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专题07 三角形中的重要模型-等积模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）
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这是一份专题07 三角形中的重要模型-等积模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用），文件包含专题07三角形中的重要模型-等积模型原卷版docx、专题07三角形中的重要模型-等积模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
专题07 三角形中的重要模型-等积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
如图1，当//，则； 反之，如果，则可知直线//。
图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．12C．18D．20
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为 ．
例4．（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为边上一点且，相交于F，四边形的面积为6，则的面积是 ．
例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，是边上的中线，则．
理由：因为是边上的中线，所以．
又因为，，所以．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：在如图2至图4中，的面积为a．
(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
例6．（2023春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．
(2)解答下题．①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．
②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．
(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：①或；②。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：①；②；③梯形的对应份数为。
例1．在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分三角形BCO的面积为 ．
例2、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△COB为 平方厘米。
例3、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．
例4、如图，梯形中，、的面积分别为和，则梯形的面积为 ．
例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，则三角形DOC的面积是 平方厘米。
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为 。
模型3.燕尾（定理）模型
条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点，结论：S1S2S3S4S1+S3S2+S4BEEC。
例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为 。
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交于点O，若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，则△PQC的面积为（ ）
A．22B．22.5C．23D．23.5
例3．如下图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为 ．
例4．（2023江苏淮安九年级月考）已知的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“<”“=”）
(2)如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，，则，由题意得：，，可列方程组为：，解得______，则可得四边形的面积为______．(3)如图3，，，则四边形的面积为______．(4)如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为______．
模型4.鸟头定理（共角定理）模型
图1 图2
共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在中，分别是上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则
例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面积是16平方厘米，则ABC的面积为 。
例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，
例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，则
证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，
∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴
又 即
任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：
（2）在（1）的条件下，若则AE= ．
例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得．根据上述这两个式子，可以推出：．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得：．借用这个结论，请你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
模型5.金字塔与沙漏模型
金字塔模型 沙漏模型
条件：①；②。
例1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是边上的点，且，面积比为，交于点F．则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（ ）
A．1：2B．C．1：4D．
例4．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是6，则四边形的面积为（ ）
A．8B．9C．10D．11
例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为 米．
例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，中，点分别在上，且，于点M，于点N，于点D，交于点E，且，连接，若 的面积等于75，则的最小值为 ．
例7．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N．
(1)求证：(2)若，，设，则当x取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
课后专项训练
1．（2023山西八年级期末）如图在中，、分别是边、的中点．，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为 平方厘米．
3．（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在中，分别是的中点，且，则 ．
4．（浙江省杭州2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，为边上一点且相交于，四边形的面积为，则的面积是 ．
5．（广东省宝安区文汇学校2023-2023学年九年级上学期月考数学试题）如图，的面积为，，则四边形的面积等于 ．
6. 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 ．
7. 如图，，，求梯形的面积．
四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。
9.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 ．
10．如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ．
11、如图所示，在△ABC中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，那么△ABC的面积是△GHI面积的几倍？
12、如图，S△ACB＝48平方厘米，S△ACD＝32平方厘米，S△ABD＝45平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？
13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？
14如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
15．（2023春·北京西城·七年级校考期中）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则．
理由：，，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索：在如图2至图4中，的面积为．
(1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由；
(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示）
拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？
16．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图至图中，已知的面积为，
(1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．
17．（2022·河南郑州·校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．
如图1，中，为边的中线，可得，过点作于，则
在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：
(1)如图2，矩形中，点，分别为，上的动点，且，与交于点．连接．①判断与的面积关系；②若，，当点为的中点时，求四边形的面积；(2)中，，，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若与重合部分的面积为面积的，直接写出的面积．
18．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点E，再过点作直线，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是的边的黄金分割点，过点E作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．
19．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】(2)如图3，在中，，平分，过点作于点．
①若，，则 ；②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示）
20．（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．
①若是的中线，求证：；②若，则______．
【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．
①求证：；②若，则______．
21．（2023秋·广西柳州·八年级校考开学考试）阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以2S△ABC2a，由此继续推理，从而解决了这个问题.（1）直接写出S1 （用含字母a的式子表示）.
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值.
