2023-2024学年河南省南阳市社旗县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市社旗县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次根式 1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 1.5B. 45C. 12D. x2+y2
3.下列二次根式中，与−5 2是同类二次根式的是( )
A. 18B. 0.2C. 20D. 32
4.下列运算正确的是( )
A. 3+ 3=3B. 4 5− 5=4C. 32÷ 8=4D. 3× 2= 6
5.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数a的取值有关
6.不解方程，3x2−5x−9=0的两个根的符号为( )
A. 同号B. 异号C. 两根都为正D. 不能确定
7.如图，在△ABC中，∠A=76°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系中，线段AB平移后得到线段A′B′，点A(2,1)的对应点A′(−2,−3)，则点B′(−6,−1)的对应点B的坐标为( )
A. (−10,−5)B. (−2,−1)C. (−2,3)D. (−6,3)
9.如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )
A. EDEA=EFEB
B. EDDA=DFCF
C. EDEF=BCCF
D. DFAB=EFBE
10.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为( )
A. 132
B. 7
C. 152
D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若 2a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值______ ．
12.已知关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是−1.请你写出一个符合条件的一元二次方程______ ．
13.如图，AD与BC相交于点O，如果AOAD=13，那么当BOCO的值是______时，AB/​/CD．
14.某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%.改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2023千克.已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率.若设：出油率的增长率为x，则根据题意，可列方程为：______ ．
15.矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：|−5|− 16+3−1；
(2)解方程：x2+2x−8=0．
17.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+k−1=0．
(1)若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
(2)求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
18.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,3)、C(2,1)．

(1)在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与△ABC位似比为2的位似图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
(2)求出△A1B1C1的面积．
19.(本小题9分)
有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．
(1)求剩余木料的面积；
(2)如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出______ 块这样的木条．
20.(本小题9分)
阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2−2a+5的最小值．方法如下：
∵a2−2a+5=a2−2a+1+4=(a−1)2+4，由(a−1)2≥0，得(a−1)2+4≥4；
∴代数式a2−2a+5的最小值是4．
(1)仿照上述方法求代数式x2+10x+7的最小值；
(2)代数式−a2−8a+16有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值．
21.(本小题9分)
学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE/​/BC.经测量，BC=120米，DE=200米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
22.(本小题10分)
“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为80元.经过市场调研，商家发现当售价为120元/件时，每天可售出20件；售价每降低2元，日销售量增加4件，为尽快减少库存，商家决定降价销售.设每件汉服降价x元；
(1)每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；(用含x的代数式表示)
(2)求每件汉服降价多少元时，平均每天可盈利1200元．
(3)若商家希望平均每天能盈利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
23.(本小题10分)
[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容．
(1)[问题解决]这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程；
(2)[拓展探究]如图②，在△ABC中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作DE/​/AC，DF/​/BC与边BC、AC分别相交于点E、F，若AC=6，BC=9.则四边形DECF的周长是______ ；
(3)如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC=3：2，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△AMB的面积为______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：二次根式 1−x在实数范围内有意义，
则1−x≥0，
解得：x≤1，
则实数x的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A． 1.5= 32=12 6，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 45=3 5，被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 12=12 2，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. x2+y2是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义(满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式)是解此题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．
