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重庆市渝北区两江育才中学校2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（Word版附解析）
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这是一份重庆市渝北区两江育才中学校2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，则A的子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合并确定元素个数，即可判断子集个数.
【详解】由，即，
所以，共有3个元素，故A的子集个数为个.
故选：B
2. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.
【详解】解：为假命题,为真命题，可得，
又为真命题，可得，所以，
故选：B.
3. 若tanx＝，且－πA. {，}B. {，}
C. {，，－}D. {，，－}
【答案】C
【解析】
【分析】首先知道特殊角的三角函数，tanx＝，再根据题意得出答案.
【详解】∵tanx＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，
∴x＝kπ＋ ，k∈Z，又因为－π故选C
【点睛】本题考查了三角函数计算的问题，解题的关键是明确特殊角的三角函数值，属于基础题.
4. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】对每个选项中的两个函数的定义域、值域、对应关系进行分析，看是否完全相同即可得出结论.
【详解】根据题意可知，选项ABC中的两组函数定义域、值域、对应关系完全相同，故他们表示的是同一个函数，
而选项D中，的定义域为，而的定义域为，
显然两函数定义域不同，所以表示的不是同一个函数.
故选：D
5. 函数零点所在的区间为（ ）
A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解.
【详解】依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，
在为单调递减函数，
因为，所以，即
所以，
，
所以，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点.
故选：C.
6. 要得到函数的图象，只需将的图象
A. 同右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移变换即可得到平移的过程．
【详解】函数y＝sin（）＝sin（x），
只需将y＝sinx的图象向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（）的图象，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x的系数，属于基础题．
7. 已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以
所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，
因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以
故，
故选：B
【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果.
8. 已知实数，记函数构成的集合．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】因，，设，
则，，
即有，
所以，故D正确，
由于，则，即，
所以，所以，故C错误，
根据，，
无法得到，故A错误，
由于，所以，
又，故无法得到，所以B错误，
故选：D
【点睛】思路点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，且，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项不妨取推出矛盾即可；对于B选项利用正弦函数的不单调可以得出判断；对于C选项，利用指数函数的单调性给出判断即可，对于D选项，利用函数的单调性给出判断即可.
【详解】因，不妨取，则，故A错误；
因为正弦函数是周期函数不单调，所以由推不出，故B错误；
因为函数是单调减函数，所以由得到，故C正确；
因为函数，，所以在上单减，在上单增，所以由推不出，故D错误；
故选：ABD
【点睛】判断选项正确与否的题目往往采用两种办法，对于错误的举出反例即可，对于正确的选项要证明其一般性，经常是根据题设构造函数，利用函数的单调性判断即可.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 方程的各根之积等于各根之和
B. 方程在上的根共有6个
C. 方程在上的各根之和为
D. 图像上关于原点O对称的点共有4对
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用图像法对四个选项一一判断：
对于A：先判断出即为有两个根，直接计算；
对于B：由图像可得方程在上的根共有5个.即可判断；
对于C：直接求解即可；
对于D：利用图像法判断即可.
【详解】作出函数的图像如图示：
对于A：因为，所以即为有两个根，不妨设其为，且，则，所以；，即.
所以，所以，展开，解得：.
故A正确；
对于B：由图像可得：
方程在上的零点共有5个.（其中，而）.故B错误；
对于C：方程在上的根为，其和为.故C正确；
对于D：要求图像上关于原点O对称的点的个数，只需要观察的图像与关于原点对称的函数的图像的交点个数即可.
如图示：
由上图可知，两个图像交点个数为4，所以图像上关于原点O对称的点共有4对.故D正确.
故选：ACD
11. 已知，且，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是9D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】，且，
对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，所以A错误；
对于B，由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C正确；
对于D，由，
得，当且仅当时等号成立，
则的最小值是，所以D正确.
故选：BCD.
12. 函数在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 图像的一个对称中心为
C. 把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像
D. 的单调递增区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象有、、求参数，进而得，结合正弦型函数性质研究对称点、单调增区间，根据图象平移写出解析式判断各项正误.
【详解】由题设，则且，而，A正确；
将代入函数可得，即，则，
因为，所以，
综上，，
，故不是对称中心，B错误；
的图像先向左平移个单位长度，得，
再将曲线上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得，C正确；
令，则，
所以为的单调递增区间，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为求解集即可.
【详解】由题设，可得，
所以不等式解集为.
故答案为：
14. 已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式_________．
【答案】
【解析】
【分析】函数是奇函数，根据奇函数的概念求出函数的解析式．
【详解】解：（1）由题得，
设，则，
又是奇函数，，
故答案为：．
15. 已知函数，若对任意，有>0 或>0 成立，则实数 的取值范围是____________
【答案】-3【解析】
【分析】由题意可知时，成立，进而得到对均成立，得到满足的条件,求解不等式组可得结果.
