2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据指对互换运算求出集合，解绝对值不等式求出集合，结合集合的交集运算即可得解.
【详解】由题意，，所以.
故选：C.
2．若角终点上一点，且，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】由角的终边经过点，且，从而可求解.
【详解】由题意得：点在角的终边上，且，
所以：，解得：，（舍），故C项正确.
故选：C.
3．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断，然后根据弧度得到，最后比较大小即可.
【详解】因为，，
而 ，所以，
所以，
故选：D
4．已知函数，，则的最大值为（ ）
A．2B．C．0D．
【答案】B
【分析】借助诱导公式将转化为，再应用换元法得到二次函数形式计算最值即可得.
【详解】，
令，由，故，即，
当时，，故其最大值为.
故选：B.
5．将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据图像变换得到的解析式，再求出的对称中心，最后逐一验证选项的点是否符合即可.
【详解】图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍得到，
令，解得，所以的对称中心为，
对于A：令，解得，所以是的一个对称中心，A正确；
对于B：令，解得，B错误；
对于C：令，解得，C错误；
对于D：令，解得，D错误，
故选：A
6．已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先考虑求出的取值范围，再考虑特殊情况和，分别求出零点对比是否在有一个零点在区间内，最后综合得到答案即可.
【详解】①当时在上有且只有一个零点，
此时，解得；
②当时解得，此时函数两个零点为和均不在区间内，矛盾；
③当时解得，此时函数只有一个零点为不在区间内，矛盾，
综上可知，
故选：D
7．已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出取值范围，再由在上单调递增得，最后结合题意求出的取值范围即可.
【详解】因为，，所以，
要使得在上单调递增，则，解得，
又由题意可知，所以，
故选：B
8．已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．1B．10C．11D．1024
【答案】C
【分析】利于条件求得令，可得，继而可求得所求.
【详解】根据题中的条件，令，
则，所以
令，则，
又，所以，
则，
故选：C.
二、多选题
9．下列代数式的值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据指数、对数、三角函数诱导公式，三角函数计算得出答案来判断即可.
【详解】对于选项A：，故不选A；
对于选项B：，
，故B正确；
对于选项C：，
，故不选C；
对于选项D：，
，故D正确；
故选：BD.
10．下列命题正确的有（ ）
A．存在正实数，使得
B．对任意的角，都有
C．是与终边在同一条直线上的充要条件
D．函数为奇函数是函数为奇函数的充要条件
【答案】AD
【分析】根据对数的运算判断A，根据诱导公式判断B，根据正切函数的性质判断C，根据奇函数的性质和判定判断D.
【详解】对于A：因为，
所以要使得，则，
所以，当时满足，
所以存在正实数使得，A正确；
对于B：由诱导公式可知，而不恒成立，B错误；
对于C：当时，此时与终边在同一条直线上，所以是充分条件；
当与终边在同一条直线上时，若，此时与不存在，
所以不成立，所以不是必要条件，所以C错误；
对于D：若是奇函数，设定义域为区间，则且关于原点对称，
以替代可得，此时定义域为，关于原点对称，
所以是奇函数，所以是充分条件；
当是奇函数时，设的定义域为，则且关于原点对称，
以替代可得，此时定义域为，关于原点对称，所以是奇函数，所以是必要条件，D正确，
故选：AD
11．已知实数a，b满足，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由不等式传递性可知只需在左边都化为的前提下，将与各选项右边的式子逐一比较大小大小即可.
【详解】对于A：因为，所以，
又，所以，A正确；
对于B：因为，当时，
此时，所以不能得到，
例如当时满足，此时不满足，B错误；
对于C：，所以，
又，所以，C正确；
对于D：，
而，所以，
又，所以，即，D正确，
故选：ACD
12．已知则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为2
C．的增区间为D．
【答案】ABC
【分析】A选项，根据函数的周期得到；B选项，利用基本不等式，求出时，，得到，结合函数的周期性得到B正确；C选项，先得到函数在上为偶函数，再利用定义法得到在单调递增，结合函数的周期得到C正确；求出时，函数的解析式，举出反例即可.
【详解】A选项，当时，，即周期为2，
故，A正确；
B选项，当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
结合函数的周期为2，故在R上恒成立，故B正确；
C选项，当时，，
又，
故在上为偶函数，
当时，任取且，
故
因为，所以，
故在单调递增，
结合函数的周期可知，的增区间为，C正确；
D选项，当时，，
当时，，
故，
其中，，而，
故错误，D错误.