将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与 2是同类二次根式，本题得以解决．
【解答】
解：∵ 18=3 2， 0.2= 55， 20=2 5， 32= 62，
∴与−5 2是同类二次根式的是 18，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式=2 3，故此选项不符合题意；
B、原式=3 5，故此选项不符合题意；
C、原式= 32÷8= 4=2，故此选项不符合题意；
D、原式= 3×2= 6，故此选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式加减法运算法则进行计算判断A和B，根据二次根式除法运算法则进行计算判断C，根据二次根式乘法运算法则进行计算判断D．
本题考查二次根式的运算，掌握合并同类二次根式的计算方法以及二次根式乘除法运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵Δ=(2a)2−4×1×(a2−1)
=4a2−4a2+4
=4>0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2−1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与根的解的关系”是解决本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程3x2−5x−9=0的二次项系数a=3，常数项c=−9，
∴x1⋅x2=ca=−93=−3<0，
∴一元二次方程3x2−5x−9=0的两个根x1、x2的符号是异号．
故选：B．
根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“x1⋅x2=ca”的公式是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、AB−1=3，AC−4=2，46=23，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵平移后，点A(2,1)的对应点A′(−2,−3)，
∴平移方式是将线段AB先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段A′B′，
∴点B′(−6,−1)的对应点B的坐标为(−2,3)，
故选：C．
根据点A和对应点A′的坐标得到平移方式，进而可得B′的对应点坐标．
本题考查坐标与图形变换−平移，根据已知对应点的坐标得到平移方式是解答的关键，注意是已知点B′的坐标求点B的坐标，不要弄错平移方向．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理．由四边形ABCD是平行四边形，可得CD/​/AB，AD//BC，CD=AB，AD=BC，然后根据相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC，
∴EDEA=EFEB，故A正确，
∵AD/​/BC，
∴△BCF∽△EDF，
∴DFCF=DEBC，
∵AD=BC，
∴EDDA=DFCF，故B正确；
∵△BCF∽△EDF，
∴EDBC=EFBF，
∴EDEF=BCBF，故C错误；
∵DF/​/AB，
∴DFAB=EFBE，故D正确．
10.【答案】C
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC=12×6=3，
∴△DEF∽BMF，
∴DEBM=DFBF=2BFBF=2，
∴BM=32，
CM=BC+BM=152．
故选：C．
根据三角形中中位线定理证得DE/​/BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
11.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】解： 2× 2=2，2是有理数．
则a的值为 2，
故答案为： 2(答案不唯一)．
根据算术平方根的定义进行解题即可．
本题考查算术平方根，熟记“整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数”的相关概念是解题的关键．
12.【答案】x2+x=0(答案不唯一)
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是−1．
∴两根之和为−1，两根之积为0，
设一元二次方程二次项的系数为1，
∴符合这样条件的方程为：x2+x=0(答案不唯一)．
故答案为：x2+x=0(答案不唯一)．
根据两根之和为−1，两根之积为0，可设一元二次方程二次项的系数为1，可得一次项系数为1，常数项为0，即可求得所求方程．
本题考查的是一元二次方程的解和根与系数的关系，若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q，反过来可得p=−(x1+x2)，q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
13.【答案】12
【解析】解：∵AOAD=13，
∴AODO=13−1=12．
若AODO=BOCO，则AB/​/CD，
∴当BOCO=12时，AB/​/CD．
故答案为：12．
由AOAD=13可得出AODO=12，再利用平行线分线段成比例的推论可得出当BOCO=12时AB/​/CD．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键．
14.【答案】3000×(1+2x)×55%×(1+x)=2023
【解析】解：出油率增长率为x，则公顷产量增长率为2x，依题意有：
3000×(1+2x)×55%×(1+x)=2023，
故答案为：3000×(1+2x)×55%×(1+x)=2023．
根据“出油率增加是每公顷产量增长率的一半”可得公顷产量增长率为2x，根据“原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%.改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2023千克”即可列出关于x的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
15.【答案】2或1+ 2
【解析】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND=90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴MN//AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN=DN，
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2；
如图2，当∠NMD=90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN，
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN= 2AB= 2，
∴AD=AN+DN=1+ 2，
综上所述，AD的长为2或1+ 2．
故答案为：2或1+ 2．
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND=90°时，如图2，当∠NMD=90°时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)|−5|− 16+3−1
=5−4+13
=1+13
=43；
(2)x2+2x−8=0，
(x+4)(x−2)=0，
∴x+4=0或x−2=0，
解得：x1=−4，x2=2．
