2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一上学期11月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可.
【详解】由已知得，又，
所以．
故选：A．
2．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由对数函数的性质可得函数的定义域．
【详解】由，易得．
故选：C．
3．下列表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】根据两个函数相同的两要素(定义域和对应法则)判断即可.
【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为的定义域为R，
定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，，
这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，
故是同一个函数，故C正确；
对于D，与的定义域和对应法则都不同，
不是同一个函数，故D错误；
故选:C．
4．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，把点代入解析式求得，再求.
【详解】为幂函数，设，依题意，解得，
所以，则．
故选：B．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求，结合对数函数单调性分析判断.
【详解】由题意可知，，
，
所以，故．
故选：A．
6．用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
【答案】C
【分析】根据二分法的定义计算可得；
【详解】解：因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；
故选：C
7．若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，且，
所以．
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以m的取值范围是．
故选：D．
8．已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性解不等式得出的取值范围.
【详解】当时，在上单调递增；
当时，易知函数在上单调递增，且.
即函数在上单调递增，
因为，
所以，即
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列函数有最小值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对A、B：利用基本不等式分析判断；对C：结合分离常数法分析判断；对D：先根据复合函数的单调性判断的单调性，再根据单调性求最值.
【详解】对于A：
，当且仅当，即时等号成立，故，A正确；
对于B：
当时，则，当且仅当，即时等号成立；
当时，则，当且仅当，即时等号成立，故；
∴的值域为，无最小值，B错误；
对于C：
的值域为，无最小值，C错误；
对于D：
由题意可得，解得，
故的定义域为.
∵在定义域内单调递增，在定义域内单调递增，
∴在定义域内单调递增，
则，故有最小值0，D正确．
故选：AD．
10．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】结合指数的运算公式逐项计算即可判断正误.
【详解】对于A，原式，A正确；
对于B，原式
，B正确；
对于C，原式，C错误；
对于D，原式，D正确．
故选：ABD．
11．若，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数单调性解，再根据指数函数单调性分析判断.
【详解】由，可得：
当时，∵在定义域内单调递减，
∴，
此时，且在定义域内单调递减，B成立，D错误；
当时，∵在定义域内单调递增，
∴，
此时，且在定义域内单调递增，A错误，C成立．
故选：BC.
12．已知函数（，且），则（ ）
A．有两个零点B．不可能为偶函数
C．的单调递增区间为D．的单调递减区间为
【答案】ABD
【分析】由函数可知，定义域为，故为非奇非偶函数，令，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间.
【详解】对于A，令，则或，所以或有两个零点，A正确；
对于B，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；
对于C，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】3
【分析】求分段函数函数值，注意自变量取值.
【详解】，．
故答案为：3
14．函数（且）的图象恒过定点是 .
【答案】
【分析】先求出时，为定值，从而求出函数图象所过定点.
【详解】当，即时，为定值，此时，
故（且）的图象恒过定点.
故答案为：
15．请写出“”的一个必要不充分条件： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件；
对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：（答案不唯一）.
16．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如，，则 ．
【答案】
【分析】根据2的倍数，3的倍数和6的倍数个数得到答案.
【详解】在1～中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，
所以．
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简得解；
（2）利用对数的运算法则化简得解.
【详解】（1）解：原式.
（2）解：原式.
18．已知集合，，R.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】（1）若，则，解得，即实数的取值范围
（2）由题知，，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，
即，解得.
即实数a的取值范围是.
19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论关于x的方程的根的个数．
【答案】（1）；（2）具体见解析．
【分析】（1）根据偶函数的定义求出时的函数解析式即可.
（2）对参数分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.
【详解】解：（1）由图可知，解得．
设，则，
∵函数是定义在上的偶函数，
∴，
∴．
∴．
（2）作出函数的图象如图所示：
．
由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；
当或时，关于x的方程的根的个数为2；
当时，关于x的方程的根的个数为4；
当时，关于x的方程的根的个数为3．
【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.
20．已知是R上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若不等式对恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质，列方程即可求出答案.
（2）利用复合函数与指数函数的单调性判断的单调性，从而得到二次不等式恒成立，由此得解.
【详解】（1）∵，是R上的奇函数，
∴，可得，
经检验，此时为奇函数，满足题意．
∴．
（2）∵，
∴在R上单调递增，
又为R上的奇函数，
∴由，，
∴，即恒成立，
当时，不等式为不可能对恒成立，故不合题意；
当时，要满足题意，需，解得．
实数m的取值范围为．
21．过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10～20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求．随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能．科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻．某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为；当时，y是x的指数函数；当时，y是x的二次函数．性能指标值y越大，性能越好，测得数据如下表（部分）：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳．
【答案】(1)
(2)4克
【分析】（1）根据给定的数表，利用待定系数法求出解析式作答.
（2）分段求出函数的最值，再比较大小作答.
【详解】（1）当时，y是x的指数函数，设（且），
由数表知，满足指数函数解析式，于是得，
即当时，；
易知时，．
当时，y是x的二次函数，设（），
显然，，满足二次函数解析式，即，
解得，，，
即当时，．
所以y关于x的函数关系式．
（2）当时，，则当时，y取得最大值4；
当时，，则当时，y取得最大值8，而．
因此当时，y取得最大值8．
综上可知，当这种新材料的含量为4克时，该产品的性能达到最佳．
22．已知函数．
(1)求的定义域，并证明的图象关于点对称；
(2)若关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据，即可得定义域，通过可得对称性；
（2）法一、题意转化为在上有解，通过的单调性得其范围，进而得的取值范围；
法二、题意转化为在上有解，根据一元二次方程根的分布列出不等式组得出的范围.
【详解】（1）由题设可得，解得，故的定义域为，
而，
故的图象关于点对称．
（2）法一：因为关于x的方程即有解，
故在上有解．
下面求在上有解时实数a的取值范围．
因为与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上也是减函数，
所以时，的取值范围是．
令，解得．
因此，所求实数a的取值范围是．
法二：，即，
因为有解，故在上有解，
整理得到在上有解，
设，显然，则或
解得．
故实数a的取值范围为．
x（单位：克）
1
4
6
…
y
2
8
4
…