于，所以，所以，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据交集的结果求参数，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
14．设（、为常数），若，则
【答案】40
【分析】根据题意，求解相应函数值，利用等量代还，可得答案.
【详解】由题意，则，即，
由，
故答案为：40.
15．函数在R上是减函数，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由分段函数的单调性可得，解出即可得到答案.
【详解】要使函数在R上是减函数，
应满足，解得.
故答案为：.
16．已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为 ．
【答案】
【分析】利用赋值法可得是偶函数，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可.
【详解】令，则，所以是偶函数，
则，，
又定义在上的函数在上是增函数，
由，得，则，解得，
故的解集为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；
（2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解.
【详解】（1）因为当时，，
所以.
（2）因为，所以，
当时，，，满足；
当时，，
因为，所以；
综上，实数的取值范围为.
18．已知为偶函数，为奇函数，且.
(1)求，的解析式；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；
（2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】（1）解：因为为偶函数，为奇函数，且有，
所以，
所以，，解得，.
所以，，.
（2）解：因为，当且仅当时等号成立，
所以.
所以，对任意的，恒成立，即，
则，即，解得，
所以，的取值范围.
19．（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）已知不等式恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）根据不等式的解集是，得到，，，代入即可求解；
（2）通过讨论和两种情况来求解.
【详解】（1）因为不等式的解集是，
所以和是方程的两根，且，
所以，即，，
代入不等式得，
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为或.
（2）当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，要满足题意，需 ，解得，
所以实数的取值范围为
20．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
（1）求出函数f(x)在R上的解析式；
（2）画出函数f(x)的图象.
【答案】（1）（2）作图见解析；
【分析】（1）根据函数为定义域为的奇函数，当时，，我们根据定义域为的奇函数的图象必过原点，且，即可求出函数在上的解析式；
（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数的图象．
【详解】解：（1）①当时，；
②当时，，
是奇函数，
综上：
（2）函数的图象如下图所示：
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质及函数的图象，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．
21．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.
⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.
【答案】（1）；（2）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.
【详解】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.
试题解析：⑴，其中，，
∴，得， 由，得
∴； 6分
⑵得∵ ∴腰长的范围是 10分
⑶，当并且仅当，即时等号成立．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米． 16分
【解析】函数的应用、基本不等式、函数的最值.
22．已知函数，且满足.
(1)判断在上的单调性，并用定义证明：
(2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增，证明见解析；
(2)
【分析】（1）先求得的值，再利用函数单调性定义即可求得在上的单调性；
（2）先求得在上的值域和在上的值域，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得的取值范围.
【详解】（1）由函数满足，
可得，解之得，则，
在上单调递增，证明如下：
设任意，且，则
，
由，可得，
又，，
则，则，
则在上单调递增.
（2）对任意的，由在上单调递增，
可得，即，
则在上的值域为
对称轴，
当时，在上为增函数，
值域为，
由题意可得，则，解之得；
当时，在上为减函数，
值域为，
由题意可得，则，解之得，
综上，实数的取值范围为.