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福建省福州市九师教学联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题（Word版附解析）
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这是一份福建省福州市九师教学联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
完卷时间：120分钟；满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）
1．已知集合A=x-11，则A∪B=（ ）
A．x-1-1 D．xx>1
2．下列命题中的真命题是（ ）
A．若a>b，则ac>bc B．若ac2C．若a>b，则ab>1 D．若a>b,c>d，则a-c>b-d
3．函数y=ln3-x的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
4．“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．已知tanα=2，则sin2α-3sinαcsα等于（ ）
A．-2B．2C．0D．-25
6．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λlg3n（λ为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6,T=60．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为（ ）天．（结果保留一位小数．参考数据：ln2≈0.30,ln3≈0.48）
A．19.5B．20.5C．18.5D．19
7．已知命题：∃x0∈R,ax02+2ax0-1≥0为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．-∞,-1∪0,+∞B．-1,0C．-1,0D．-1,0
8．已知函数fx的定义域为R,fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=ax2+b，若f0+f3=6，则f20252=（ ）
A．52 B．74 C．-32 D．-94
一、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。）
9．已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列结论正确的是（ ）
A．ab>acB．lgba>lgcaC．b-13ba
10．已知函数f(x)=2cs2x+π6，则（ ）
A．函数f(x)的最小正周期为πB．f(x)的图象关于直线x=5π12对称
C．f(x)的图象关于点π3,0对称D．f(x)在区间(0,π)上有两个零点
11．下列说法错误的是（ ）
A．若α终边上一点的坐标为3k,4kk≠0，则csα=35
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2
D．若sinα+csα=15，且0<α<π，则tanα=-43
12．若f(x)=|sinx+3csx|+|3sinx-csx|，则下列说法正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期是π2
B．f(x)的对称轴方程为x=kπ2-π12，(k∈Z)
C．存在实数a，使得对任意的x∈R，都存在x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2，满足[f(x)]2-af(x)f(xk)+1=0，(k=1,2)
D．若函数g(x)=2f(x)+b，x∈[0,25π12]，（b是实常数），有奇数个零点x1,x2,⋅⋅⋅,x2n,x2n+1(n∈N)，
则x1+2(x2+x3+⋅⋅⋅+x2n)+x2n+1=50π3
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
13．已知函数f(x)=x2-3x,x≥0g(x),x<0是定义在R上的偶函数，则g-4等于 .
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数.例如：-3.6=-4,3.6=3.已知函数fx=12-ex1+ex，则函数y=fx+f-x的值域是 .
15．设α是第二象限角，Px,1为其终边上一点，且csα=13x，则tanα= .
16．若φ是一个三角形的内角，且函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是单调函数，则φ的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）
17．已知p：实数x满足x2-3ax+2a2<0，a>0.
(1)若a=1，求实数x的取值范围；
(2)已知q：实数x满足218．已知fα=sin2π-αcsπ+αcsπ2+αcs11π2-αcsπ-αsin3π-αsin-π-αsin9π2+α.
(1)化简fα；
(2)已知fα=-2，求sinα+csαsinα-csα的值.
19．已知函数fx=ax+b（a>0且a≠1，b为常数）的图象经过点P1,5，Q2,11.
(1)求a,b的值；
(2)设函数gx=lga2x+1+lgbx，求gx在1,4上的值域.
20．近几年，随着网络的不断发展和进步，直播平台作为一种新型的学习方式，正逐渐受到越来越多人们关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，该平台会员每年年末的人数如下表所示（注：第4年数据为截止2023年10月底的数据）
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台xx∈N*年后平台会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末会员人数：
①y=bx+cb>0，②y=dlgrx+e（r>0且r≠1），③y=tax+s（a>0且a≠1）；
为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过k⋅94xk>0千人，请根据（1）中你选择的函数模型求k的最小值．
21．已知函数fx=lnx+ax2+a+2x，a∈R.
（1）讨论fx的单调性；
（2）当a<0时，若关于x的不等式fx≤-2a+b-1恒成立，求实数b的取值范围.
22．若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时f(x)>0,定义域为-2,2的g(x)为偶函数.
(1)求证：函数f(x)在定义域上单调递增.
(2)若在区间-1,1上，f(x)+g(x)=-x2+x+1；g(x)在0,2上的图象关于点(1,0)对称.
（i）求函数f(x)和函数g(x)在区间-2,2上的解析式.
（ii）若关于x的不等式g(x1)-g(x2)af(x1)-af(x2)<1，02023-2024学年第一学期福州市九师教学联盟1月联考高一数学答案解析
选择题部分：1-8小题为单项选择题，每小题5分，共40分；9-12小题为多项选择题，每小题5分，共20分。
1．C
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
【详解】根据集合的并集运算，得A∪B=xx>-1.
故选：C.
2．B
【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；
选项B，不等式ac20，两边同乘c2，不等号不变；
选项C，从不等式a>b到不等式ab>1，是不等式两边同乘1b，但1b不一定是正数；
选项D，对于结论a-c>b-d，实际上是a+(-c)>b+(-d)，但-c<-d，无法保证同向相加.
【详解】选项A：若c≤0，则ac>bc不成立，即A错误；
选项B：由不等式性质可知：若ac2选项C：当a>0,b<0时，由a>b，可得ab<1，即C错误；
选项D：当a=5，b=2，c=11，d=2时，有a>b,c>d成立，
但此时a-c=5-11=-6，b-d=2-2=0，由-6<0可知，a-c>b-d不成立，即D错误.
故选：B.
3．A
【分析】由函数的定义域排除C，由函数的奇偶性排除D，由特殊的函数值排除B，结合奇偶性和单调性判断A.
【详解】由3-x>0得-3又ln3--x=ln3-x，所以y=ln3-x为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D；
当x=52时，y=ln12<0，排除选项B，
因为y=ln3-x为偶函数，且当3>x>0时，函数y=ln3-x=ln3-x单调递减，
选项A中图象符合.
