2023-2024学年重庆市合川区北新巴蜀中学校高一上学期期中复习数学题（一）含答案

这是一份2023-2024学年重庆市合川区北新巴蜀中学校高一上学期期中复习数学题（一）含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．用列举法表示集合，下列表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解分式不等式，并结合列举法即可得答案.
【详解】解：
故选：A
2．若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即可求得的取值范围.
【详解】令，则，则，对称轴为，则函数的单调递减区间为，因为为减函数，且在上单调递增，所以，则解得.
所以实数的范围为.
故选：A
3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把的定义域为R，转化为不等式恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数图象的特征得到不等关系求得结果.
【详解】由题意可知：当时，不等式恒成立.
当时，显然成立，故符合题意；
当时，要想当时，不等式恒成立，
只需满足且成立即可，解得：，
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】“恒（能）成立”问题的解决方法：
（1）函数性质法
对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.
（2）分离变量法
思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.
（3）变换主元法
特点：题目中已经告诉了我们参数的取值范围，最后要我们求自变量的取值范围.
思路：把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法，求解.
（4）数形结合法
特点：看到有根号的函数，就要想到两边平方，这样就与圆联系起来；这样求函数恒成立问题就可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”，这样会更加直观，方便求解.
4．已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
5．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25B．1.5C．1.67D．2
【答案】B
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
6．已知函数，且．若，则（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2025
【答案】D
【分析】根据，即可代入求解.
【详解】由，得，
∴，∴．
故选:D．
7．已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，结合函数单调性及奇偶性即可解不等式
【详解】设，因为，所以，
即，令，则有时，，
所以在上为增函数，
由题知为定义在上的偶函数，
易知为奇函数且在上为增函数，
因为，，所以，
所以
当时，，不等式不成立，
当时，等价于，即，则，
当时，等价于，即，则
综上所述：等式的解集为，
故选：C.
8．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最小值D．最大值
【答案】D
【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增，
且注意到是定义在上的奇函数，
所以不等式等价于，
即等价于，亦即，
该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值．
因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为
所以，等号成立当且仅当．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解.
二、多选题
9．下列说法正确的为（ ）
A．对任意实数，函数的图象必过定点
B．
C．与关于原点对称
D．函数在上单调递减
【答案】BC
【分析】根据指数函数图像及性质可判断A，B；结合奇函数性质可判断C；根据复合函数单调性可判断D.
【详解】对于A，函数过定点，则，即，，故错误；
对于B，，，因为，
所以，而，所以，故B正确；
对于C，令，则，
因为，所以，
同理，当时，也成立，
当时，，
综上所述，与关于原点对称，故C正确；
对于D，由，得，解得，
函数的开口向下，对称轴为，函数在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，故D错误.
故选：BC
10．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
11．已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
12．函数，且，则（ ）
A．的值域为B．不等式的解集为
C．D．
【答案】CD
【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集；令，根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从而判断各选项的正误.
【详解】解：作出函数的图像如下图所示：
可知函数的值域为，A选项错误；
当时，有或，解得，，，
所以，不等式的解集为，B选项错误；
令，由图可知a，b关于对称，
所以，即，C选项正确；
因为有三个零点，所以，而，
所以，D选项正确；
故选：CD.
三、填空题
13．已知和是方程的两根，则 .
【答案】
【分析】由题知，，进而得，再结合求解即可.
【详解】解：方程可化为，由韦达定理得，，
所以，得.
又，
所以.
故答案为：
14．若函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则 ；
【答案】/.
【分析】根据题意可以证明函数是周期为的周期函数，进而把转化为，结合已知条件计算可得答案.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
又，令，则即,
所以也即是，
所以是周期函数，周期，
因为当时，，
所以.
故答案为：.
15．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围．
【详解】解：因为，
当时函数单调递减且，
当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则在处取得最大值，不符题意；
若，，则在处取得最大值，
且，解得，
综上可得的范围是．
故答案为：
16．若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 .
【答案】 / /
【分析】令，则，代入整理得到，利用求出最值及此时的值.
【详解】令，则，
则，
即，
由，解得：，
故，
故，解得：，，
所以当且仅当，时，等号成立，
故答案为：，
四、解答题
17．已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数，即可得解；
（2）首先得到的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值；
【详解】（1）解：因为为幂函数，
所以，解得或
因为为偶函数，
所以，故的解析式；
（2）解：由（1）知，对称轴为，开口向上，
当即时，，即；
当即时，，即；
综上所述：或．
18．已知函数的定义域是，值域是，，，的定义域和值域分别为，，的定义域为.
