2023-2024学年辽宁省阜新市高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省阜新市高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的描述法结合交集的运算分析求解.
【详解】由，解得
所以．
故选：B．
2．函数的定义域是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解析式中的被开方数大于等于0，分母不为0，对数的真数大于0，从而列出关于的不等式组.
【详解】据题意，得，，且．
故选D．
【点睛】本题考查具体函数的定义域求法，考查基本运算求解能力，注意函数的定义域是集合或区间的形式.
3．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质及指数函数的单调性一一判定即可.
【详解】对A，由，所以，A正确；
对B，因为函数为增函数，，所以，B正确；
对C，取，，则，，，C错误；
对D，易知，，所以，D正确.
故选:C.
4．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由幂函数的定义即可求解.
【详解】由于幂函数的一般表达式为：；
逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.
故选：C.
5．设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质，补全图象，结合图象解不等式组或即可.
【详解】解：因为函数是奇函数，
所以在上的图象关于坐标原点对称，
由在上的图象，知它在上的图象如图所示，
则不等式或，
结合图象可得两不等式组的解集为.
即的解集为.
故选:D.
6．已知实数a，b满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分性和必要性判断.
【详解】由得，即，又，所以，所以，充分性成立；
显然由，可得，必要性成立，
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．已知函数，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为偶函数，，
又当时，单调递减，
由以及，
可得，
即．
故选:D．
8．已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性解不等式得出的取值范围.
【详解】当时，在上单调递增；
当时，易知函数在上单调递增，且.
即函数在上单调递增，
因为，
所以，即
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ACD
【分析】根据指对数的运算即可判断.
【详解】根据任何不为0的数的0次方为1，真数为1，对数运算为0，故A正确，
，，故B错误，
，故C正确，
，故D正确.
故选：ACD.
10．下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最小值为2
【答案】AB
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
B：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
C：当时，显然不成立，因此本选项不正确；
D：因为，当且仅当时，此时无实数解，故取不到等号，所以本选项不正确，
故选：AB
11．在同一平面直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由函数与都过，即可判断D，再由指数函数与对数函数的单调性，即可得到结果.
【详解】函数与的图像都过定点，故D错误；
又因为与单调性相反，故B错误，AC正确.
故选：AC.
12．已知函数（，且），则（ ）
A．有两个零点B．不可能为偶函数
C．的单调递增区间为D．的单调递减区间为
【答案】ABD
【分析】由函数可知，定义域为，故为非奇非偶函数，令，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间.
【详解】对于A，令，则或，所以或有两个零点，A正确；
对于B，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；
对于C，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．命题“”的否定是 .
【答案】
【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得其否定.
【详解】根据“”的否定是“，
可得命题“”的否定是“”.
故答案为：
14．函数（且）的图象恒过定点是 .
【答案】
【分析】先求出时，为定值，从而求出函数图象所过定点.
【详解】当，即时，为定值，此时，
故（且）的图象恒过定点.
故答案为：
15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的性质将原不等式转换为，再结合对数函数的单调性求解即可
【详解】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数．，∴．则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为．
故答案为：
16．已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 .
【答案】
【分析】分离常数后，不等式可化为，变形后，利用基本不等式求出右边函数的最大值即可.
【详解】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，所以，
所以在上恒成立，
又，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，故a的最小值为.
故答案为：
四、计算题
17．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)1
(2)7
【分析】(1)根据分数指数幂的定义和根式的运算性质化简；
(2)根据对数的运算法则和性质运算即可.
【详解】（1）因为，所以，，
所以原式；
（2）
.
五、解答题
18．设集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，若且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.
（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得.
【详解】（1），且，所以.
若，此时，解得；
若，此时，且，解得，
则实数的取值范围是.
（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数.
或，，要使中至少存在一个整数，
则，解得，则实数的取值范围是.
六、证明题
19．函数和的大致图象如图所示，两个函数的图象在第一象限内的交点为．
(1)指出图中曲线分别对应哪一个函数（无需证明）；
(2)比较的大小，并按从小到大的顺序用“<”连接起来；
(3)若，其中a，b为整数，求a，b的值．
【答案】(1)对应的函数为对应的函数为
(2)
(3)
【分析】（1）观察图像直接得到答案.
（2）计算函数值比较大小即可.
（3）令，计算得到，根据零点存在定理得到答案.
【详解】（1）对应的函数为对应的函数为．
（2），
所以．
（3）令，
由于，
则函数的两个零点，
因此整数．
20．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(2)求使成立的实数的取值范围．
【答案】(1)在上是增函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据奇函数利用求出，再验证即可，由函数单调性定义证明即可；
（2）根据函数的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】（1）定义在上的奇函数，所以，所以，
当时，，满足，故满足题意.
在上是增函数,证明如下：
设且，
则；
因为且，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
（2）由，得
由（1）知在上是增函数，
所以，即，解得．
所以实数的取值范围是．
七、应用题
21．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
(1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】(1)，该设备从第2年开始实现总盈利；
(2)方案二更合适，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
【详解】（1）由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
八、解答题
22．设函数（且，），已知，.
(1)求的定义域；
(2)是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数符合条件，的取值范围是
【分析】（1）由和求得，，得函数解析式，即可确定定义域；
（2）假设存在实数，，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论.
【详解】（1）由，得，即，①
由，得，即，②
由①②得，解得，或（舍），，
所以.
由得，
故的定义域为.
（2）假设存在实数，，使得在区间上的值域是.
令，，则在上单调递增，
而在上单调递增，故在上单调递增，
所以，即.
令，，，则，为方程的两个不等实数根且，
令，则，即，解得.
即，，故存在实数符合条件，的取值范围是.