故选：A
4．C
【分析】根据三角函数的定义及充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】在角α终边上任取点P（异于原点）其坐标为(x,y)，OP=rr>0，
若sinα>0且tanα<0，
所以sinα=yr>0，且tanα=yx<0，
可得x<0,y>0，
所以α的终边在第二象限，
所以“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的充分条件，
若α的终边在第二象限，则x<0,y>0，
所以sinα=yr>0，且tanα=yx<0，
所以“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的必要条件，
综上“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的充要条件.
故选：C.
5．D
【分析】根据齐次式问题分析求解.
【详解】因为tanα=2，
所以sin2α-3sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α-3tanαtan2α+1=4-64+1=-25.
故选：D.
6．A
【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得λ，进而利用对数的运算法则列式即可得解.
【详解】因为Q=Tλ+1，Q=6，T=60，所以6=60λ+1，解得λ=12，
设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2，
则K2-K1=12lg3(6n)-12lg3n=12lg36
=12×ln2+ln3ln3=12×0.30+≈19.5（天)．
故选：A.
7．D
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：∀x∈R,ax2+2ax-1<0为真命题，讨论a是否为0，结合a≠0时，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知命题：∃x0∈R,ax02+2ax0-1≥0为假命题，
则命题：∀x∈R,ax2+2ax-1<0为真命题，
故当a=0时，ax2+2ax-1<0，即为-1<0，符合题意；
当a≠0时，需满足a<0Δ=4a2+4a<0，解得-1综合可得实数a的取值范围是-1,0，
故选：D
8．A
【分析】由已知奇偶性质得到f(x)的周期性与对称性，借助已知条件f0+f3=6与f(1)=0待定系数a,b，再利用周期性得f20252=f12，由对称性转化为-f32，代入解析式求解即得.
【详解】由f(x+1)为奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1)，
故f(x)=-f(2-x)①，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；
由f(x+2)为偶函数，得f(-x+2)=f(x+2)②，
则函数f(x)的图象关于直线x=2对称；
由①②得f(x+2)=-f(x)，
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
故f(x)的周期为4，所以f20252=f1012+12=f12，
由f(-x+1)=-f(x+1)，令x=0得f(1)=0，即a+b=0③，
已知f(0)+f(3)=6，
由函数f(x)的图象关于直线x=2对称，得f(3)=f(1)=0，
又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(0)=-f(2)
所以f(0)+f(3)=-f(2)=6，即f(2)=-6，
所以4a+b=-6④，联立③④解得a=-2,b=2
故x∈1,2时，f(x)=-2x2+2，
由f(x)关于(1,0)对称，可得f12=-f32=--2⋅322+2=52.
故选：A.
9．ACD
【分析】A选项，根据y=ax a>1单调递增，得到ab>ac；
B选项，根据y=lnx单调性得到0>lnb>lnc，lna>0，lnalnbC选项，根据y=x-13的单调性得到b-13D选项，根据y=lgbx和y=bx的单调性，结合中间值比较大小.
【详解】A选项，因为y=ax a>1单调递增，又b>c，所以ab>ac，A正确；
B选项，因为y=lnx在0,+∞单调递增，因为a>1>b>c>0，
所以0>lnb>lnc，lna>0，故1lnb<1lnc<0，lnalnbC选项，y=x-13在0,+∞上单调递减，而b>c>0，所以b-13D选项，因为y=lgbx在0,+∞单调递减，而b>c>0，故lgbc>lgbb=1，
因为y=bx单调递减，而a>0，故0ba，D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】对于A：利用周期公式判断；对于B：通过计算f(5π12)判断；对于C：通过计算f(π3)判断；对于D：将2x+π6看成一个整体，通过函数y=2csx的图象性质来判断.
【详解】对于A：T=2π2=π，A正确；
对于B：f(5π12)=2cs2×5π12+π6=-2，B正确；
对于C：f(π3)=2cs2×π3+π6≠0，C错误；
对于D：当x∈(0,π)时，2x+π6∈(π6,13π6)，函数y=2csx在(π6,13π6)上有两个零点，故f(x)在区间(0,π)上有两个零点，D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】由三角函数的定义可判断A；取α=π6,2α=π3可判断B；由扇形的面积公式可判断C；对sinα+csα=15两边同时平方可得sinαcsα=-1225，可得tanα=-34或tanα=-43，再由sinα>csα可判断D.
【详解】对于A，3k,4kk≠0到原点的距离为r=5k，
若r>0时，csα=3k5k=35；若r<0时，csα=3k5k=-35，故A错误；
对于B，若α=π6,2α=π3，则B错误；
对于C，设扇形的半径为r，则π3r=π，解得：r=3，
所以扇形面积S=12×π3r2=3π2，故C正确；
对于D，因为sinα+csα=15，则sinα+csα2=125，
所以sinαcsα=-1225，
所以sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=-1225，解得tanα=-34或tanα=-43.
因为sinα+csα=15>0，sinαcsα=-1225<0，且0<α<π，
所以sinα>csα，所以tanα=-43，故D正确.
故选：AB.
12．AD
【分析】由题设得f(x)=21+|cs(2x+π6)|，根据三角形函数y=cs2x与y=|cs2x|的周期、对称轴变化性质判断f(x)最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有∃a∈R，∃x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2使af(xk)=f(x)+1f(x) ∈[52,924]能成立求a的范围即可，利用f(x)在x∈[0,25π12]的图象，根据零点个数确定b的范围，结合对称性求零点的和.