(1)求，；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过函数的定义域即可直接得到的定义域，通过求的单调性即可求出其值域；
（2）先求出的范围，推出的定义域为所包含的区间，通过对的分类讨论，求出各种情况下的定义域，看是否包含，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意在函数中，定义域是，值域是
∴，
在中，
定义域为，
设，，
设且
∴函数单调递增
∴，
∴的值域为
（2）由题意及（1）得，，
∴
在中，的定义域为
∵“”是“”的充分不必要条件
∴“”是“”的充分不必要条件
∴的定义域包括
当时，，，解得：，不符题意，舍去
当时，，
当时，解得：或1
当时，，
，解得：，不符题意，舍去
当且，即时，，解得：或，符合题意
当且，即时，
，解得：或，不符题意，舍去
综上，实数的取值范围为
19．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式，并说明其在的单调性（不需要证明）；
(2)解关于的不等式；
(3)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数的解析式为；在上是增函数．
(2)．
(3)．
【分析】（1）根据奇函数的性质和得到的解析式，然后根据解析式判断单调性即可；
（2）根据奇偶性和单调性解不等式即可；
（3）将对任意的，都有转化为在区间上，，然后根据单调性得到最值，最后解不等式即可.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
则，即有，且，则，解得，
经检验符合题意，则函数的解析式为；
函数在上是增函数．
（2）由于奇函数在上是增函数，
则不等式，即为，
即有，解得，则有，
即等式的解集为．
（3）因为对任意的，都有，
等价于在区间上，，
又在区间（）是增函数，
得，，
从而由，
解得或．
所以的取值范围为．
20．定义在区间上的函数,对都有,且当时,.
(1)判断的奇偶性,并证明;
(2)判断在上的单调性,并证明;
(3)若,求满足不等式的实数的取值范围.
【答案】(1)偶函数,证明见解析
(2)单调递增, 证明见解析
(3)
【分析】(1)根据赋值,先求出,再求出,再令代入可得,即可得奇偶性;
(2)先判断出单调性,再根据单调性的定义进行证明即可;
(3)先根据的定义将合并,再根据及单调性列出不等式,并注意定义域解出即可.
【详解】（1）由题知,为偶函数,证明如下:
不妨令代入可得,
,
令代入可得,
,
令代入可得,
,为偶函数;
（2）在单调递增,证明如下:
,
,
,,
,
在单调递增;
（3）由题,
,
由(2)知在单调递增,
所以即,
解得,
21．重庆市巴蜀中学黄花园校区计划利用操场一角的空地建一栋艺术楼，该艺术楼的正面外墙设计为钢琴的造型，背面靠石壁，主体部分可近似看成一个高12米，地面面积为200平方米的长方体.现考虑后期外墙的处理费用，由于楼体前面墙面造型复杂，费用为每平方米元，左、右两面墙面费用为每平方米元，楼体背面靠石壁需要防潮处理，费用为每平方米元，其他部分费用忽略不计.由于造型的要求前面墙面的长度不得少于20米，设楼体的左、右两面墙的长度为米，外墙处理的总费用为元.
(1)求关于的函数并求该函数的定义域；
(2)当左、右两面墙的长度为多少米时，外墙处理的总费用最低？若，则该最低费用为多少万元？
【答案】(1)，定义域为
(2)当为米时，总费用最低；当时，最低费用为万元.
【分析】（1）将所有费用相加来求得总费用的解析式，并根据建筑要求的求得定义域.
（2）利用函数的单调性求得总费用最低时的值.当时，最低费用为万元.
【详解】（1）依题意，前面墙面的长度为米，则，解得.
，
且定义域为.
（2）构造函数，
任取，
，
其中，
所以，
所以在上递减，最小值为.
所以当米时，取得最小值为，
若，则最小费用为元，即万元.
22．已知函数的表达式为且
(1)求函数的解析式；
(2)若方程 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围；
(3)已知若方程的解分别为，，
方程的解分别为，，求的最大值.
【答案】(1)
(2);
(3).
【分析】（1）将点代入解析式中求出的值，即可求得函数解析式
（2）结合已知条件得到方程，然后令，将方程转化为一元二次方程并求根，然后根据自变量的取值范围即可求出参数的取值范围；
（3）首先通过求解含绝对值的方程，得到，同理解方程，得到，然后根据指数运算可得，最后根据的取值范围即可求解的最大值.
【详解】（1）由可得，又，，；
（2）由和方程
可得：，令，
可得，则有，
且方程有两个不同的实数解，
，解得：.
（3）由，得或，
所以，，，
由，得，，
，，
又因为，所以；
，，
即的最大值为.