【解析】(1)首先根据绝对值的意义，算术平方根的意义，负整数指数幂的意义分别进行化简，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解；
(2)根据因式分解法求解一元二次方程即可．
本题考查了绝对值，算式平方根，负整数指数幂，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握以上知识是解题的关键．
17.【答案】(1)解：把x=3代入方程可得9−3(k+2)+k−1=0，
解得k=1，
当k=1时，原方程为x2−3x=0，
∴x(x−3)=0，
解得x1=0，x2=3，
即方程的另一根为0；
(2)证明：∵Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×(k−1)=k2+8>0，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】(1)把x=3代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根；
(2)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=k2+8>0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．
本题考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了根的判别式．
18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，C1(−4,−2)．

(2)△A1B1C1的面积为4×4−12×2×4−12×2×2−12×2×4=6．
【解析】(1)根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接，并写出点C1的坐标；
(2)用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
19.【答案】3
【解析】解：(1)∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，
∴这两个正方形的边长分别为2 3dm和3 3dm，
∴原矩形木板的面积为3 3(2 3+3 3)=45(dm2)；
(2)最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵2 3≈3.464， 3≈1.732，
3.46÷1≈3(块)，
1.73÷1.5≈1(块)，
3×1=3(块)．
∴从剩余的木块(阴影部分)中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．
故答案为：3．
(1)根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
(2)求出2 3和 3的范围，根据题意解答．
本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵x2+10x+7=x2+10x+25−18=(x+5)2−18，由(x+5)2≥0，
得(x+5)2−18≥−18；
∴代数式x2+10x+7的最小值是−18；
(2)−a2−8a+16=−a2−8a−16+32=−(a+4)2+32，
∵−(a+4)2≤0，
∴−(a+4)2+32≤32，
∴代数式−a2−8a+16有最大值，最大值为32．
【解析】(1)仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
(2)利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可
本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
21.【答案】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，

∵DE/​/BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ACAE=120200=35，
∴ACCE=32，
∵AF⊥BC，EG⊥BC．
∴AF/​/EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴ACEC=AFEG，
即AF60=32，
解得AF=90．
答：桥AF的长度为90米．
【解析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出AECE=32，依据△ACF∽△ECG，即可得到AFEG=ACEC，进而得出AF的长．
本题主要考查了利用相似测量距离．正确构造直角三角形相似是解题关键．
22.【答案】(20+2x) (40−x)
【解析】解：(1)根据题意可得：每天可销售量为20+4×12x=(20+2x)件，
每件盈利120−80−x=(40−x)元；
故答案为：(20+2x)，(40−x)．
(2)根据题意，得：(20+2x)(40−x)=1200，
解得：x1=20，x2=10，
∵要扩大销售量，
∴x=20，
故每件汉服降价20元，每天盈利1200元；
(3)不能，理由如下：
根据题意，得：(20+2x)(40−x)=2000，
整理得：x2−30x+600=0，
∵Δ=(−30)2−4×600=−1500<0，
∴此方程无实数根，
故不可能做到每天盈利2000元．
(1)根据“每天可售出20件；售价每降低2元，日销售量增加4件”和“每件汉服降价x元”即可列出每天可销售量的代数式；根据“这款汉服每件进价为80元，售价为120元/件，每件汉服降价x元”即可列出每件盈利的代数式；
(2)结合(1)中的销售额和单件的利润，根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，求解，结合题意，取符合题意的值即可；
(3)结合(1)中的销售额和单件的利润，根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，根据根的判别式求出方程根的情况，即可判断得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题关键．
23.【答案】332 12
【解析】(1)证明：∵DE/​/BC，
∴∠AED=∠C，
∵EF//AB，
∴∠A=∠FEC，
∴△ADE∽△EFC．
(2)解：如图②，
∵D是边AB的四等分点，
∴ADAB=34，BDAB=14，
∵DF/​/BC，
∴DFBC=ADAB=34
∴DF9=34
∴DF=274，
∵DE/​/AC，
∴DEAC=BDAB=14，
∴DE6=14，
∴DE=32，
∵DF/​/BC，DE/​/AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴四边形DECF的周长为2(DE+DF)=2(32+274)=332，
故答案为：332；
(3)解：如图③，过点P作PH/​/AC交BN于点H，
∵PH//AC，
∴∠PHM=∠ANM，
∵∠PMH=∠AMN，AM=PM，
∴△PMH≌△AMN(AAS)，
∴MH=MN，
∵PM/​/CN，BP：PC=3：2，
∴BPCP=BHHN=32，
∴BMMN=41=4，
∴S△ABM=4S△AMN=12，
故答案为：12．
(1)根据平行线是性质得出∠AED=∠C，∠A=∠FEC，即可得出结论；
(2)根据D是边AB的四等分点得出ADAB=34，BDAB=14，再根据平行线分线段成比例得出比例式求出DF、DE的长即可求解；
(3)过点P作PH/​/AC交BN于点H，根据△PMH≌△AMN(AAS)得出MH=MN，由PM//CN，BP：PC=3：2，得出BMMN=41=4，即可求出结果．
本题属于相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解(3)的关键．例3已知：如图23.3.9，在△ABC中，DE/​/BC，EF/​/AB.求证：△ADE∽△EFC．