2023-2024学年重庆市第十八中学高一上学期期中学习能力摸底数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市第十八中学高一上学期期中学习能力摸底数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定运算结果，求出集合，再逐项判断即得.
【详解】全集，由，得，
所以，ABD错误， C正确.
故选：C
2．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
A．B．0C．3D．4
【答案】D
【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数的图象，得，由数表得，
所以.
故选：D
3．“为有理数”是“为有理数”的（ ）条件
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据题意易知充分性成立，不妨取，满足为有理数，但为无理数，即必要性不成立，可得结论.
【详解】易知当“为有理数”时，可得“为有理数”，所以充分性成立；
但若“为有理数”时，例如，此时不满足“为有理数”，即必要性不成立，
所以可知“为有理数”是“为有理数”的充分不必要条件.
故选：B
4．若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围.
【详解】由题意，不等式有解.
即不等式有解.
设，则函数图象开口向上，
要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，
则，化简得，
解得，或.
故选：D.
5．已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.
【详解】根据函数的图象可知，
再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB，
且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确；
故选：C
6．设，则大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算可得，即可得，再利用指数函数单调性可得，即可得结论.
【详解】易知均大于零，
又，显然，可得；
又，，所以，可知.
故选：C
7．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令函数，探讨函数的性质，再把不等式等价转化即可求解得答案.
【详解】函数的定义域为R，令函数，则
显然，
函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增，
不等式化为，
即，于是，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
8．定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A．10B．18
C．22D．26
【答案】B
【分析】由题意可知函数关于成轴对称且又关于成中心对称，分别画出函数与函数在同一坐标系下的图象，利用交点坐标关于对称即可求得所有根之和为.
【详解】根据题意由可知，函数关于成轴对称，由可知函数关于成中心对称，
由可得；
分别画出函数与函数的图象如下图所示：

显然两函数图象都过，且都关于成中心对称，
易知当时，，
所以两函数图象在两侧各有4个交点，关于对称的两根之和为4，
所以可得所有的根之和为.
故选：B
二、多选题
9．我国南北朝时期著名的数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这比外国早了近千年．事实上，无理数．如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记．设函数的定义域为，值域为，则关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定信息求出函数的定义域、值域，再逐项判断即得.
【详解】依题意，，，
显然，，，AD正确，C错误；
而小数点后第8位上的数字为5，因此，B正确.
故选：ABD
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】A项由不等式同乘正数性质可得；B项作差比较法或特值验证法可得；C项，特值验证；D项，由同向不等式可加性可得.
【详解】选项A，若，由，
则有，故A正确；
选项B，法一：当时，
，故B错误；
法二：由，则，
由，
则，故B错误；
选项C，当时，
，，故C错误；
选项D，由，得，
则，故D正确.
故选：AD.
11．已知为正实数，，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断AB；利用基本不等式，结合指数运算判断C；利用基本不等式“1”的妙用判断D.
【详解】为正实数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误；
，当且仅当时取等号，B正确；
，当且仅当时取等号，C正确；
，
当且仅当，即时取等号，由，得，
所以当时，取得最大值，D正确.
故选：BCD
12．设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．不等式的解集为
C．当时，
D．当时，
【答案】ACD
【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．
【详解】作出函数的图象，如图实线部分．
由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；
当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，.
，再计算得，
根据图得解集为，B错；
当时，即为，恒成立；
当，即时，即，
即，解得，故此时的范围为，
当，即，则，
即为，解得，故此时的范围为，
综上，，则，反过来同样成立，故C正确；
对D，由B选项知时，，则，
则成立，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】/
【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合指数运算法则求解即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
14．写出一个同时具有下列三个性质的一个幂函数： ．
（1）偶函数；（2）值域是；（3）在上是增函数．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的奇偶性以及单调性，即可直接写出.
【详解】函数的定义域为，
显然，即函数是偶函数，
由于，因此函数的值域是；
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是同时具有给定三个性质的一个幂函数.
故答案为：
15．已知函数满足对于任意实数且，都有成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递减，再由分段函数在R上单调的性质列式求解即得.
