2023-2024学年吉林省白山市抚松县第一中学高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省白山市抚松县第一中学高一上学期11月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．，D．
【答案】B
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】，.
故选：B
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题“”的否定是:
故选:D.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.
【详解】由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，
故选：B.
5．已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【答案】B
【分析】作分段函数的图象，由方程的根与函数的零点及函数图象的交点三者之间得出结论.
【详解】解：因为，
作出函数的图象，
（空心点表示不包括端点）
其与直线的交点在轴右侧的个数即为正实根的个数，观察图象有，共2个交点，
所以方程的正实数根的个数是2个.
故选：B.
6．设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.
【详解】因为，
且， 在上递增，
所以，即，
综上：
故选：A
7．设是定义在上的奇函数，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义，得到方程组，求出，，得到函数解析式，代入求值即可.
【详解】是定义在上的奇函数，
∴，即，
且，
∴，且，所以，
∴．
故选：C．
8．已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.
【详解】令，由题意知在上为减函数，
又为上的偶函数，所以为上的奇函数，
又在上为减函数，，
所以在上为减函数，
①当时，，即，
所以，所以，解得；
②当时，，即，
所以，所以，解得.所以或.
故选：D.
二、多选题
9．已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则，D．若，，则
【答案】ABD
【分析】利用作差法、特例法逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以，，所以，所以本选项正确；
B：；若，则，，所以，所以本选项正确；
C：令，，满足，不满足，所以本选项不正确；
D：因为，，所以，
所以本选项正确．
故选：ABD
10．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则的可能取值为（ ）
A．5B．20C．35D．50
【答案】BC
【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.
【详解】第一次操作后，剩下的纯药液为，
第二次操作后，剩下的纯药液为，
因为第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，
所以解得
又，所以的取值范围为，
故选：BC.
11．若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为9
C．的最小值为D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】根据基本不等式“1”的妙用与逐项判断即可.
【详解】因为，均为正数，且，所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，
而，均为正数，故等号不成立，所以D错误.
故选：BC.
12．已知函数 ，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．函数的值域为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】本题为函数性质的应用，A选项代入解析式化简即可得到结果，BC选项将分离常数得，，借助不等式的性质与单调性的性质进行判断，D选项为奇偶性与单调性的综合运用，函数为R上的偶函数，且在上单调递减，即就可以解出.
【详解】A选项，，
所以，故A选项正确.
B选项，因为，设，因为在上单调递增，所以在单调递减.故B选项正确.
C选项，由B选项可知，因为，则，，函数的值域为，故C错误.
D选项，因为，所以为上的偶函数，由
即，因为函数在上单调递减，所以，解得，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】0
【分析】根据幂函数的性质得到，并代入点求出，得到答案.
【详解】由题意得，解得，
故，将代入，，即，解得，
故.
故答案为：0
14．已知定义在上的函数满足，则的值为 .
【答案】
【分析】利用方程思想得到，从而用加减消元得到，求出.
【详解】由①，得②，
②×4＋①得，解得，
故.
故答案为：
15．已知实数x，y满足，，则的范围为 ．
【答案】
【分析】用、表示出，然后可算出答案.
【详解】设，则，解得，
∴
∵，∴，
∵，∴
∴．
故答案为：
16．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先对分类讨论，再画出图像，根据三个不同跟转化为图像有三个交点，得到的取值范围即可.
【详解】①当时，此时当时单调递减，
当时单调递增，
所以关于关于的方程最多只有2个解，不符合题意；
②当时，此时当时，
当时，
当时，
如图所示，
要使得关于的方程有三个不同的根，
则需满足，解得或（舍），
.所以的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：绝对值函数的关键在于分类讨论，结合图像解题能快速得到所需答案.
四、解答题
17．（1）求的值；
（2）化简：．
【答案】（1）3；（2）.
【解析】直接利用指数幂，根式和对数的运算法则求解.
【详解】（1）原式，
.
（2）原式=，
.
18．已知全集，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据并集和补集的概念求出答案；
（2）根据交集结果得到，分与得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
又因为集合，所以，
所以或；
（2）因为，所以，
当时，，即，这时，
当时，有，解得.
综上，实数的取值范围为
19．近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．
(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；
(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．
【答案】(1);
(2)5400万元.
【分析】（1）根据利润=销售收入—固定成本一投入成本，即可得到年利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当时，利用二次函数的性质，求出的最大值，当 时利用导数求得的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.
【详解】（1）由题意知，当时， ，
当，,
综上， ;
（2）当时， ，
所以当 时，取得最大值2383，
当，，，
令，
当时，递增，当时，递减，
故当 时，取得最大值 ，
因为 ，
故当（百台），该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.
20．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)试判断的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)函数在上为增函数，证明见解析；
(3)不等式的解集为.
【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；
（2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明；
（3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求解集．
【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，可得，即有，
即恒成立，
所以；
（2）由于，可得函数在上为增函数．
证明：任取，，且，
则，
因为，所以，又，
所以，即，
所以函数在上为增函数．
（3）由（2）得，奇函数在上为增函数，
不等式等价为，
即，
令，则，所以，解得．
即不等式的解集为.
21．已知二次函数.
(1)若的解集为，解关于的不等武；
(2)若不等式对恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的解求得的关系式，再解一元二次不等式求得正确答案.
（2）根据判别式列不等式，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）由于的解集为，
所以，则，
所以不等式可化为，
，解得，
所以不等武的解集为.
（2）依题意，不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，显然，
所以，即，则，
则，
若，则，此时.
所以，则，
所以，
所以，则，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
22．已知函数有如下性质：若常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知函数，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在单调递增，值域为；
(2)或
【分析】（1）由单调性即可求值域
（2）利用复合函数的单调性对分类讨论即可求解
【详解】（1）由题知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，
所以在上的值域为
（2）
设，则，则.
由已知性质得，当，即时，单调递减. 所以递减区间为；
当，即时，单调递增，所以递增区间为.
由，得的值域为.
根据题意，的值域为的值域的子集，显然
当时，在上单调递增，.
当时，在上单调递减，.
综上，的取值范围是或