【详解】由题设f(x)=2|sin(x+π3)|+2|cs(x+π3)|，
所以f2(x)=4(1+|sin(2x+2π3)|)=4(1+|cs(2x+π6)|)，故f(x)=21+|cs(2x+π6)|，
由y=cs2x的最小正周期为π，则y=|cs2x|的最小正周期为π2，
同理y=21+cs(2x+π6)的最小正周期为π，则f(x)的最小正周期为π2，A正确；
对于f(x)，令2x+π6=kπ2，则对称轴方程为x=kπ4-π12且k∈Z，B错误；
对任意x有f(x)∈[2,22]，∃a∈R，∃x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2满足af(xk)=f(x)+1f(x) ∈[52,924]且(k=1,2)，而x∈[-5π12,0]的f(x)图象如下：
所以af(xk)∈(2a,6a]∪[(3+1)a,22a)，则[52,924]⊆(2a,6a]∪[(3+1)a,22a)，
所以{2a<526a≥924或{(3+1)a≤5222a>924，无解，即不存在这样的a，C错误；
由g(x)=0可转化为f(x)与y=-b2交点横坐标，而x∈[0,25π12]上f(x)图象如下：
函数有奇数个零点，由图知：6≤-b2≤3+1，此时共有9个零点，
x1+x22=π6、x2+x32=5π12、x3+x42=2π3、x4+x52=11π12、x5+x62=7π6、x6+x72=17π12、x7+x82=5π3，x8+x92=23π12，
所以x1+2(x2+x3+...+x8)+x9=50π3，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：求得f(x)的解析式，应用类比思想，根据y=cs2x与y=|cs2x|最小正周期、对称轴的关系得到f(x)的周期和对称轴；由对任意x有f(x)∈[2,22]，∃a∈R，∃x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2满足af(xk)=f(x)+1f(x) ∈[52,924]且(k=1,2)，进而转化为集合的包含关系求a范围；由f(x)的区间图象及其对称性求零点的和.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
4 12. -1,0 13. -24 14. 0,π6
13．4
【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.
【详解】因为f(x)=x2-3x,x≥0g(x),x<0是定义在R上的偶函数，
所以g(-4)=f(-4)=f(4)=42-3×4=4.
故答案为：4.
14．-1,0
【分析】依题意可得fx=-12+11+ex，再根据指数函数的性质讨论x>0，x=0和x<0时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为fx=12-ex1+ex=12-1+ex-11+ex=12-1-11+ex=-12+11+ex，定义域为R，
因为y=1+ex在定义域上单调递增，则y=11+ex在定义域上单调递减，
所以fx=-12+11+ex在定义域R上单调递减，
当x<0时，ex∈0,1,11+ex∈12,1,fx∈0,12,fx=0；
当x=0时，f0=12-e01+e0=0=0，即f0=0；
当x>0时，ex∈1,+∞,11+ex∈0,12,fx∈-12,0,fx=-1；
所以，当x>0时-x<0，则fx=-1,f-x=0，于是fx+f-x=-1+0=-1；
当x<0时-x>0，则fx=0,f-x=-1，于是fx+f-x=0+-1=-1；
当x=0时，fx+f-x=0+0=0.
综上所述，y=fx+f-x的值域为-1,0.
故答案为：-1,0.
15．-24/-142
【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.
【详解】由题设csα=xx2+1=13x<0，则1x2+1=19且x<0，可得x=-22，
所以tanα=1x=-24. 故答案为：-24
16．0,π6
【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据0∈-π4,π6，结合角的范围确定-π4,π6是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.
【详解】函数y=3sin(2x+φ)，
令2kπ-π2≤2x+φ≤2kπ+π2,k∈Z，解得：2kπ-π2-φ2≤x≤2kπ+π2-φ2,k∈Z，
令2kπ+π2≤2x+φ≤2kπ+3π2,k∈Z，解得：2kπ+π2-φ2≤x≤2kπ+3π2-φ2,k∈Z
则y=3sin(2x+φ)的单调递增区间为2kπ-π2-φ2,2kπ+π2-φ2,k∈Z，单调递减区间为2kπ+π2-φ2,2kπ+3π2-φ2,k∈Z，
若函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是单调递增函数，
则-π4,π6⊆2kπ-π2-φ2,2kπ+π2-φ2,k∈Z，
∵φ是一个三角形的内角，
∴-π2-φ∈-3π2,-π2，π2-φ∈-π2,π2，
∵0∈-π4,π6，
要使0∈2kπ-π2-φ2,2kπ+π2-φ2,k∈Z，
只能令k=0，得-π2-φ2,π2-φ2，且φ∈0,π2，
此时0∈-π2-φ2,π2-φ2，
则-π4,π6⊆-π2-φ2,π2-φ2，
则-π2-φ2≤-π4π2-φ2≥π6，解得0≤φ≤π6，
∵φ是一个三角形的内角，
∴φ∈0,π6，
若函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是单调递减函数，
则-π4,π6⊆2kπ+π2-φ2,2kπ+3π2-φ2,k∈Z，
∵ π2-φ∈-π2,π2，3π2-φ∈π2,3π2，
要使0∈2kπ+π2-φ2,2kπ+3π2-φ2,k∈Z，
只能令k=0，得π2-φ2,3π2-φ2，且φ∈π2,π，
此时0∈π2-φ2,3π2-φ2，
则-π4,π6⊆π2-φ2,3π2-φ2，
则π2-φ2≤-π43π2-φ2≥π6，解得π≤φ≤7π6，与φ∈π2,π矛盾，
∴函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是不能是单调递减函数，
综上所述，φ∈0,π6，
故答案为：0,π6.
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）
17．(1)(1,2)
(2)(32,2]
【分析】（1）代入a的值，求解一元二次不等式即得；
（2）先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得a的取值范围.
【详解】（1）a=1时，由不等式x2-3x+2<0可得：1（2）由不等式x2-3ax+2a2<0可得：(x-a)(x-2a)<0，因a>0，故a<2a，则有：a因p是q的必要不充分条件，故q⇒p,p⇏q，则(2,3](a,2a)，故得：2a>3a≤2,
即实数a的取值范围为(32,2].