故选：ABC
【点睛】设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
三、填空题
13．已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为 弧度.
【答案】2
【分析】根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】设扇形的圆心角为，
由题意得，，解得，
所以扇形的圆心角为2弧度.
故答案为：2.
14．已知幂函数（其中，）为偶函数，且在上单调递减，则的值为 .
【答案】1
【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出的取值范围，再结合函数奇偶性的定义验证是否满足条件即可．
【详解】因为函数幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或1或2，
当或2时，定义域为，
且，此时函数为奇函数，不符合题意；
当时，定义域为，
且，此时函数为偶函数，符合题意；
综上所述，.
故答案为：1.
15．希罗平均数（Herniammean）是两个非负实数的一种平均，若a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数，记，，则A，G，H从小到大的关系为 .（用“≤”连接）
【答案】
【分析】利用作差法比较、、的大小.
【详解】由，，
,
则,
,
则.
故.
故答案为：.
四、双空题
16．已知，则 ，若，则 .
【答案】 /
【分析】根据及从而可求出空，又，利用同角三角函数的关系可求出空.
【详解】由题意：，得：，
所以：，
所以：，
因为：，所以：，
又因为：，得：，
所以：，得：
又因为：，所以：，，
所以：.
故答案为：；.
五、解答题
17．某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
(1)根据上表中数据，求出及的值；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)，，，，
(2)
【分析】（1）根据表格数据可得最小正周期，由此可得；由可求得；根据“五点法”基本原理，采用整体对应方式即可求得；
（2）令，解不等式即可求得单调递减区间.
【详解】（1）由表格数据知：的最小正周期，，
，，解得：，
又，；
令，解得：；
令，解得：；
令，解得：.
（2）由（1）知：，
令，解得：，
的单调递减区间为.
18．已知函数为定义在上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求方程的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可；
（2）分和结合指数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数为定义在上的偶函数，则，
当时，，
则当时，，，
即.
所以.
（2）当时，，
令，则，
即，解得或，
则或，即或；
当时，，
令，则，
即，解得或，
则或，即或.
综上所述，方程的解集为.
六、证明题
19．已知函数（其中），且.
(1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)解不等式：.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析;
(2).
【分析】（1）求出的值，根据函数单调性定义即可证明函数在上为增函数.
（2）根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域.
【详解】（1）结合题意：因为函数（其中），且
所以，解得：，故.
在上单调递增，证明如下：
任取，且，
，
因为，且，所以，,易得：,
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）因为的定义域为，定义域关于原点对称.
所以，所以为奇函数.
因为，所以，
因为，，
结合（1）知，函数在上单调递增，
所以，整理可得：，即，
解得：.
20．已知函数.
(1)证明：；
(2)当时，求函数的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用，对化简即可证明；
（2）由题意可化简得，由，得，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
故.
（2）由
，
因为，得，
所以，当时，即，
有最大值，
故当时，函数的最大值为.
七、解答题
21．如图，点，，在函数，（，，）图象上.
(1)若，，求函数的解析式；
(2)若，，且，其中，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图象可知，，可得周期及，再代入点坐标可得，即可得函数解析式；
（2）根据，可知，，且，再由，可知，所以，由和角公式可得解.
【详解】（1）由已知函数过点，，可知，
又函数过点，
则，即，
又，所以，
所以，代入点，
即，解得，，
又，
所以，
所以；
（2）由函数过点，，则，且，，
又函数过点，
则，结合图形可得，，
又，所以，，
所以，，即，，
又，即，解得，
所以，.
所以，
又，即，
由，得，所以，
所以.
22．已知函数，
(1)求的最大值；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）分段求出函数的值域，继而可得函数的最大值；（2）令，结合题中条件，不等式转化为，分类讨论求得函数的最小值，解出不等式即可.
【详解】（1）当时，，
此时，则，
即，
当时，，
此时，即，
故当时，
（2）因为任意，，
不等式恒成立，
又，所以不等式恒成立，
又
令，
不等式化为，
又函数的图象开口向上，
对称轴为，
故当即时，，
解得，符合题意；
当，即时，，
化为，无解；
当，即时，，
解得，不满足题意，
综上可知，实数的取值范围为.