2023-2024学年重庆市第十一中学校2023-2023学年高一上学期12月月考数学试题含答案

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注意事项：
1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据，所以可取，即可得解.
【详解】由集合，，
根据，
所以，
所以中元素的个数是3.
故选：C
2. 已知函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式，由内向外计算即可.
【详解】由题意得，所以，
故选：A.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；
【详解】解：依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或
故选：B．
4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】引进中间值比较大小.
【详解】,因为在第二象限，则，
，故，
，故，
故.
故选：B
5. 函数的减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先气的函数的定义域为，结合二次函数性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，
即，解得，即函数的定义域为，
令，可得其开口向下，对称轴的方程为，
所以函数区间单调递增，在区间上单调递减，
根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，
即的减区间为.
故选：D.
6. 已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知，函数为奇函数，结合函数奇偶性概念可排除选项；结合时函数的取值可排除C；对比和选项，发现当时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解.
【详解】解：由图可知，函数为奇函数，而选项中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项；
当，，排除C；
当时，从图象可知，，而对于选项，，，所以，与图象不符，排除选项.
故选：.
【点睛】本题考查根据函数的图象判定可能的函数表达式，涉及对数函数，函数的单调性，奇偶性，一般从函数的单调性、奇偶性和特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
7. 定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，，在递增，分别讨论，，，，，结合的单调性，可得的范围．
【详解】函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且（1），
可得，，在递增，
若时，成立；若，则成立；
若，即，可得（1），即有，可得；
若，则，，可得，解得；
若，则，，可得，解得．
综上可得，的取值范围是，，．
故选：B．
8. 基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（ ）（参考数据：）
A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果
【详解】因，，，所以可以得到
，由题意可知，
所以至少需要7天，累计感染病例数增加至的4倍
故选：B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列命题是真命题的有（ ）
A.
B. 命题“”的否定为“”
C. “”是“”成立的充分不必要条件
D. 若幂函数经过点，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项利用对数的四则运算即可求出；B项根据全称命题的否定直接判断；C项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.
【详解】对A： ，故A正确；
对B：命题“”的否定为“”，故B错误；
对C：，但是，例如：，但，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故C正确；
对D：因为幂函数经过点，所以，即，所以
，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A 若，则B. 若，，则
C. ，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.
【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2]
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 若，则的值为1
【答案】BCD
【解析】
【分析】
直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断、的结论，利用函数的对称性判断的结论．
【详解】解：对于：函数的最小值为，故错误；
对于：已知函数且在上是减函数，
所以，解得，故正确．
对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的的图象关于直线对称，故正确；
对于：由于，则，则，同理，
所以，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可；
12. 定义在上的奇函数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调增区间为和
B. 方程的所有实数根之和为
C. 方程有两个不相等的实数根
D. 当时，的最小值为2，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知函数的奇偶性及函数解析式作出函数图象，逐一分析四个选项得答案.
【详解】是定义在上的奇函数，且，作出函数的图象如图
由图可知，函数单调增区间为和，故A正确；
由解得.关于的方程的所有实数根之和为
故B错误；
关于的方程有3个不相等的实数根，故C错误，
由解得：，若当时，的最小值为2，则，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象过点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数所过的点求解析式，再代入自变量求函数值即可.
【详解】由题设，令，且，则，
所以，故.
故答案为：
14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意所求面积为，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.
【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，
所以，
弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：
所以.
故答案为：.
15. 已知，且，则的最小值为____________.
【答案】##2.5
【解析】
【分析】将变形为 ，利用基本不等式求得答案.
【详解】由题意得：，
当且仅当 时取得等号，
故答案为：
16. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________；若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①：根据分段函数解析式，分类讨论求解即可；
②：由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，又由直线和必有一个交点，且与的图象有两个交点，联立方程组，即可求解．
【详解】因为函数，当时，， 由于恒成立，所以解集为；
当时，，解得，即解集为；
综上：的解集为；
由题意，若方程，即有三个相异的实根，
即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，
又由直线和必有一个交点，所以，
则与的图象有两个交点，
联立方程组 ，整理得，
由，解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把方程的根的个数，转化为两个函数的图象的交点个数，借助图象和方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的定义域为A.
（1）求A；
（2）设集合，若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）由题可得，结合条件可得，即求.
【小问1详解】
由，得，
∴函数的定义域为，
即.
【小问2详解】
∵集合，
又，，
∴，即，
∴实数a的取值范围.
18. 已知.
（1）化简；
（2）若，且，求的值
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式运算即可得解；
（2）由平方关系可得，再由即可得解.
【详解】（1）由诱导公式；
（2）由可知
，
又∵，∴，即，
∴.
19. 已知函数为二次函数，，，，；
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质，由可得的对称轴为，进而待定系数求解即可；
（2）由题对恒成立，进而结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
设
因为，，
所以的对称轴为，
因为，，
所以，解得，
所以
【小问2详解】

对恒成立
对恒成立
当且仅当时取等号，
∴
所求实数k的取值范围为.
20. 已知是第四象限角．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；
（2）变形得到，求出的值.
【小问1详解】
∵是第四象限角，，所以，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴或．
21. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）为偶函数，利用偶函数定义证明即可；
（2）转化为，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函数性质求解的最大值，分析即得解.
【小问1详解】
为偶函数
证明：，
故，解得
的定义域为，关于原点对称
，
为偶函数
【小问2详解】
若对任意的，总存在，使得成立
则
又，当且仅当，即取等号
所以
所求实数m的取值范围为
22. 设函数，其中.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求函数的最大值.
【答案】（1）1和
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分段函数，在每一段上分别求解后检验
（2）根据对称轴与区间关系，分类讨论求解
【小问1详解】
当时，
当时，由得；
当时，由得（舍去）
当时，函数的零点为1和
【小问2详解】
①当时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递减
②当即时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递增
③当时，
在上递增，在上的最大值为
当时在递增，在上递减，
在上的最大值为
，当时
当时在上递增，
在上的最大值为
，当时
综上所述：
当时，
当时，
当时，
当时，