18．(1)-tanα；
(2)3.
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；
（2）根据同角关系式结合条件即得.
【详解】（1）fα=(-sinα)(-csα)(-sinα)cs5π+π2-α(-csα)sin(π-α)[-sin(π+α)]sin4π+π2+α
=-sin2αcsα-csπ2-α(-csα)sinα[-(-sinα)]sinπ2+α
=-sinαcsα=-tanα.
（2）因为fα=-2，所以tanα=2，
∴sinα+csαsinα-csα =tanα+1tanα-1=31=3.
19．(1)b=5,a=2
(2)[1,4]
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为fx=ax+b的图象经过点P1,5，Q2,11，
所以a1+b=5a2+b=11，两式相减得a2-a-6=0，
又a>0且a≠1，解得a=3或-2（舍去），则b=5,a=2.
（2）由（1）得g(x)=lg3(2x+1)+lg2x，
因为函数y=lg3(2x+1)在[1,4]上单调递增，函数y=lg2x在[1,4]上单调递增，
所以g(x)在[1,4]上单调递增，
则g(x)max=g(4)=lg3(2×4+1)+lg24=2+2=4，
g(x)min=g(1)=lg3(2×1+1)+lg21=1+0=1，
故g(x)在[1,4]上的值域为[1,4].
20．(1)函数模型解析式为y=16⋅32x+4x∈N*，85千人
(2)1129
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将x=4代入函数模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出16⋅32x+4≤k⋅94x，令t=32x≥32，则k≥4t2+16t，令s=1t∈0,23，fs=4s2+16s，求出函数fs在0,23上的最大值，即可得实数k的最小值.
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，
由表格中的数据可得ta+s=28ta2+s=40ta3+s=58，解得a=32t=16s=4，
所以，函数模型的解析式为y=16⋅32x+4x∈N*，
预测2023年年末的会员人数为16×324+4=85千人.
（2）解：由题意可得16⋅32x+4≤k⋅94x，
令t=32x≥32，则16t+4≤kt2，则k≥4t2+16t，
令s=1t∈0,23，fs=4s2+16s，则函数fs在0,23上单调递增，
所以，fsmax=f23=4×49+16×23=1129，故k≥1129，
故k的最小值为1129.
21．（1）当a≥0时，fx在0,+∞上是单调增函数；当a<0时，fx在0,-1a上单调递增，在-1a,+∞上单调递减；（2）-1,+∞
【分析】（1）由题意有f'x=2ax2+a+2x+1xx>0，分a≥0和a<0进行分类讨论得出函数的单调性.
（2）不等式fx≤-2a+b-1恒成立，即fxmax≤-2a+b-1，（1）可得，当a<0时，fxmax=f-1a，即b≥ln-1a+1a在a<0时恒成立，令t=-1a，gt=lnt-tt>0，求出gt单调性，得出gt的最大值即可得出答案.
【详解】（1）fx=lnx+ax2+a+2x，
f'x=1x+2ax+a+2=2ax2+a+2x+1xx>0.
当a≥0时，f'x>0，fx在0,+∞上是单调增函数；
当a<0时，f'x=ax+12x+1x=2ax+1ax+12x.
当x∈0,-1a时，f'x>0；当x∈-1a,+∞时，f'x<0，
所以fx在0,-1a上单调递增，在-1a,+∞上单调递减.
综上，当a≥0时，fx在0,+∞上是单调增函数；
当a<0时，fx在0,-1a上单调递增，在-1a,+∞上单调递减.
（2）由（1）可得，当a<0时，fxmax=f-1a=ln-1a+1a-a+2a=ln-1a-1a-1.
由不等式fx≤-2a+b-1恒成立，得ln-1a-1a-a≤-2a+b-1恒成立，
即b≥ln-1a+1a在a<0时恒成立.
令t=-1a，gt=lnt-tt>0，则g't=1t-1=1-tt.
当t∈0,1时，g't>0，gt单调递增；
当t∈1,+∞时，g't<0，gt单调递减.
所以gt的最大值为g1=-1.得b≥-1，所以实数b的取值范围是-1,+∞.
【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题.
22．(1)证明见解析；
(2)（i）f(x)=x，g(x)=(x+2)2-1,-2≤x<-1-x2+1,-1≤x≤1(x-2)2-1,1【分析】（1）令x1>x2，应用作差法判断f(x1)-f(x2)的符号，即可证单调性；
（2）（i）由题设函数f(x)为奇函数，且-f(x)+g(x)=-x2-x+1，即可求x∈[-1,1]上f(x),g(x)，再应用奇偶性、对称性求区间-2,2上的解析式；
（ii）根据题设可得h(x)=g(x)-af(x)在-2≤x【详解】（1）任取x1,x2∈R，使x1>x2，则
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，
因为x1>x2，所以x1-x2>0，则f(x1-x2)>0，故f(x1)-f(x2)>0
所以函数f(x)在定义域上单调递增.
（2）（i）令f(x)+f(y)=f(x+y)中x=y=0，则2f(0)=f(0)，f(0)=0.
令y=-x，f(x)+f(-x)=f(0)，即f(-x)=-f(x)且函数f(x)定义域为R，
所以函数f(x)为奇函数.
由f(x)+g(x)=-x2+x+1，则f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=-x2-x+1，
联立两式，可得f(x)=x,g(x)=-x2+1，
所以g(x)=-x2+1，且x∈[-1,1]，而g(x)=-g(2-x)，
令1令-2≤x<-1，则1<-x≤2，故g(x)=g(-x)=(2+x)2-1；
综上，g(x)=(x+2)2-1,-2≤x<-1-x2+1,-1≤x≤1(x-2)2-1,1对f(x)在-2,-1)∪1,2的部分，存在f(x)=f(a)+f(b)=f(a+b)，其中a,b∈-1,1，x=a+b，
则f(x)=a+b=f(a+b)，所以f(x)=x对x∈-2,2均成立.
