2023-2024学年甘肃省兰州市第五十五中学高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州市第五十五中学高一上学期11月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
又，
所以.
故选：A.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3．的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
4．函数（且）恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数的性质即可得解．
【详解】由于（且），
则函数（且）恒过定点．
故选：D．
5．若；，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得命题为真命题时，的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，构成集合
又由，可得，解得，构成集合，
因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
6．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，则，转求二次函数与指数函数的值域即可.
【详解】令，则，
∵，
∴，
∴函数的值域为，
故选：D
7．若，，，则a，b，c三者的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，并借助“媒介数”比较大小作答.
【详解】，，，
所以a，b，c三者的大小关系为.
故选：D
8．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
二、多选题
9．已知集合，且，则的可能取值有（ ）
A．1B．C．3D．2
【答案】AC
【解析】利用，可得或，解出的值代入集合验证满足元素互异性即可.
【详解】因为，所以或，解得：，或，，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不满足元素互异性，不成立
所以或，
故选：AC
【点睛】本题主要考查了元素的确定性和互异性，属于基础题.
10．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．
B．
C．函数在上为减函数
D．函数在上为增函数
【答案】BC
【分析】根据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A错误、故选项B正确.根据幂函数的单调性可判断C 正确、D错误.
【详解】∵为幂函数，∴，即，
∴或，
当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A错误：
当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B正确；
因为幂函数在上为减函数，故选项C正确；
因为幂函数在上为减函数，故选项D错误.
故选：BC
11．下列式子中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，由对数的运算性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
因为，则，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称
D．函数在R上为增函数
【答案】ABD
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；
B：，
由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；
C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，所以本选项结论正确，
故选：ABD
三、填空题
13．已知幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将代入即可求解.
【详解】因为幂函数的图象经过点，
所以，则，所以，
则，
故答案为：.
14．已知函数，则 ．
【答案】/
【分析】判断并计算，再判断计算作答.
【详解】函数，则，
所以.
故答案为：
15．已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】代入，求出，得到.
【详解】，故，
所以，
则.
故答案为：
16．若函数在区间单调递增函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数是上的单调递增函数，
则满足，解得，
所以实数a的取值范围.
故答案为：
四、解答题
17．（1）解不等式.
（2）若不等式的解集为，求实数，的值；
【答案】（1）不等式的解集为或;（2）,.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求出；
（2）根据函数与方程的思想即可求出.
【详解】（1）即为,而的两根为,所以不等式的解集为或.
（2）由题意可知的两根为,所以,
,解得,.
18．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据分数指数幂运算法则计算；
（2）由对数运算法则计算.
【详解】（1）
（2）.
19．已知函数是指数函数，
(1)求的表达式；
(2)解不等式：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可；
（2）利用指数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）函数是指数函数，
解得或2，
.
（2），即,
在R上为增函数，
.
故解集为：.
20．已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值, 求出函数的解析式即可;
(2) 求出函数的对称轴, 根据函数的单调性求出的范围即可.
【详解】（1）由题意 ,
解得: 或 3 ,
若 是偶函数,则，
故 ;
（2）,
的对称轴是 ,
若 在上不是单调函数,
则 , 解得: .
所以实数的取值范围为.
五、证明题
21．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.
【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.
【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，
解得,
函数的定义域为.
（2）函数为奇函数，
证明：由第一问函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
（3）解不等式，
即
即，
从而有，
所以.
不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.
22．已知函数奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据是定义域为的奇函数，由求解；
（2）利用函数的单调性定义证明；
（3）由，令，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）解：是定义域为的奇函数，
；
经检验符合题意；
（2）在上单调递增．证明如下：
，
则，
因为，
所以，所以，，
可得．
即当时，有
所以在上单调递增．
（3）
，
令，又，则，
所以，，对称轴为，
则当时，；
当，；
当时，．