2023-2024学年广西梧州市苍梧中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西梧州市苍梧中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素和集合的关系，集合与集合的关系判断即可.
【详解】因为集合，
所以，，，.
故选：C
2．已知全集，集合或，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合的补集运算以及交集运算即可求解.
【详解】已知集合或，
所以，又，
所以，而又可将其用区间表示为：.
故选：A.
3．集合，且的真子集的个数是（ ）
A．32B．31C．16D．15
【答案】D
【分析】化简集合，再由真子集个数公式可得.
【详解】由得且，又，
则，
其子集个数共有，除去集合本身，
则其真子集个数为，
故选：D.
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解不等式，然后利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】，，
因为成立，必有成立，而成立，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用作差法计算即可.
【详解】，
当且仅当时取得等号，所以.
故选：D
6．集合论是德国数学家康托尔（G.Cantr）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28B．23C．18D．16
【答案】C
【解析】设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解.
【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，
参加径赛的学生组成集合B，则，
由题意得，
所以，
所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有.
故选：C.
【点睛】本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题.
7．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】写出命题的否定，该命题为真命题，根据二次不等式恒成立得出，求解即可得出答案.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，
该命题为真命题.
所以，应有，所以.
故选：A.
8．定义集合运算，若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案.
【详解】解：因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.
二、多选题
9．如果，则下列选项不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确.
B选项，若，如，则，所以B选项不正确.
C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确.
D选项，若，如，
此时，所以D选项不正确.
故选：ABD
10．下列四个命题中正确的是（ ）
A．由所确定的实数集合为
B．同时满足的整数解的集合为
C．集合可以化简为
D．中含有三个元素
【答案】ABC
【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可.
【详解】对于A选项: 讨论的符号并列出以下表格：
由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A选项正确.
对于B选项:由，，所以解不等式组得，
其整数解所组成的集合为,故B选项正确.
对于C选项：若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格：
由表可知集合可以化简为，故C选项正确.
对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格：
因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D选项错误.
故选：ABC.
11．下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．命题“”的否定是“”
C．“”的充要条件是“”
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据等式性质判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断CD.
【详解】对于A，，解得，
即，正确；
对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“”的否定为：，错误；
对于C，若，则，反之若，则，
所以“”的充要条件是“”，正确；
对于D，若，则不一定成立，如，但，
反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确.
故选：ACD
12．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ACD
【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.
【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；
易知，和是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，则；
所以不等式即为，解得，所以B错误；
易知，所以C正确；
不等式即为，
也即，解得或，所以D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．命题“，有”的否定为 .
【答案】，有
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，有”的否定为：，有.
故答案为：，有
14．已知集合，，若，则 ．
【答案】
【分析】利用交集、并集定义直接求解．
【详解】集合，，，
，且，
，，.
故答案为：．
15．已知，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将表达式等价变形，利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
16．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.
【详解】当时，不等式对一切实数都成立，
所以成立；
当时，由题意得解得：；
综上所述：.
四、解答题
17．设全集为实数集，集合.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交集运算直接求解即可；
（2）先求集合A的补集，再利用并集运算求解即可.
【详解】（1）因为集合，所以；
（2）因为，，所以或，
又，所以.
18．设集合，.
（1）用列举法表示集合A.
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）解一元二次方程可得集合A；
（2）由，可得或，解出的值并利用集合元素的互异性舍去增根即可．
【详解】（1）由题可得
令，解得
所以.
（2）由（1）得，，
所以当时，或
当时，，则满足题意
当时，解得或（不满足互异性，舍去）
即满足题意
综上所述，当时，或
19．（1）已知，求的取值范围；
（2）设a，b，c均为正数，且，证明：；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用不等式性质求解即可；
（2）利用基本不等式及不等式性质证明即可.
【详解】（1）因为，所以，又，
所以，即的取值范围为；
（2）设a，b，c均为正数，且，
所以，
又，，，
三式相加得，当且仅当时，等号成立，
所以，
两边同时加上得，
所以，当且仅当时，等号成立.
五、应用题
20．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元.
(1)用x表示一年购买的总次数.
(2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)20吨，160万元
【分析】（1）直接求解即可；
（2）求出函数解析式，然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）由一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，知一年购买的总次数次；
（2）设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，
则，当且仅当即时，等号成立，
因此，每次购买20吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小，最小值为160万元.
六、解答题
21．已知集合
(1)求集合A，B；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，集合B见解析
(2)或.
【分析】（1）解一次不等式得集合A，依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集B；
（2）将必要不充分条件转化为子集关系，再根据子集关系分类讨论求参即可.
【详解】（1），
因为，所以，
当即时，不等式化为，无解；
当即时，解不等式得；
当即时，解不等式得.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
，当时，，满足题意，
当时，，由题意可得，无解，
当时，，由题意可得解得，
综上可得：或.
所以实数m的取值范围为或.
22．已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；
（2）分离参数得，，利用基本不等式求出右边最值即可.
【详解】（1）令，则为方程的两根，则，
则由题有，解得，
.
（2）由（1）得对，，
即，，，
，
令，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故，则.
0
1
2
3
4
5
8
1
2
3
6
2
1
0