（ii）g(x1)-g(x2)af(x1)-af(x2)<1，化简得g(x1)-af(x1)>g(x2)-af(x2)，
则h(x)=g(x)-af(x)在-2≤x若-2≤-4-a2<-1，即0若-1≤-4-a2<0，即22，
即h(x)在定义域x∈-2,2上单调递减，所以t=2.
综上所述，t=a-42,0【点睛】关键点点睛：第二问，（i）应用方程法求解析式，再应用奇偶对称性求区间上的解析式；（ii）利用已知得到h(x)=g(x)-af(x)在-2≤x建立平台第x年
1
2
3
4
会员人数y（千人）
28
40
58
82
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
D
A
D
A
题号
9
10
11
12
答案
ACD
ABD
AB
AD
完卷时间：120分钟；满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）
1．已知集合A=x-1
A．x-1
2．下列命题中的真命题是（ ）
A．若a>b，则ac>bc B．若ac2
3．函数y=ln3-x的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
4．“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．已知tanα=2，则sin2α-3sinαcsα等于（ ）
A．-2B．2C．0D．-25
6．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λlg3n（λ为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6,T=60．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为（ ）天．（结果保留一位小数．参考数据：ln2≈0.30,ln3≈0.48）
A．19.5B．20.5C．18.5D．19
7．已知命题：∃x0∈R,ax02+2ax0-1≥0为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．-∞,-1∪0,+∞B．-1,0C．-1,0D．-1,0
8．已知函数fx的定义域为R,fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=ax2+b，若f0+f3=6，则f20252=（ ）
A．52 B．74 C．-32 D．-94
一、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。）
9．已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列结论正确的是（ ）
A．ab>acB．lgba>lgcaC．b-13
10．已知函数f(x)=2cs2x+π6，则（ ）
A．函数f(x)的最小正周期为πB．f(x)的图象关于直线x=5π12对称
C．f(x)的图象关于点π3,0对称D．f(x)在区间(0,π)上有两个零点
11．下列说法错误的是（ ）
A．若α终边上一点的坐标为3k,4kk≠0，则csα=35
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2
D．若sinα+csα=15，且0<α<π，则tanα=-43
12．若f(x)=|sinx+3csx|+|3sinx-csx|，则下列说法正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期是π2
B．f(x)的对称轴方程为x=kπ2-π12，(k∈Z)
C．存在实数a，使得对任意的x∈R，都存在x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2，满足[f(x)]2-af(x)f(xk)+1=0，(k=1,2)
D．若函数g(x)=2f(x)+b，x∈[0,25π12]，（b是实常数），有奇数个零点x1,x2,⋅⋅⋅,x2n,x2n+1(n∈N)，
则x1+2(x2+x3+⋅⋅⋅+x2n)+x2n+1=50π3
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
13．已知函数f(x)=x2-3x,x≥0g(x),x<0是定义在R上的偶函数，则g-4等于 .
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数.例如：-3.6=-4,3.6=3.已知函数fx=12-ex1+ex，则函数y=fx+f-x的值域是 .
15．设α是第二象限角，Px,1为其终边上一点，且csα=13x，则tanα= .
16．若φ是一个三角形的内角，且函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是单调函数，则φ的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）
17．已知p：实数x满足x2-3ax+2a2<0，a>0.
(1)若a=1，求实数x的取值范围；
(2)已知q：实数x满足2
(1)化简fα；
(2)已知fα=-2，求sinα+csαsinα-csα的值.
19．已知函数fx=ax+b（a>0且a≠1，b为常数）的图象经过点P1,5，Q2,11.
(1)求a,b的值；
(2)设函数gx=lga2x+1+lgbx，求gx在1,4上的值域.
20．近几年，随着网络的不断发展和进步，直播平台作为一种新型的学习方式，正逐渐受到越来越多人们关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，该平台会员每年年末的人数如下表所示（注：第4年数据为截止2023年10月底的数据）
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台xx∈N*年后平台会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末会员人数：
①y=bx+cb>0，②y=dlgrx+e（r>0且r≠1），③y=tax+s（a>0且a≠1）；
为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过k⋅94xk>0千人，请根据（1）中你选择的函数模型求k的最小值．
21．已知函数fx=lnx+ax2+a+2x，a∈R.
（1）讨论fx的单调性；
（2）当a<0时，若关于x的不等式fx≤-2a+b-1恒成立，求实数b的取值范围.
22．若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时f(x)>0,定义域为-2,2的g(x)为偶函数.
(1)求证：函数f(x)在定义域上单调递增.
(2)若在区间-1,1上，f(x)+g(x)=-x2+x+1；g(x)在0,2上的图象关于点(1,0)对称.
（i）求函数f(x)和函数g(x)在区间-2,2上的解析式.
（ii）若关于x的不等式g(x1)-g(x2)af(x1)-af(x2)<1，0
选择题部分：1-8小题为单项选择题，每小题5分，共40分；9-12小题为多项选择题，每小题5分，共20分。
1．C
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
【详解】根据集合的并集运算，得A∪B=xx>-1.
故选：C.
2．B
【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；
选项B，不等式ac2
选项C，从不等式a>b到不等式ab>1，是不等式两边同乘1b，但1b不一定是正数；
选项D，对于结论a-c>b-d，实际上是a+(-c)>b+(-d)，但-c<-d，无法保证同向相加.
【详解】选项A：若c≤0，则ac>bc不成立，即A错误；
选项B：由不等式性质可知：若ac2
选项D：当a=5，b=2，c=11，d=2时，有a>b,c>d成立，
但此时a-c=5-11=-6，b-d=2-2=0，由-6<0可知，a-c>b-d不成立，即D错误.
