2022-2023学年河南省焦作市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省焦作市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.古人称：“山南水北”谓之阳，焦作位于太行山之南.因此，自古以来被叫成“山阳”，下列四个汉字中，可看作轴对称图形的是( )
A. 山B. 阳C. 焦D. 作
2.下列运算正确的是( )
A. (−x2)3=−x5B. x2+x3=x5C. x3⋅x4=x7D. 2x3−x3=1
3.等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是( )
A. 50°B. 80°C. 50°或80°D. 20°或80°
4.下列各式中，不能用平方差公式的是( )
A. (m−n)(−m−n)B. (x3−y3)(x3+y3)
C. (−m+n)(m−n)D. (2x−3)(2x+3)
5.若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是( )
A. 三角形B. 六边形C. 五边形D. 四边形
6.下列等式中正确的是( )
A. ab=2a2bB. ab=a−1b−1C. ab=a+1b+1D. ab=a2b2
7.如图，Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，AC=6cm，则BE的长度为( )
A. 10cm
B. 6cm
C. 4cm
D. 2cm
8.如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)
9.如图，从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CB′=∠ACB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是( )
A. 400x−450x−50=1B. 450x−50−400x=1
C. 400x−450x+1=50D. 450x+1−400x=5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义______ ．
12.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−b2+ac−bc=0，则△ABC是 ______ .(等腰三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直角三角形)．
13.2022年11月29日，中国空间站迎来了六名中国航天员同时在轨飞行的历史.已知其运行速度为7.8千米/秒.在轨运行2×102秒，用科学记数法表示路程为______ 米.
14.如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积等于8cm2，则阴影部分面积为______ ．
15.如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6cm，点E、F分别为OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值为______ cm．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算a2⋅a3⋅a3+(a4)2；
(2)分解因式：a2−2a+1−b2．
17.(本小题8分)
先化简x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3−(1x−1+1)，再选取一个合适的数代入求值．
18.(本小题8分)
如图已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,1)，B(4,2)，C(3,4)；
(1)△ABC的面积是______ (每个小方格是边长为1的正方形)；
(2)请画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′.其中B′的坐标为(______ ，______ )，B′关于y轴对称的点的坐标为(______ ，______ )；
(3)设点P在坐标轴上，且△OCP与△ABC的面积相等，直接写出P的坐标．
19.(本小题8分)
如图是某模具厂的一种模具，按规定BA、CD的延长线的夹角应为60°，王师傅测得∠B=43°，∠C=77°，
(1)该模具符合要求吗？
(2)判断所依据的数学定理是______ ．
(3)根据该定理的题设和结论画出图形，写出已知，求证，并写出证明过程．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．
21.(本小题8分)
甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
(1)求这种商品的单价；
(2)甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______ 元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______ 元/件．
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果，建议按相同______ 加油更合算(填“金额”或“油量”)．
22.(本小题8分)
阅读材料：
求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，
∵(y+2)2≥0即(y+2)2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
解决问题：
(1)若a为任意实数，则代数式a2−2a−1的最小值为______．
(2)求4−x2+2x的最大值．
(3)拓展：①不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y−4x+6的值______.(填序号)
A.总不小于1 B.总不大于1 C.总不小于6 D.可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−10a−12b+61=0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是______．
23.(本小题8分)
学过三角形全等后，老师在黑板上出了这样一道题：如图1，已知D是BC的中点，∠1=∠2.求证：AB=AC.同学们猛一看很简单，AB=AC肯定成立.那么具体怎么证明呢？此时有同学发现这是典型的“边边角”条件，而三角形全等判定中没有该定理，这该怎么办？此时皮皮同学说我们可以“倍长中线”通过转化进行证明，聪明的你知道怎么写出证明过程吗？

(1)请作出辅助线，写出证明过程．
(2)如图2，点D是BC的中点，点A在线段CD上，如果∠1=∠2，求证：AB=GC．
(3)拓展与应用：把(2)中的条件与结论进行了互换.如图3，点D在BC上，点A在线段CD上，如果AB=GC，∠1=∠2，那么D是BC的中点成立吗？请同学们做出判断.如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意．
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的定义求解即可．
本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义：沿着一条直线对折，直线两边图形能够重合的图形是轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：A、(−x2)3=−x6，此选项错误；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
C、x3⋅x4=x7，此选项正确；
D、2x3−x3=x3，此选项错误；
故选：C．
分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断．