22．（2023·江苏盐城·统考二模）(1)如图1，△ABC中，D是BC边上一点，则△ABD与△ADC有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为=(△ABD、△ADC的面积分别用S△ABD、S△ADC表示)．现有BD=BC，则S△ABD：S△ADC= ；
(2)如图2，△ABC中，E、F分别是BC、AC边上一点，且有BE：EC=1：2，AF：FC=1：1，AE与BF相交于点G、现作EH ∥BF交AC于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF的值；
(3)如图3，△ABC中，点P在边AB上，点M、N在边AC上，且有AP=PB，AM=MN=NC，BM、BN与CP分别相交于点R、Q，现已知△ABC的面积为1，求△BRQ的面积．
23．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图,已知正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG的边长和面积．
24．（2023·广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积．
25．（2023·河南信阳·九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放．
(1)证明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB与△DOC的面积之比．
高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
专题07 三角形中的重要模型-等积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
如图1，当//，则； 反之，如果，则可知直线//。
图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．12C．18D．20
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为 ．
例4．（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为边上一点且，相交于F，四边形的面积为6，则的面积是 ．
例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，是边上的中线，则．
理由：因为是边上的中线，所以．
又因为，，所以．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：在如图2至图4中，的面积为a．
(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
例6．（2023春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．
(2)解答下题．①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．
②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．
(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：①或；②。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：①；②；③梯形的对应份数为。
例1．在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分三角形BCO的面积为 ．
例2、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△COB为 平方厘米。
例3、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．
例4、如图，梯形中，、的面积分别为和，则梯形的面积为 ．
例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，则三角形DOC的面积是 平方厘米。
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为 。
模型3.燕尾（定理）模型
条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点，结论：S1S2S3S4S1+S3S2+S4BEEC。
例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为 。
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交于点O，若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，则△PQC的面积为（ ）
A．22B．22.5C．23D．23.5
例3．如下图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为 ．
例4．（2023江苏淮安九年级月考）已知的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“<”“=”）
(2)如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，，则，由题意得：，，可列方程组为：，解得______，则可得四边形的面积为______．(3)如图3，，，则四边形的面积为______．(4)如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为______．
模型4.鸟头定理（共角定理）模型
图1 图2
共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在中，分别是上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则
例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面积是16平方厘米，则ABC的面积为 。
例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，
例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，则
证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，
∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴
又 即
任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：
（2）在（1）的条件下，若则AE= ．
例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得．根据上述这两个式子，可以推出：．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得：．借用这个结论，请你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
模型5.金字塔与沙漏模型
金字塔模型 沙漏模型
条件：①；②。
例1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是边上的点，且，面积比为，交于点F．则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（ ）
A．1：2B．C．1：4D．
例4．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是6，则四边形的面积为（ ）
A．8B．9C．10D．11
例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为 米．
例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，中，点分别在上，且，于点M，于点N，于点D，交于点E，且，连接，若 的面积等于75，则的最小值为 ．
例7．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N．
(1)求证：(2)若，，设，则当x取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
课后专项训练
1．（2023山西八年级期末）如图在中，、分别是边、的中点．，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为 平方厘米．
3．（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在中，分别是的中点，且，则 ．
4．（浙江省杭州2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，为边上一点且相交于，四边形的面积为，则的面积是 ．
5．（广东省宝安区文汇学校2023-2023学年九年级上学期月考数学试题）如图，的面积为，，则四边形的面积等于 ．
6. 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 ．
7. 如图，，，求梯形的面积．
四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。
9.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 ．
10．如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ．
11、如图所示，在△ABC中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，那么△ABC的面积是△GHI面积的几倍？
12、如图，S△ACB＝48平方厘米，S△ACD＝32平方厘米，S△ABD＝45平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？
13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？
14如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
15．（2023春·北京西城·七年级校考期中）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则．
理由：，，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索：在如图2至图4中，的面积为．
(1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由；
(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示）
拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？
16．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图至图中，已知的面积为，
(1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．
17．（2022·河南郑州·校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．
如图1，中，为边的中线，可得，过点作于，则
在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：
(1)如图2，矩形中，点，分别为，上的动点，且，与交于点．连接．①判断与的面积关系；②若，，当点为的中点时，求四边形的面积；(2)中，，，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若与重合部分的面积为面积的，直接写出的面积．
18．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点E，再过点作直线，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是的边的黄金分割点，过点E作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．
19．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】(2)如图3，在中，，平分，过点作于点．
①若，，则 ；②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示）
20．（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．
①若是的中线，求证：；②若，则______．
【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．
①求证：；②若，则______．
21．（2023秋·广西柳州·八年级校考开学考试）阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以2S△ABC2a，由此继续推理，从而解决了这个问题.（1）直接写出S1 （用含字母a的式子表示）.
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值.
22．（2023·江苏盐城·统考二模）(1)如图1，△ABC中，D是BC边上一点，则△ABD与△ADC有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为=(△ABD、△ADC的面积分别用S△ABD、S△ADC表示)．现有BD=BC，则S△ABD：S△ADC= ；
(2)如图2，△ABC中，E、F分别是BC、AC边上一点，且有BE：EC=1：2，AF：FC=1：1，AE与BF相交于点G、现作EH ∥BF交AC于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF的值；
(3)如图3，△ABC中，点P在边AB上，点M、N在边AC上，且有AP=PB，AM=MN=NC，BM、BN与CP分别相交于点R、Q，现已知△ABC的面积为1，求△BRQ的面积．
23．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图,已知正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG的边长和面积．
24．（2023·广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积．
25．（2023·河南信阳·九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放．
(1)证明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB与△DOC的面积之比．
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