故选：B.
3．A
【分析】由函数的定义域排除C，由函数的奇偶性排除D，由特殊的函数值排除B，结合奇偶性和单调性判断A.
【详解】由3-x>0得-3
当x=52时，y=ln12<0，排除选项B，
因为y=ln3-x为偶函数，且当3>x>0时，函数y=ln3-x=ln3-x单调递减，
选项A中图象符合.
故选：A
4．C
【分析】根据三角函数的定义及充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】在角α终边上任取点P（异于原点）其坐标为(x,y)，OP=rr>0，
若sinα>0且tanα<0，
所以sinα=yr>0，且tanα=yx<0，
可得x<0,y>0，
所以α的终边在第二象限，
所以“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的充分条件，
若α的终边在第二象限，则x<0,y>0，
所以sinα=yr>0，且tanα=yx<0，
所以“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的必要条件，
综上“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的充要条件.
故选：C.
5．D
【分析】根据齐次式问题分析求解.
【详解】因为tanα=2，
所以sin2α-3sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α-3tanαtan2α+1=4-64+1=-25.
故选：D.
6．A
【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得λ，进而利用对数的运算法则列式即可得解.
【详解】因为Q=Tλ+1，Q=6，T=60，所以6=60λ+1，解得λ=12，
设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2，
则K2-K1=12lg3(6n)-12lg3n=12lg36
=12×ln2+ln3ln3=12×0.30+≈19.5（天)．
故选：A.
7．D
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：∀x∈R,ax2+2ax-1<0为真命题，讨论a是否为0，结合a≠0时，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知命题：∃x0∈R,ax02+2ax0-1≥0为假命题，
则命题：∀x∈R,ax2+2ax-1<0为真命题，
故当a=0时，ax2+2ax-1<0，即为-1<0，符合题意；
当a≠0时，需满足a<0Δ=4a2+4a<0，解得-1
故选：D
8．A
【分析】由已知奇偶性质得到f(x)的周期性与对称性，借助已知条件f0+f3=6与f(1)=0待定系数a,b，再利用周期性得f20252=f12，由对称性转化为-f32，代入解析式求解即得.
【详解】由f(x+1)为奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1)，
故f(x)=-f(2-x)①，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；
由f(x+2)为偶函数，得f(-x+2)=f(x+2)②，
则函数f(x)的图象关于直线x=2对称；
由①②得f(x+2)=-f(x)，
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
故f(x)的周期为4，所以f20252=f1012+12=f12，
由f(-x+1)=-f(x+1)，令x=0得f(1)=0，即a+b=0③，
已知f(0)+f(3)=6，
由函数f(x)的图象关于直线x=2对称，得f(3)=f(1)=0，
又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(0)=-f(2)
所以f(0)+f(3)=-f(2)=6，即f(2)=-6，
所以4a+b=-6④，联立③④解得a=-2,b=2
故x∈1,2时，f(x)=-2x2+2，
由f(x)关于(1,0)对称，可得f12=-f32=--2⋅322+2=52.
故选：A.
9．ACD
【分析】A选项，根据y=ax a>1单调递增，得到ab>ac；
B选项，根据y=lnx单调性得到0>lnb>lnc，lna>0，lnalnb
【详解】A选项，因为y=ax a>1单调递增，又b>c，所以ab>ac，A正确；
B选项，因为y=lnx在0,+∞单调递增，因为a>1>b>c>0，
所以0>lnb>lnc，lna>0，故1lnb<1lnc<0，lnalnb
因为y=bx单调递减，而a>0，故0
故选：ACD
10．ABD
【分析】对于A：利用周期公式判断；对于B：通过计算f(5π12)判断；对于C：通过计算f(π3)判断；对于D：将2x+π6看成一个整体，通过函数y=2csx的图象性质来判断.
【详解】对于A：T=2π2=π，A正确；
对于B：f(5π12)=2cs2×5π12+π6=-2，B正确；
对于C：f(π3)=2cs2×π3+π6≠0，C错误；
对于D：当x∈(0,π)时，2x+π6∈(π6,13π6)，函数y=2csx在(π6,13π6)上有两个零点，故f(x)在区间(0,π)上有两个零点，D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】由三角函数的定义可判断A；取α=π6,2α=π3可判断B；由扇形的面积公式可判断C；对sinα+csα=15两边同时平方可得sinαcsα=-1225，可得tanα=-34或tanα=-43，再由sinα>csα可判断D.
【详解】对于A，3k,4kk≠0到原点的距离为r=5k，
若r>0时，csα=3k5k=35；若r<0时，csα=3k5k=-35，故A错误；
对于B，若α=π6,2α=π3，则B错误；
对于C，设扇形的半径为r，则π3r=π，解得：r=3，
所以扇形面积S=12×π3r2=3π2，故C正确；
对于D，因为sinα+csα=15，则sinα+csα2=125，
所以sinαcsα=-1225，
所以sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=-1225，解得tanα=-34或tanα=-43.
因为sinα+csα=15>0，sinαcsα=-1225<0，且0<α<π，
所以sinα>csα，所以tanα=-43，故D正确.
故选：AB.
12．AD
【分析】由题设得f(x)=21+|cs(2x+π6)|，根据三角形函数y=cs2x与y=|cs2x|的周期、对称轴变化性质判断f(x)最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有∃a∈R，∃x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2使af(xk)=f(x)+1f(x) ∈[52,924]能成立求a的范围即可，利用f(x)在x∈[0,25π12]的图象，根据零点个数确定b的范围，结合对称性求零点的和.