【详解】
由 ,得，故对时，恒成立，
由 ,得，故对时，不成立，
从而对任意， 恒成立，
画出函数的图象，由图可知，
函数的图象开口向上，
且两个零点都大于1,
可得满足，解得，
则实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题主要考查指数函数、二次函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
16. 如果函数f (x)＝满足对任意，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由条件判断出在R上是增函数，所以需要满足和 单调递增，并且在处对应的值大于等于对应的值，解出不等式组即可.
【详解】对任意，都有>0，
所以在R上是增函数，
所以，解得，
故实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知=
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)=(2) =.
【解析】
【详解】试题分析：(1)=,展开代入各值即得解（2）==根据二倍角公式得出==,=代入各值即得解.
试题解析：
(1)=,
=,
(2)==
===,
==.
18. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2）奇函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；
（2）根据奇偶性的定义判断即可.
【小问1详解】
解：由，等价于，解得，
故函数的定义域为；
【小问2详解】
解：函数是奇函数，理由如下：
由（1）知，函数的定义域关于原点对称，且，
故函数为奇函数．
19. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．
（1）求扇形的周长；
（2）当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；
（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.
【小问1详解】
由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；
【小问2详解】
设，则，，
所以，
所以矩形的面积
，
，所以当时，取得最大值，
即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】20.
21. 证明见解析 22.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得；
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增；
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
小问1详解】
由于奇函数在处有定义，所以，
，所以，
经检验，此时满足为奇函数，所以.
因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）知.
任取、且，
所以，
因为，则，，
所以，则，
所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知在的最大值为
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
21. 函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像.
（1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
【答案】（1）取值范围；时，；时，；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式，由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出的范围及的值.
（2）令，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.
【详解】（1）根据图像可知
，
代入得，，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且，
，
方程恰好有两个不同的根，
的取值范围
令
对称轴为，
或
时，；时，.
（2）由（1）可知
，对任意都有恒成立
令，即在上恒成立，
是关于的二次函数，开口向上，则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.
22. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集，
（2）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意化简不等式得，从而分类讨论即可得解；
（2）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果.
【小问1详解】
因为，
所以由，得，
化简得，即，即，
当时，该不等式无解，
当时，不等式化为，解得或，
当时，不等式化为，解得或，
综上，当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为.
【小问2详解】
因为对任意的正实数，存在，使得，
所以，
易知当时，在上单调递增，
所以时，，且，
因为，所以，
当，即时，，
因为，所以，所以；
当，即时，令，得，
所以，故；
当，即时，所以，
因为，所以，所以；
综上，，所以的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论的正负情况，从而确定，由此得解.
1. 若集合，则A的子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合并确定元素个数，即可判断子集个数.
【详解】由，即，
所以，共有3个元素，故A的子集个数为个.
故选：B
2. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.
【详解】解：为假命题,为真命题，可得，
又为真命题，可得，所以，
故选：B.
3. 若tanx＝，且－π
C. {，，－}D. {，，－}
【答案】C
【解析】
【分析】首先知道特殊角的三角函数，tanx＝，再根据题意得出答案.
【详解】∵tanx＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，
∴x＝kπ＋ ，k∈Z，又因为－π
【点睛】本题考查了三角函数计算的问题，解题的关键是明确特殊角的三角函数值，属于基础题.
4. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】对每个选项中的两个函数的定义域、值域、对应关系进行分析，看是否完全相同即可得出结论.
【详解】根据题意可知，选项ABC中的两组函数定义域、值域、对应关系完全相同，故他们表示的是同一个函数，
而选项D中，的定义域为，而的定义域为，
显然两函数定义域不同，所以表示的不是同一个函数.
故选：D
5. 函数零点所在的区间为（ ）
A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解.
【详解】依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，
在为单调递减函数，
因为，所以，即
所以，
，
所以，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点.
故选：C.
6. 要得到函数的图象，只需将的图象
A. 同右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移变换即可得到平移的过程．
【详解】函数y＝sin（）＝sin（x），
只需将y＝sinx的图象向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（）的图象，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x的系数，属于基础题．
7. 已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以
所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，
因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以
故，
故选：B
【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果.
8. 已知实数，记函数构成的集合．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】因，，设，
则，，
即有，
所以，故D正确，
由于，则，即，
所以，所以，故C错误，
根据，，
无法得到，故A错误，
由于，所以，
又，故无法得到，所以B错误，
故选：D
【点睛】思路点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，且，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项不妨取推出矛盾即可；对于B选项利用正弦函数的不单调可以得出判断；对于C选项，利用指数函数的单调性给出判断即可，对于D选项，利用函数的单调性给出判断即可.