【详解】依题意，函数f(x)定义域是R，
因对任意，都有成立，则有函数在R上单调递减，
于是得，解得：，
所以a的取值范围是：.
故答案为：.
16．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，不存在非“不动点”的“稳定点”，则由有解，但方程组无解，求解即得.
【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
因此方程有解，但方程组无解，
由，得有解，则有，解得，
由，得，两式相减得，
而，于是，从而，
显然方程无解或仅有两个相等的实根，因此，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合．
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义域即可求解；
（2）根据得到即可求解.
【详解】（1）由题意得，所以，
所以；
（2）若，所以，
①当集合不为空集时，，
解得；
②当集合为空集时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
18．已知关于的不等式的解集为．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)求的最小值．
【答案】(1)或
(2)16
【分析】（1）根据韦达定理代入即可解出不等式；
（2）减少变量，将式子转化为，再利用基本不等式即可.
【详解】（1）由题意得是方程的两实数根，且，
则有，即，，即，
由，得，解得或，
则不等式解集为或.
（2）因为，且由（1）得
，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值为16.
19．已知二次函数满足：且．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得.
（2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得.
【详解】（1）设二次函数，
则，
由，得，解得，又，
即，于是，
所以的解析式是.
（2）由（1）得，
当时，的单调递增区间为，依题意，，则；
当时，的单调递增区间为，依题意，，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)求实数和的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)若，都有，求实数的取值范围，
【答案】(1)
(2)在是减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）由函数在有定义，则，又已知，代入解析式可待定系数；
（2）函数在是减函数，利用定义证明即可；
（3）由函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，将条件转化为恒成立问题，分离参数即可求解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为，则，解得，
则，
对于，都有，满足题意.
故；
（2）由（1）知，在是减函数.
证明：任取，且，
所以
，
因为，所以，
则，
所以，
故在是减函数.
（3）由，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因为在是减函数，
则有，
由已知，，即恒成立，
所以对恒成立，
即恒成立，
设，则在单调递减，
则，要使恒成立，则；
设，则在单调递减，
则，要使恒成立，则；
所以.
故要使，都有，
则的取值范围为.
21．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
(1)求用户每月缴纳水费（单位：元）与每月用水量（单位：）的函数关系式；
(2)随着生活水平的提高，人们对生活的品质有了更高的要求，经验表明，当居民用水量在一定范围内时，若随性用水，用水量增加，生活越方便；若时刻想着节约用水，生活也会麻烦．数据表明，人们的“幸福感指数”与缴纳水费及“生活麻烦系数”存在以下关系：（其中），当某居民用水量超过时，求该居民“幸福感指数”的最大值及此时的用水量
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时的用水量为.
【分析】（1）根据已知条件，分段求解函数关系式即可；
（2）根据题意写出与的关系式，再求其最大值即可.
【详解】（1）当时，；
当时，；
当时，；
可知与的函数关系式为．
（2）由题意可知：
当时，
，
当且仅当，即（负舍）时等号成立，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，因为，
故居民“幸福感指数”的最大值为，此时用水量为．
22．已知分别是定义在上的奇函数、偶函数，且．
(1)求的解析式；
(2)记，且存在唯一，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）用替换再利用奇偶性得到，与已知条件联立即可得到函数，的解析式；
（2）通过换元将问题转化为方程在有唯一解.再分离参数转化为两函数图象交点问题处理即可.
【详解】（1），用代替得，
分别是定义在上的奇函数、偶函数,
则，
则，
解得，.
（2），
则，
则，
存在唯一，使，
即方程有唯一解，
由，
由两增函数的和为增函数，知函数在单调递增，则，
令，则方程在有唯一解.
方程可化为，即函数与函数的图象在内有唯一交点.
设，
由，当且仅当时，等号成立，
又在单调递减，在单调递增，
且,
作出函数在的大致图象，如图.
要使函数与其图象有唯一交点，
则有，或.
故实数的取值范围为．
1
2
3
4
3
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
8元