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则．
3.【答案】C
【解析】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°，底角为12(180°−80°)=50°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2=20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°．
故选：C．
先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵(m−n)(−m−n)=−m2+n2，
∴选项A不符合题意；
∵(x3−y3)(x3+y3)=x6−y6，
∴选项B不符合题意；
∵(−m+n)(m−n)存在两个完全相反的项，不能用平方差公式计算，
∴选项C符合题意；
∵(2x−3)(2x+3)=4x2−9，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意得
(n−2)⋅180°=360°，
解得n=4．
所以这个多边形是四边形．
故选D．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、分式的分子、分母同时乘以2，分式的值不变，故本选项正确；
B、分式的分子、分母同时减去1，分式的值不一定不变，故本选项错误；
C、分式的分子、分母同时加上1，分式的值不一定不变，故本选项错误；
D、分式的分子、分母同时乘方，分式的值不一定不变，故本选项错误．
故选：A．
根据分式的基本性质进行分析、判断．
本题考查了分式的基本性质．分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
7.【答案】C
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AC=6cm，
∵AB=10cm，
∴EB=4cm．
故选：C．
首先根据角平分线的性质可得CD=DE，然后证明Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，可得AE=AC，进而得到EB的长．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8.【答案】A
【解析】解：大正方形的面积−小正方形的面积=a2−b2，
矩形的面积=(a+b)(a−b)，
故(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：A．
由大正方形的面积−小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①②③为条件，根据SAS，可判定△BCA≌△B′CA′；可得结论④；
①②④为条件，根据SSS，可判定△BCA≌△B′CA′；可得结论③；
①③④为条件，SSA不能证明△BCA≌△B′CA′．
②③④为条件，SSA不能证明△BCA≌△B′CA′．
最多可以构成正确结论2个．
故选B．
本题考查的是全等三角形的判定，可根据全等三角形的判定定理和性质进行求解．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】B
【解析】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，
根据题意，得450x−50−400x=1．
故选：B．
设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．
11.【答案】1x2+1(答案不唯一)
【解析】解：∵无论字母x取何值，x2+1>0，
∴x2+1≠0，
∴1x2+1是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，
故答案为：1x2+1(答案不唯一)．
根据分式的分母不为0和分式的概念解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件、分式的概念，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
12.【答案】等腰三角形
【解析】解：已知等式变形得：(a+b)(a−b)+c(a−b)=0，即(a−b)(a+b+c)=0，
∵a+b+c≠0，
∴a−b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
已知等式左边分解因式后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】1.56×106
【解析】解：7.8×2×102=15.6×102千米，15.6×102千米=1.56×106米，
故答案为：1.56×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】1cm2
【解析】解：∵点D是BC的中点，
∴S△ACD=12S△ABC=12×8=4，
∵点E是AD的中点，
∴S△CED=12S△ACD=12×4=2，
∵点F是CE的中点，
∴S△EDF=12S△CED=12×2=1，
阴影部分面积为1cm2．
故答案为：1cm2．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可．
本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．
从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=60°．
∵OP1=OP2，
∴△OP1P2是等边三角形．
∴P1P2=OP1=OP=6cm．
∴△PEF周长的最小值是6cm．
故答案为：6．
作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小，然后根据∠AOB=30°，证明△OP1P2是等边三角形，即可解决问题．
本题考查轴对称最短路径问题，关键是确定E，F的位置，本题的突破点是证明△OP1P2是等边三角形．
16.【答案】解：(1)原式=a8+a8=2a8；
(2)原式=(a−1)2−b2=(a−1+b)(a−1−b)．
【解析】(1)根据幂的运算公式计算即可．
(2)根据平方差公式计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：原式=x−3(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x−3−xx−1=x+1−xx−1=1x−1，
其中x≠±1和3，
∴当x=0时，原式=−1．
【解析】先计算乘法及括号内的加减法，再化简，最后代入x=0即可．
此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则及分式有意义的条件是解题的关键．
18.【答案】92 4 −2 −4 −2
【解析】解：(1)△ABC的面积是4×3−12×3×3−12×1×4−12×1×2=92；
故答案为：92
(2)如图所示，△A′B′C′即为所求，
B′的坐标为(4,−2)；
∴B′关于y轴对称的点的坐标为(−4,−2)；
故答案为：4；−2；−4；−2；
(3)当点P在x轴上时，
设点P的坐标为(a,0)，则OP=|a|，
∵△OCP与△ABC的面积相等，
∴12×|a|×4=92，
解得：a=±94，
∴此时点P的坐标为(−94,0)或(94,0)；
当点P在y轴上时，
设点P的坐标为(0,b)，则OP=|b|，
∵△OCP与△ABC的面积相等，
∴12×|b|×3=92，
解得：b=±3，
∴此时点P的坐标为(0,3)或(0,−3)；
综上所述，P点的坐标为(0,3)或(0,−3)或(−94,0)或(94,0)．
(1)根据△ABC的面积等于△ABC所在的长方形的面积减去其周围的三个直角三角形的面积，即可求解；
(2)分别找到点A、B、C的对应点A′，B′，C′，即可求解；
(3)分两种情况：当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，即可求解．
