2023-2024学年河南省潢川第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省潢川第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据集合间交集、补集的运算法则，先计算，再计算．
【详解】因为，，所以，
又，所以.
故选：A.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为：，.
故选：D.
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】B
【解析】求出各选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的定义判断可得出结论.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数与的定义域均为，
且，，B选项中的两个函数相等；
对于C选项，函数与的定义域均为，且，
C选项中的两个函数不相等；
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
D选项中的两个函数不相等.
故选：B.
4．设函数在区间上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析二次函数在区间上的单调性，进而可求得该函数的值域.
【详解】，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
，，.
因此，函数在区间上的值域为.
故选：A.
5．设函数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】先利用分段函数解析式计算，再计算，即得结果.
【详解】函数，故，故 .
故选：D.
6．已知集合，，若，则a等于（ ）
A．或3B．0或C．3D．
【答案】C
【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
即，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去，
当时，，符合题意.
故选：C
7．已知，，，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【分析】将化为，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】，
，
（当且仅当时等号成立），
故选：C
8．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】由不等式的解集为,可得的根为，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.
【详解】的解集为,则
的根为，即，，
解得，
则不等式可化为，即为，
解得或，
故选：A.
二、多选题
9．（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（ ）．
A．，B．至少有一个，使能同时被2和3整除
C．，D．有些自然数是偶数
【答案】ABD
【分析】对于选项A、B、D能找到一个值使命题成立，而不存在任何实数满足，从而得出选项.
【详解】A中，时，满足，所以A是真命题；
B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；
D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；
C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题．
故选ABD．
【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.
10．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的单调递减区间为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的单调递增区间为
【答案】ABC
【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可.
【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，C正确；
对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.
故选：ABC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
【答案】AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
12．已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且时，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为上的减函数D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】取，，得出，，的值进而判断A, B；由判断C；令结合奇偶性的定义判断D.
【详解】由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A，B正确；
，不是上的减函数，C错误；
令，得，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于取特殊值结合奇偶性的定义判断奇偶性.
三、填空题
13．幂函数的图象过点（4，2），则 .
【答案】
【分析】首先设出幂函数的解析式，代入点(4,2),进而求出解析式，即可求得结果.
【详解】设，因为的图象过点（4，2），所以，，
，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的求值，形如的函数是幂函数，注意幂函数的系数为1，考查了运算求解能力.
14．函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】根据使函数有意义列出式子求解即可.
【详解】解：要使有意义，
则需满足：，
解得：，或，
所以的定义域为：.
故答案为：.
15．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得命题“”是真命题，当时符合题意；当时，因为可得，利用二次函数的性质可得的范围，进而可得答案.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以命题“”是真命题，
当时，，可得，符合题意，
当时，若，则不成立，所以，
由可得，
所以且，
综上所述：，
所以实数的取值范围是：，
故答案为：.
16．已知函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．在函数①，②，③中，其中 是“保三角形函数”．（填上正确的函数序号）
【答案】①②
【分析】根据定义证明即可.
【详解】对于①，因为，
所以恒成立，故是“保三角形函数”；
对于②，任给一个三角形，不妨设它的三边长分别为，且，则，
故是“保三角形函数”；
对于③，当时，，即不存在边长为的三角形，故不是“保三角形函数”．
故答案为：①②
【方法点睛】本题考查对新函数定义的理解、不等式恒成立问题，属于中档题；正确理解“保三角形函数”是解题的关键，即要证明三函数值是否恒满足“三角形的两边之和大于第三边”，要判定函数是“保三角形函数”，要严格根据定义进行证明，若说明函数不是“保三角形函数”，只需举出一个反例即可．
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）解关于x的不等式；
（3）解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】（1）利用分数指数幂和根式化简运算即可求出结果；
（2）由一元二次不等式解法即可求出不等式的解集；
（3）将分式不等式等价转化成即可求得其解集；
【详解】（1）易知原式；
（2）由可得，易知1和是方程的两根，
画出函数的图象如图所示：

根据图象可知，不等式的解集为或；
（3）由可得，整理可得，
等价于，
可得不等式的解集为.
18．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）将代入并根据并集、补集的运算法则即可求出结果；
（2）易知需满足，对集合是否为空集进行分类讨论即可得实数a的取值范围是.
【详解】（1）由可得，所以或；
或，
可得或，
（2）若“”是“”的充分条件，可得，
当时，可得，即，此时满足,
当时，需满足，解得；
综上可得实数a的取值范围是.
19．已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值, 求出函数的解析式即可;
(2) 求出函数的对称轴, 根据函数的单调性求出的范围即可.
【详解】（1）由题意 ,
解得: 或 3 ,
若 是偶函数,则，
故 ;
（2）,
的对称轴是 ,
若 在上不是单调函数,
则 , 解得: .
所以实数的取值范围为.
20．已知是二次函数，满足且.
(1)求的解析式；
(2)当时，使不等式成立，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得的解析式；
（2）利用函数不等式能成立问题的解决方法，将问题转化为即可.
【详解】（1）设函数，
因为，可得，所以，
又，得，整理得，
因为对于任意的成立，则有解得，
所以.
（2）当时，成立，即成立，
令，则
因为开口方向向上，对称轴为，
所以在单调递减，故，
故，即实数的取值范围是.
五、应用题
21．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到月生产销售的统计规律如下：①月固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元；③月生产百台的销售收入（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）．
（1）为使该产品的生产不亏本，月产量应控制在什么范围内？
（2）该产品生产多少台时，可使月利润最大？并求出最大值.
【答案】（1）1百台到5.5百台范围内.（2）产量300台时，利润最大，最大值为2万元.
【分析】(1)先利用销售收入减去成本得到利润的解析式，解分段函数不等式即可得结果；（2）结合(1)中解析式，分别求出两段函数利润的取值范围，综合两种情况可得当产量300台时，利润最大，最大值为2万元.
【详解】(1)由题意得，成本函数为
从而年利润函数为，
要使不亏本，只要，
所以或，解得或
综上.
答：若要该厂不亏本，月产量x应控制在1百台到5.5百台范围内.
(2)当时,
故当时,(万元)
当时,.
综上，当产量300台时，利润最大，最大值为2万元.
【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)
六、解答题
22．已知函数有如下性质：当时，如果常数那么该函数在上是减函数，在上是增函数，设函数．
(1)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)当时，函数的最小值为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数在区间上单调递减得在上单调递增，进而利用函数的性质可得；
（2）由构造函数，利用二次函数的单调性和最小值求参数即可.
【详解】（1）因为，所以要满足在上单调递减，
则在上单调递增．
又因为，所以由对勾函数性质知，，
解得，所以a的取值范围是．
（2）当时，，，
所以，
令，则（当时取等号），
则在上的最小值为－3．
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得或，
又，故不合题意.
当，即时，在上单调递增，
则，解得，符合题意．
综上，实数m的值为．