2023-2024学年江西省宜春市上高二中高一上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省宜春市上高二中高一上学期第三次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“”的否定为“”.
故选：B.
2．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】由可得：，所以，
由可得：，所以，
故，所以.
故选：A.
3．设函数，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数，先由得，由代入分段函数可得.
【详解】由题意，
因，
所以，
故选：C
4．函数的零点位于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．
【详解】因为函数与在上均为增函数，
所以在上为增函数．
因为，，
所以函数的零点位于区间内．
故选：B
5．函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性、函数值以及幂函数图象的增长速度进行排除.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故C错误；
当时，，故B错误；
当时，，因为的变化速度越来越快,
的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故D错误；
故选：A.
6．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
7．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性和对数的换底公式逐项判断即可.
【详解】对于A，，，且
，A错误；
对于B，，
，，
即，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，
，
即，故D错误.
故选：B
8．已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解.
二、多选题
9．下列各个函数中，在单调递减的有（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据反比例函数以及幂函数的性质即可求解AD，根据指数以及对数复合函数的单调性即可判断BC.
【详解】对于A，当时，在单调递增，A错误，
对于B，由于在单调递减，根据复合函数单调性知在单调递减，B正确，
对于C,由于时，，函数在单调递减，在定义域内单调递增，所以函数在单调递减，C正确，
对于D，为偶函数，由于，所以在单调递增，故在单调递减，D正确，
故选：BCD
10．若函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．周期为4
C．为偶函数D．当时，
【答案】BD
【分析】根据函数为奇函数，为偶函数，结合奇偶函数的定义可得为奇函数，且周期为4，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，所以，
所以，所以，
所以，，
所以为奇函数，且周期为4，所以B正确，C错误，
对于A，因为，且为奇函数，所以，所以A错误，
对于D，当时，则，因为，所以，所以D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查函数周期性的应用，解题的关键是利用已知等式结奇偶性的定义可得函数为奇函数且周期为4，考查数学化简计算能力，属于较难题.
11．已知函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．的值域为
B．是偶函数
C．在区间上单调递增
D．的图像与的图像有4个不同的交点
【答案】BD
【分析】根据函数的性质逐个判定即可.
【详解】易得的定义域为，
因为，所以为偶函数，B正确；
对于A： 当时；
当时，
由对勾函数性质可知时，当且仅当取到等号，
所以，
因为为偶函数，所以时，
所以的值域为，A错误；
对于C：由A可知时，
由对勾函数性质可知在上单调递增，在单调递减，所以C错误；
对于D：当时，令，则，
此时，所以方程有两个不同的根，
又因为，所以方程有两个不同的正根，
因为为偶函数，所以当时也有两个负根，
所以的图像与的图像有4个不同的交点，D正确，
故选：BD
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则有（ ）
A．当时，
B．有个解，且
C．是奇函数
D．的解集是
【答案】BD
【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解解析式，可判断A选项；数形结合以及奇函数的性质可判断B选项；利用函数奇偶性的定义可判断C选项；利用函数的单调性以及图象解不等式，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，A错；
对于B选项，因为函数是定义在上的奇函数，
当时，，则，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，函数与的图象有五个交点，不妨设，
因为函数与都为奇函数，则，
点、关于原点对称，点、关于原点对称，
所以，，，故，B对；
对于C选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，C错；
对于D选项，令，则，且，则，
由图可知，函数在上为增函数，由，可得，即，
结合图象可知，不等式的解集为，D对.
故选：BD.
三、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解.
【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14．若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 .
【答案】16
【分析】先求出函数所过定点坐标，再将其代入幂函数中，求出幂函数解析式，得到答案.
【详解】恒过点，故，
将其代入中，，解得，
故，所以.
故答案为：16
15．设函数（且），若，则的值等于 ．
【答案】16
【分析】利用对数函数的运算法则直接计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
16．已知函数是上的奇函数，，都有成立，则 ．
【答案】0
【分析】根据题意，由条件可得，即函数的周期，即可得到，从而得到结果.
【详解】因为函数是上的奇函数，则，
又，都有，
令，则，即，
所以，都有，
即，所以，
即函数的周期，则，
由，令，可得，
所以，则，
所以，
则.
故答案为：0
四、解答题
17．已知，
（1）若时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用集合的并集定义代入计算即可;
（2）求出集合，利用集合包含关系，分类讨论和两种情况，列出关于m的不等式，求解可得答案.
【详解】（1）当时，，则
即．
（2）或，由，可分以下两种情况：
①当时，，解得：
②当时，利用数轴表示集合，如图
由图可知或，解得；
综上所述，实数m的取值范围是：或，
即
【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
18．已知函数.
(1)写出函数的定义域并判断其奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值.
【答案】(1)定义域为，偶函数
(2)
(3).
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，由不等式，得出不等式组，即可求解；
（3）根据题意，转化为，结合对数型函数的单调性，求得，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上偶函数.
（2）解：由函数，
可得，
又由，可得，解得，
即实数的取值范围为.
（3）解：若存在使得不等式成立，即，
由，其中，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
可得，所以，即，
所以实数的最大值为.
19．设关于x的函数，其中a， b都是实数.
(1)若的解集为，求出a、b的值；
(2)若，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)当时，解集为；时，解集为;时，解集为.
【分析】（1）判断开口方向结合韦达定理进行求解；
（2）因式分解求出两根，结合开口方向对两根大小进行判断即可.
【详解】（1）的解集为，
则的开口向上，是对应方程的两根，
则，即；
（2）若，则，
，
当时，，则的解集为
当时，若，即时，的解集为；
当时，，的解集为；
综上：当时，解集为；
时，解集为
时，解集为.
20．已知函数，用表示中的较大者，记为.
(1)写出函数的解析式，并画出它的图象；
(2)当时，若函数的最小值为，求实数的取值集合.
【答案】(1)，图象见解析
(2)
【分析】（1）分别求出，的解集，即可得出函数的解析式，再根据一次函数和二次函数的图象作图即可；
（2）分和两种情况讨论，求出函数的最小值，从而可得出答案.
【详解】（1）解：当，即时，，
当当，即或时，，
所以，
函数图象如图所示：
（2）解：由（1）可得，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递减，
所以，解得或（舍去），
当时，函数在上的最小值为，解得，
综上实数的取值集合为.
21．已知函数．
(1)若在区间单调递减，求实数k的取值范围；
(2)若方程在上有两个不相等的实根，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的单调性列不等式，然后解不等式即可；
（2）将方程在上有两个不相等的实根转化为方程在上有两个不相等的实根，然后根据函数的单调性求的取值范围即可.
【详解】（1）因为在上单调递减，所以，
解得，
所以的取值范围为.
（2）因为，所以方程可变形为，即，
令，易知此函数在上单调递增，则，，
令，，
根据对勾函数单调性知函数在上单调递增，上单调递减，
又，，，
所以方程在上有两个不相等的实根，
的取值范围为.
22．已知函数
(1)当时，解关于x的方程
(2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；
(3)在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接将代入解方程即可；
（2）先通过，求出，再代入证明其为奇函数即可；
（3）先将带入条件求出，再将带入不等式，参变分离得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）当时，，
即，整理得，
即，得或（舍去）
；
（2）因为函数是定义在R上的奇函数，
则且，
，解得，
即，
证明：，
故是定义在R上的奇函数，
（3）在(2)的前提下，
整理得，
代入得，
即恒成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，
即实数的最大值为.