【详解】由题设f(x)=2|sin(x+π3)|+2|cs(x+π3)|，
所以f2(x)=4(1+|sin(2x+2π3)|)=4(1+|cs(2x+π6)|)，故f(x)=21+|cs(2x+π6)|，
由y=cs2x的最小正周期为π，则y=|cs2x|的最小正周期为π2，
同理y=21+cs(2x+π6)的最小正周期为π，则f(x)的最小正周期为π2，A正确；
对于f(x)，令2x+π6=kπ2，则对称轴方程为x=kπ4-π12且k∈Z，B错误；
对任意x有f(x)∈[2,22]，∃a∈R，∃x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2满足af(xk)=f(x)+1f(x) ∈[52,924]且(k=1,2)，而x∈[-5π12,0]的f(x)图象如下：
所以af(xk)∈(2a,6a]∪[(3+1)a,22a)，则[52,924]⊆(2a,6a]∪[(3+1)a,22a)，
所以{2a<526a≥924或{(3+1)a≤5222a>924，无解，即不存在这样的a，C错误；
由g(x)=0可转化为f(x)与y=-b2交点横坐标，而x∈[0,25π12]上f(x)图象如下：
函数有奇数个零点，由图知：6≤-b2≤3+1，此时共有9个零点，
x1+x22=π6、x2+x32=5π12、x3+x42=2π3、x4+x52=11π12、x5+x62=7π6、x6+x72=17π12、x7+x82=5π3，x8+x92=23π12，
所以x1+2(x2+x3+...+x8)+x9=50π3，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：求得f(x)的解析式，应用类比思想，根据y=cs2x与y=|cs2x|最小正周期、对称轴的关系得到f(x)的周期和对称轴；由对任意x有f(x)∈[2,22]，∃a∈R，∃x1,x2∈[-5π12,0]且x1≠x2满足af(xk)=f(x)+1f(x) ∈[52,924]且(k=1,2)，进而转化为集合的包含关系求a范围；由f(x)的区间图象及其对称性求零点的和.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）
4 12. -1,0 13. -24 14. 0,π6
13．4
【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.
【详解】因为f(x)=x2-3x,x≥0g(x),x<0是定义在R上的偶函数，
所以g(-4)=f(-4)=f(4)=42-3×4=4.
故答案为：4.
14．-1,0
【分析】依题意可得fx=-12+11+ex，再根据指数函数的性质讨论x>0，x=0和x<0时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为fx=12-ex1+ex=12-1+ex-11+ex=12-1-11+ex=-12+11+ex，定义域为R，
因为y=1+ex在定义域上单调递增，则y=11+ex在定义域上单调递减，
所以fx=-12+11+ex在定义域R上单调递减，
当x<0时，ex∈0,1,11+ex∈12,1,fx∈0,12,fx=0；
当x=0时，f0=12-e01+e0=0=0，即f0=0；
当x>0时，ex∈1,+∞,11+ex∈0,12,fx∈-12,0,fx=-1；
所以，当x>0时-x<0，则fx=-1,f-x=0，于是fx+f-x=-1+0=-1；
当x<0时-x>0，则fx=0,f-x=-1，于是fx+f-x=0+-1=-1；
当x=0时，fx+f-x=0+0=0.
综上所述，y=fx+f-x的值域为-1,0.
故答案为：-1,0.
15．-24/-142
【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.
【详解】由题设csα=xx2+1=13x<0，则1x2+1=19且x<0，可得x=-22，
所以tanα=1x=-24. 故答案为：-24
16．0,π6
【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据0∈-π4,π6，结合角的范围确定-π4,π6是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.
【详解】函数y=3sin(2x+φ)，
令2kπ-π2≤2x+φ≤2kπ+π2,k∈Z，解得：2kπ-π2-φ2≤x≤2kπ+π2-φ2,k∈Z，
令2kπ+π2≤2x+φ≤2kπ+3π2,k∈Z，解得：2kπ+π2-φ2≤x≤2kπ+3π2-φ2,k∈Z
则y=3sin(2x+φ)的单调递增区间为2kπ-π2-φ2,2kπ+π2-φ2,k∈Z，单调递减区间为2kπ+π2-φ2,2kπ+3π2-φ2,k∈Z，
若函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是单调递增函数，
则-π4,π6⊆2kπ-π2-φ2,2kπ+π2-φ2,k∈Z，
∵φ是一个三角形的内角，
∴-π2-φ∈-3π2,-π2，π2-φ∈-π2,π2，
∵0∈-π4,π6，
要使0∈2kπ-π2-φ2,2kπ+π2-φ2,k∈Z，
只能令k=0，得-π2-φ2,π2-φ2，且φ∈0,π2，
此时0∈-π2-φ2,π2-φ2，
则-π4,π6⊆-π2-φ2,π2-φ2，
则-π2-φ2≤-π4π2-φ2≥π6，解得0≤φ≤π6，
∵φ是一个三角形的内角，
∴φ∈0,π6，
若函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是单调递减函数，
则-π4,π6⊆2kπ+π2-φ2,2kπ+3π2-φ2,k∈Z，
∵ π2-φ∈-π2,π2，3π2-φ∈π2,3π2，
要使0∈2kπ+π2-φ2,2kπ+3π2-φ2,k∈Z，
只能令k=0，得π2-φ2,3π2-φ2，且φ∈π2,π，
此时0∈π2-φ2,3π2-φ2，
则-π4,π6⊆π2-φ2,3π2-φ2，
则π2-φ2≤-π43π2-φ2≥π6，解得π≤φ≤7π6，与φ∈π2,π矛盾，
∴函数y=3sin(2x+φ)在区间-π4,π6上是不能是单调递减函数，
综上所述，φ∈0,π6，
故答案为：0,π6.
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）
17．(1)(1,2)
(2)(32,2]
【分析】（1）代入a的值，求解一元二次不等式即得；
（2）先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得a的取值范围.
【详解】（1）a=1时，由不等式x2-3x+2<0可得：1
即实数a的取值范围为(32,2].
18．(1)-tanα；
(2)3.
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；
（2）根据同角关系式结合条件即得.