本题主要考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】符合．
【解析】解：(1)∵BA、CD的延长线的夹角应为60°，
∴∠AED=60°，
∵∠B=43°，∠C=77°，
∴∠AED+∠B+∠C=180°．
符合三角形内角和定理即符合．
故答案为：符合．
(2)三角形内角和等于180°(或三角形内角和定理)．
故答案为：三角形内角和等于180°；
(3)已知：△ABC，
求证：∠A+∠B+∠C=180°，
证明：如图，过点A做直线m，使m//BC，
∵m//BC，
∴∠2=∠4，同理∠3=∠5，
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1+∠4+∠5=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°，即三角形内角和等于180°．
(1)根据BA、CD的延长线的夹角应为60°，∠AED=60°，再根据∠B=43°，∠C=77°，可得∠AED+∠B+∠C=180°，符合三角形内角和定理即符合．
(2)根据三角形内角和等于180°即可解答．
(3)过点A做直线m，使m//BC，可得∠3=∠5，再根据∠1，∠4，∠5组成平角，即可解答．
本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．
20.【答案】证明：连接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中
PC=PBPM=PN，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL)，
∴BN=CM．
【解析】连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
21.【答案】(1)解：设这种商品的单价为x元/件．
由题意得：3000x−2400x=10，
解得：x=60，
经检验：x=60是原方程的根．
答：这种商品的单价为60元/件．
(2)48，50；
(3)金额
【解析】(1)见答案；
答：这种商品的单价为60元/件．
(2)解：第二次购买该商品时的单价为：60−20=40(元/件)，
第二次购买该商品时甲购买的件数为：2400÷40=60(件)，第二次购买该商品时乙购买的总价为：(3000÷60)×40=2000(元)，
∴甲两次购买这种商品的平均单价是：2400×2÷(240060+60)=48(元/件)，乙两次购买这种商品的平均单价是：(3000+2000)÷(300060×2)=50(元/件)．
故答案为：48；50．
(3)解：∵48<50，
∴按相同金额加油更合算．
故答案为：金额．
(1)设这种商品的单价为x元/件．根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程，解出方程即可得出答案；
(2)先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价；
(3)通过比较(2)的计算结果即可得出答案．
本题考查了方式方程的应用，找到题目中的相等关系是解决问题的关键，计算平均单价的关键是能够正确的得出总价和数量，再思考从特殊到一般的规律．
22.【答案】(1)−2 ；
(2)4−x2+2x
=−x2+2x+4
=−(x2−2x+1)+5
=−(x−1)2+5，
∵(x−1)2≥0，
∴−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2+5≤5，即4−x2+2x的最大值为5；
(3)①A ；
②6、7、8、9、10
【解析】解：(1)a2−2a−1=(a−1)2−2，
∵(a−1)2≥0，即(a−1)2的最小值为0，
∴a2−2a−1的最小值为−2．
故答案为：−2；
(2)4−x2+2x
=−x2+2x+4
=−(x2−2x+1)+5
=−(x−1)2+5，
∵(x−1)2≥0，
∴−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2+5≤5，即4−x2+2x的最大值为5；
(3)①x2+y2+2y−4x+6=(x−2)2+(y+1)2+1，
∵(x−2)2≥0，(y+1)2≥0，
∴(x−2)2+(y+1)2+1≥1，
∴代数式x2+y2+2y−4x+6的值总不小于1，
故选A；
②∵a2+b2−10a−12b+61=0，
∴(a2−10a+25)+(b2−12b+36)=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
∵6−5∴6≤c<11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10，
故答案为：6、7、8、9、10．
(1)把a2−2a−1配方为(a−1)2−2，根据非负数的性质即可得到结论；
(2)把4−x2+2x配方为−(x−1)2+5，根据非负数的性质即可得到结论；
(3)①把x2+y2+2y−4x+6配方为(x−2)2+(y+1)2+1，根据非负数的性质即可得到结论，
②先将a2+b2−10a−12b+61=0，变形为(a−5)2+(b−6)2=0，得出a，b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围．
本题主要考查了配方法的应用，因式分解的应用以及平方的非负性，熟练使用配方法将式子变形是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1所示，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，

∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
AD=ED∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴∠E=∠1，AB=EC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴AC=CE，
∴AB=AC；
(2)证明：如图2所示，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，

∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
AD=ED∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴∠E=∠1，AB=EC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴GC=CE，
∴AB=GC；
(3)解：D是BC的中点成立，证明如下：
如图2所示，过点C作CE/​/AB交AD的延长线于点E．

∴∠1=∠E，∠B=∠ECD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴GC=EC，
∵AB=GC，
∴AB=EC，
在△ABD和△ECD中，
∠B=∠ECDAB=EC∠1=∠E，
∴△ABD≌△ECD(ASA)，
∴BD=CD，即D是BC的中点．
【解析】(1)如图所示，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，得到∠E=∠1，AB=EC，进而推出∠2=∠E，则AC=CE，即可证明AB=AC；
(2)如图所示，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，得到∠E=∠1，AB=EC，进而推出∠2=∠E，则GC=CE，即可证明AB=GC；
(3)如图所示，过点C作CE/​/AB交AD的延长线于点E.由平行线的性质得到∠1=∠E，∠B=∠ECD，推出∠2=∠E，得到GC=EC，进而推出AB=EC，利用ASA证明△ABD≌△ECD得到BD=CD，即可证明D是BC的中点．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．