【详解】因，不妨取，则，故A错误；
因为正弦函数是周期函数不单调，所以由推不出，故B错误；
因为函数是单调减函数，所以由得到，故C正确；
因为函数，，所以在上单减，在上单增，所以由推不出，故D错误；
故选：ABD
【点睛】判断选项正确与否的题目往往采用两种办法，对于错误的举出反例即可，对于正确的选项要证明其一般性，经常是根据题设构造函数，利用函数的单调性判断即可.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 方程的各根之积等于各根之和
B. 方程在上的根共有6个
C. 方程在上的各根之和为
D. 图像上关于原点O对称的点共有4对
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用图像法对四个选项一一判断：
对于A：先判断出即为有两个根，直接计算；
对于B：由图像可得方程在上的根共有5个.即可判断；
对于C：直接求解即可；
对于D：利用图像法判断即可.
【详解】作出函数的图像如图示：
对于A：因为，所以即为有两个根，不妨设其为，且，则，所以；，即.
所以，所以，展开，解得：.
故A正确；
对于B：由图像可得：
方程在上的零点共有5个.（其中，而）.故B错误；
对于C：方程在上的根为，其和为.故C正确；
对于D：要求图像上关于原点O对称的点的个数，只需要观察的图像与关于原点对称的函数的图像的交点个数即可.
如图示：
由上图可知，两个图像交点个数为4，所以图像上关于原点O对称的点共有4对.故D正确.
故选：ACD
11. 已知，且，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是9D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】，且，
对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，所以A错误；
对于B，由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C正确；
对于D，由，
得，当且仅当时等号成立，
则的最小值是，所以D正确.
故选：BCD.
12. 函数在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 图像的一个对称中心为
C. 把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像
D. 的单调递增区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象有、、求参数，进而得，结合正弦型函数性质研究对称点、单调增区间，根据图象平移写出解析式判断各项正误.
【详解】由题设，则且，而，A正确；
将代入函数可得，即，则，
因为，所以，
综上，，
，故不是对称中心，B错误；
的图像先向左平移个单位长度，得，
再将曲线上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得，C正确；
令，则，
所以为的单调递增区间，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为求解集即可.
【详解】由题设，可得，
所以不等式解集为.
故答案为：
14. 已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式_________．
【答案】
【解析】
【分析】函数是奇函数，根据奇函数的概念求出函数的解析式．
【详解】解：（1）由题得，
设，则，
又是奇函数，，
故答案为：．
15. 已知函数，若对任意，有>0 或>0 成立，则实数 的取值范围是____________
【答案】-3
【分析】由题意可知时，成立，进而得到对均成立，得到满足的条件,求解不等式组可得结果.
【详解】
由 ,得，故对时，恒成立，
由 ,得，故对时，不成立，
从而对任意， 恒成立，
画出函数的图象，由图可知，
函数的图象开口向上，
且两个零点都大于1,
可得满足，解得，
则实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题主要考查指数函数、二次函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
16. 如果函数f (x)＝满足对任意，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由条件判断出在R上是增函数，所以需要满足和 单调递增，并且在处对应的值大于等于对应的值，解出不等式组即可.
【详解】对任意，都有>0，
所以在R上是增函数，
所以，解得，
故实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知=
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)=(2) =.
【解析】
【详解】试题分析：(1)=,展开代入各值即得解（2）==根据二倍角公式得出==,=代入各值即得解.
试题解析：
(1)=,
=,
(2)==
===,
==.
18. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2）奇函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；
（2）根据奇偶性的定义判断即可.
【小问1详解】
解：由，等价于，解得，
故函数的定义域为；
【小问2详解】
解：函数是奇函数，理由如下：
由（1）知，函数的定义域关于原点对称，且，
故函数为奇函数．
19. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．
（1）求扇形的周长；
（2）当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；
（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.
【小问1详解】
由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；
【小问2详解】
设，则，，
所以，
所以矩形的面积
，
，所以当时，取得最大值，
即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】20.
21. 证明见解析 22.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得；
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增；
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
小问1详解】
由于奇函数在处有定义，所以，
，所以，
经检验，此时满足为奇函数，所以.
因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）知.
任取、且，
所以，
因为，则，，
所以，则，
所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知在的最大值为
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
21. 函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像.
（1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
【答案】（1）取值范围；时，；时，；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式，由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出的范围及的值.
（2）令，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.
【详解】（1）根据图像可知
，
代入得，，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且，
，
方程恰好有两个不同的根，
的取值范围
令
对称轴为，
或
时，；时，.
（2）由（1）可知
，对任意都有恒成立
令，即在上恒成立，
是关于的二次函数，开口向上，则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.
22. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集，
（2）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意化简不等式得，从而分类讨论即可得解；
（2）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果.
【小问1详解】
因为，
所以由，得，
化简得，即，即，
当时，该不等式无解，
当时，不等式化为，解得或，
当时，不等式化为，解得或，
综上，当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为.
【小问2详解】
因为对任意的正实数，存在，使得，
所以，
易知当时，在上单调递增，
所以时，，且，
因为，所以，
当，即时，，
因为，所以，所以；
当，即时，令，得，
所以，故；
当，即时，所以，
因为，所以，所以；
综上，，所以的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键在于分类讨论的正负情况，从而确定，由此得解.
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