2023-2024学年四川省德阳市第五中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省德阳市第五中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解出集合，根据交集含义即可得到答案.
【详解】由，，
所以，
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由存在量词命题的否定形式可得.
【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可知，
命题“，”的否定是“，”．
故选：C．
3．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可.
【详解】由函数的定义域为，可得
函数的定义域为，函数，
可得
解得，
所以函数定义域为．
故选：D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
5．已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的单调性，从而得到.
【详解】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，
故选：D
6．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，
求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，且，因为在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
当时，则，故，
当时，则，故，
综上：的解集为.
故选：B
7．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．2021D．0
【答案】A
【分析】根据条件先求解出的值，然后分析的取值特点，从而求解出结果.
【详解】因为为偶函数，所以，所以，
所以且不恒为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以，
故选：A.
8．已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由及，可得函数为偶函数，根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】因为函数对任意的，有，，
则，
所以函数为偶函数，
又函数在区间上单调递增，
所以由，得，
即，则，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数是上的增函数，则a的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BC
【分析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解.
【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为，
因为函数是上的增函数，
所以，解得.
所以实数的取值可以是，.
故选：BC.
10．下列叙述正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．“”是“在上恒成立”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
【答案】BC
【分析】A选项，解不等式得到或，A错误；B选项，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，得到答案；C选项，解不等式得到，根据推出关系得到答案；D选项，由基本不等式进行求解.
【详解】A选项，，解得或，A错误；
B选项，当时，在上恒成立，
当时，要满足，解得，
综上，，
所以“”是“在上恒成立”的充要条件，B正确；
C选项，，解得，
由于，，
则“”是“”的必要不充分条件，C正确；
D选项，，
但无解，故等号取不到，D错误.
故选：BC
11．函数是定义在上的奇函数，当时，，以下命题错误的是（ ）
A．当时，
B．函数有5个零点
C．若函数的图像与函数的图像有四个交点，则
D．的单调递减区间是
【答案】ACD
【分析】对选项A，利用奇函数的性质分析判断；对选项B，解结合奇函数的性质分析判断；对选项CD，结合函数图象分析判断.
【详解】对于选项A：当时，，则，
且为奇函数，所以，故A错误；
对于选项B：当时，令，得，解得或，
即当时，两个有零点，
又因为函数是定义在上的奇函数，可知当时，也有两个零点，
又因为，所以函数共有个零点，故B正确；
对于选项C：作出函数的图象，
若函数的图像与函数的图像有四个交点，则或，故C错误.
对于选项D：由图象可知：的单调递减区间是，，故D错误；
故选：ACD.
12．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.
【详解】当时，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为，在上的值域为，
所以在上的值域为，
因为，所以，所以在上的值域为，
当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得：；
当时，为减函数，在上的值域为，所以，解得：；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上：的取值范围是.
则ABD满足题意.
故选：ABD
三、填空题
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则
【答案】
【分析】根据函数解析式求得的值，再根据函数是奇函数则，即可求解；
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
当时，，
所以，
则，
故答案为：
14．已知，且为一元二次方程的两根，则的最小值为
【答案】
【分析】根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由和为一元二次方程的两根，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．已知是一次函数，且在上单调递增，，则 .
【答案】
【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法求解.
【详解】因为函数是一次函数，且在上单调递增，
所以，设，
因为，则，
故，解得，
故．
故答案为：.
16．已知定义在R上的函数满足，对任意的，当时，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数为奇函数，则为偶函数，又已知得函数在上单调递增，可得函数在在上单调递减，又，可得不等式与的解集，进而得到解集.
【详解】因为定义在R上的函数满足，所以函数为奇函数，
令，，则为偶函数，
又，则，
因为对任意的，当时，都有恒成立，
所以当时，为增函数，则当时，为减函数，
所以当或时，；当或时，；
因此当时，；当时，，即不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数
(1)求,,的值;
(2)若,求实数的值;
(3)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);;
(2)或
(3)
【分析】（1）根据的范围,分别将代入对应解析式即可求解;
（2）对参数进行分类讨论,解方程求解即可;
（3）对参数进行分类讨论,解不等式求解即可.
【详解】（1）由题可得,
,
因为,
所以.
（2）①当时,,
解得,不合题意,舍去;
②当时,,即,
解得或,
因为,,
所以;
③当时,,
解得,符合题意.
综合①②③知,当时,或.
（3）由,
得或或,
解得或或,
故所求的取值范围是.
18．设集合，集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证；
（2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集.
【详解】（1）由题意得．
，
即，化简得：，
即，解得：，
经检验当，满足
当，满足
（2），故
①当为空集，则，即，得或；
②当为单元素集，则，即，得或，
当，舍去；当符合；
③当为双元素集，则，则有，无解，
综上：实数的取值范围为.
19．设全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）解出集合，分析可知是的真子集，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，得，解得：，
即，所以，或，
当时，，解得：，
即，所以，.
（2）解：由（1）知，
由得：，
即，
因为是的充分不必要条件，则，
则，解得，
当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
20．已知函数.
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若对任意都成立，求实数的取值范围；
(3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得：对任意的，结合二次函数分析求解；
（2）由题意可得：对于恒成立，分、和三种情况，结合二次函数最值分析求解；
（3）令，可得的最小值是5，分和两种情况，结合二次函数最值分析求解.
【详解】（1）若函数的定义域为，则对任意的，
由于函数为开口向上的二次函数，
故只需要，解得
所以实数的取值范围是.
（2）由题意可得：对于恒成立，
记开口向上，对称轴为，
当，即时，可知在单调递增，
则，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，可知在单调递减，
则，解得，故；
当，即时，可知在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，故；
综上可得：的取值范围为.
（3）因为，
令，则，
则为开口向上，对称轴为的二次函数，
当，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
此时，解得，不符合要求，舍去；
当，即时，则在上单调递增，
此时，解得或（舍去）；
综上所述：.
21．第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完. 当 时，每万台的年销售收入 （万元） 与年产量 （万台）满足关系式: ; 当 时，每万台的年销售收入 （万元）与年产量 （万台）满足关系式:
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y（万元）关于年产量x(万台）的函数解析式.
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.
【详解】（1）由题意，当时，年收入为，
当时，年收入为，
故年利润为，
即.
（2）当时，，
由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数单调递增，
所以当时，，
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.
22．已知函数是定义域上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；
(2)令，若对任意都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到，，从而得到，再解方程组即可；
（2）根据题意得到，设，得到，根据，再利用二次函数的性质得到，，从而得到，解不等式即可.
【详解】（1），又是奇函数，
，
， 解得，
此时，经检验满足题意，
（2）由题意知，令，，
由可知函数在上单调递减，在上单调递增，，
函数的对称轴方程为，函数在上单调递增，
当时，；当时，；
即，，
又对，都有恒成立，
即
解得，又，
的取值范围是.