【详解】（1）fα=(-sinα)(-csα)(-sinα)cs5π+π2-α(-csα)sin(π-α)[-sin(π+α)]sin4π+π2+α
=-sin2αcsα-csπ2-α(-csα)sinα[-(-sinα)]sinπ2+α
=-sinαcsα=-tanα.
（2）因为fα=-2，所以tanα=2，
∴sinα+csαsinα-csα =tanα+1tanα-1=31=3.
19．(1)b=5,a=2
(2)[1,4]
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为fx=ax+b的图象经过点P1,5，Q2,11，
所以a1+b=5a2+b=11，两式相减得a2-a-6=0，
又a>0且a≠1，解得a=3或-2（舍去），则b=5,a=2.
（2）由（1）得g(x)=lg3(2x+1)+lg2x，
因为函数y=lg3(2x+1)在[1,4]上单调递增，函数y=lg2x在[1,4]上单调递增，
所以g(x)在[1,4]上单调递增，
则g(x)max=g(4)=lg3(2×4+1)+lg24=2+2=4，
g(x)min=g(1)=lg3(2×1+1)+lg21=1+0=1，
故g(x)在[1,4]上的值域为[1,4].
20．(1)函数模型解析式为y=16⋅32x+4x∈N*，85千人
(2)1129
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将x=4代入函数模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出16⋅32x+4≤k⋅94x，令t=32x≥32，则k≥4t2+16t，令s=1t∈0,23，fs=4s2+16s，求出函数fs在0,23上的最大值，即可得实数k的最小值.
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，
由表格中的数据可得ta+s=28ta2+s=40ta3+s=58，解得a=32t=16s=4，
所以，函数模型的解析式为y=16⋅32x+4x∈N*，
预测2023年年末的会员人数为16×324+4=85千人.
（2）解：由题意可得16⋅32x+4≤k⋅94x，
令t=32x≥32，则16t+4≤kt2，则k≥4t2+16t，
令s=1t∈0,23，fs=4s2+16s，则函数fs在0,23上单调递增，
所以，fsmax=f23=4×49+16×23=1129，故k≥1129，
故k的最小值为1129.
21．（1）当a≥0时，fx在0,+∞上是单调增函数；当a<0时，fx在0,-1a上单调递增，在-1a,+∞上单调递减；（2）-1,+∞
【分析】（1）由题意有f'x=2ax2+a+2x+1xx>0，分a≥0和a<0进行分类讨论得出函数的单调性.
（2）不等式fx≤-2a+b-1恒成立，即fxmax≤-2a+b-1，（1）可得，当a<0时，fxmax=f-1a，即b≥ln-1a+1a在a<0时恒成立，令t=-1a，gt=lnt-tt>0，求出gt单调性，得出gt的最大值即可得出答案.
【详解】（1）fx=lnx+ax2+a+2x，
f'x=1x+2ax+a+2=2ax2+a+2x+1xx>0.
当a≥0时，f'x>0，fx在0,+∞上是单调增函数；
当a<0时，f'x=ax+12x+1x=2ax+1ax+12x.
当x∈0,-1a时，f'x>0；当x∈-1a,+∞时，f'x<0，
所以fx在0,-1a上单调递增，在-1a,+∞上单调递减.
综上，当a≥0时，fx在0,+∞上是单调增函数；
当a<0时，fx在0,-1a上单调递增，在-1a,+∞上单调递减.
（2）由（1）可得，当a<0时，fxmax=f-1a=ln-1a+1a-a+2a=ln-1a-1a-1.
由不等式fx≤-2a+b-1恒成立，得ln-1a-1a-a≤-2a+b-1恒成立，
即b≥ln-1a+1a在a<0时恒成立.
令t=-1a，gt=lnt-tt>0，则g't=1t-1=1-tt.
当t∈0,1时，g't>0，gt单调递增；
当t∈1,+∞时，g't<0，gt单调递减.
所以gt的最大值为g1=-1.得b≥-1，所以实数b的取值范围是-1,+∞.
【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题.
22．(1)证明见解析；
(2)（i）f(x)=x，g(x)=(x+2)2-1,-2≤x<-1-x2+1,-1≤x≤1(x-2)2-1,1
（2）（i）由题设函数f(x)为奇函数，且-f(x)+g(x)=-x2-x+1，即可求x∈[-1,1]上f(x),g(x)，再应用奇偶性、对称性求区间-2,2上的解析式；
（ii）根据题设可得h(x)=g(x)-af(x)在-2≤x
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，
因为x1>x2，所以x1-x2>0，则f(x1-x2)>0，故f(x1)-f(x2)>0
所以函数f(x)在定义域上单调递增.
（2）（i）令f(x)+f(y)=f(x+y)中x=y=0，则2f(0)=f(0)，f(0)=0.
令y=-x，f(x)+f(-x)=f(0)，即f(-x)=-f(x)且函数f(x)定义域为R，
所以函数f(x)为奇函数.
由f(x)+g(x)=-x2+x+1，则f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=-x2-x+1，
联立两式，可得f(x)=x,g(x)=-x2+1，
所以g(x)=-x2+1，且x∈[-1,1]，而g(x)=-g(2-x)，
令1
综上，g(x)=(x+2)2-1,-2≤x<-1-x2+1,-1≤x≤1(x-2)2-1,1
则f(x)=a+b=f(a+b)，所以f(x)=x对x∈-2,2均成立.
（ii）g(x1)-g(x2)af(x1)-af(x2)<1，化简得g(x1)-af(x1)>g(x2)-af(x2)，
则h(x)=g(x)-af(x)在-2≤x
即h(x)在定义域x∈-2,2上单调递减，所以t=2.
综上所述，t=a-42,0
1
2
3
4
会员人数y（千人）
28
40
58
82
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
D
A
D
A
题号
9
10
11
12
答案
ACD
ABD
AB
AD
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