2023-2024学年湖南省长沙市长沙县百熙实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长沙县百熙实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.以下列各组线段长为边能组成三角形的是( )
A. 1，2，4B. 2，4，6C. 4，6，8D. 5，6，12
3.从五边形的一个顶点作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
4.如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 5
5.如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是( )
A. 76°
B. 81°
C. 92°
D. 104°
6.已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( )
A. 20B. 20或16C. 16D. 12
7.如图：AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有对全等三角形。( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A. BD=DC，AB=ACB. ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CADD. ∠B=∠C，BD=DC
9.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三条高所在直线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点
D. 以上都不对
10.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F.若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )
A. 4
B. 3
C. 6
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条，其中的数学原理是______．
12.如图，已知AE=AC，∠C=∠E，添加一个条件______ 判定△ABC≌△ADE．
13.正十边形的每个外角都等于______ 度．
14.用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是______ ．
15.如图，在△ABC中，∠A=25°，点D是AB延长线上一点，过点D作EF/​/BC.若∠ADE=70°，则∠C的度数为______ °.
16.如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为(接缝不计) ______ ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
若a，b，c为△ABC的三边长，若a，b满足|a−3|+(b−2)2=0，且c是整数，求c的值．
18.(本小题6分)
一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数。
19.(本小题8分)
如图，点B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，AB=DE，AC=DF.求证：AC/​/DF．
20.(本小题8分)
如图，△ADE≌△BCF，AD=8cm，CD=6cm，∠A=30°，∠E=80°．
(1)求BD的长．
(2)求∠BCF的度数．
21.(本小题6分)
如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=4，BC=5，AB=6．
(1)求△ABC的面积；
(2)求CE的长．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DE⊥AC，AD是∠BAC的平分线，∠B=54°，∠ADE=65°，求∠C的度数．
23.(本小题10分)
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC．
(2)请你判断AB、2CF与AC之间的数量关系，并说明理由．
24.(本小题10分)
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD．
(1)求证：△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
25.(本小题10分)
新定义计顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE.则
①∠BAD ______ ∠CAE(填>、<或=)
②连结线段BD和CE，则BD ______ CE(填>、<或=)
(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点，
①求∠BEC的大小；
②CE=2，求△ACE的面积；
(3)如图3，△FDC和△ADE互为“兄弟三角形”，DC=DF，DA=DE，∠FDC=∠ADE=90°，C、F、A三点在一条直线上，CD交AB于点B，B、F、E三点在一条直线上，AB=AC，∠CAB=90°，△BCF的面积为18，求AF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、1+2<4，不能组成三角形；
B、2+4=6，不能组成三角形；
C、4+6>8，能组成三角形
D、5+6<12，不能够组成三角形；
故选：C．
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
3.【答案】C
【解析】解：当n=5时，5−2=3．
即可以把这个五边形分成3个三角形，
故选：C．
从n边形的一个顶点出发有(n−3)条对角线，共分成(n−2)个三角形．
本题考查了多边形的对角线，注意n边形中的一些公式：从n边形的一个顶点出发有(n−3)条对角线，共分成(n−2)个三角形．
4.【答案】C
【解析】【分析】
根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【解答】
解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，
∴AC=AB=5，
∵AE=2，
∴EC=AC−AE=5−2=3，
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，
∴∠ABC=60°，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵∠BDC为△ABD外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，
故选：A．
由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC度数，再由BD为角平分线求出∠ABD度数，根据外角性质求出所求角度数即可．
此题考查了三角形内角和定理，以及外角性质，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：①当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当4为腰时，
其它两边为4和8，
∵4+4=8，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为20．
故选：A．
因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，
∴△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE(SAS)，
∴DE=BE，DC=BC，EC为公共边，
∴△DCE≌△BCE(SSS)．
所以共有3对三角形全等．
故选B．
根据AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，易证得△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE；由以上全等易证得△DCE≌△BCE(SSS)，即可得全等三角形的对数．
本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
依据全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】
解：A、依据SSS可知△ABD≌△ACD，故A不符合要求；
B、依据SAS可知△ABD≌△ACD，故B不符合要求；
C、依据AAS可知△ABD≌△ACD，故C不符合要求；
D、依据SSA无法判定△ABD≌△ACD，故D符合要求．
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
由三角形内心的性质，即可判断．
本题考查三角形的内心，角平分线的性质，关键是掌握三角形内心的性质．
10.【答案】B
【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2．
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，
∴7=12×4×2+12×AC×2，
解得AC=3．
故选：B．
首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式，从而求出AC的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11.【答案】三角形的稳定性
【解析】解：王师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12.【答案】∠B=∠D(答案不唯一)
【解析】解：添加一个条件∠B=∠D，判定△ABC≌△ADE，理由如下：
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠D∠C=∠EAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
故答案为：∠B=∠D(答案不唯一)．
由AAS证△ABC≌△ADE即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13.【答案】36
【解析】解：360°÷10=36°．
故答案为：36．
直接用360°除以10即可求出外角的度数．
本题主要考查了多边形的外角和等于360°，比较简单．
14.【答案】sss(边边边)
【解析】解：从作图可知OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
∵在△ODC和△O′D′C′中
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′(SSS)，
∴∠DOC=∠D′O′C′，
故答案为：SSS．
从作图可知OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，根据全等三角形的判定定理SSS推出△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和作图−基本作图，通过做此题培养了学生的作图能力、观察图形的能力和推理能力，题型比较好．
15.【答案】45
【解析】解：∵EF/​/BC，
∴∠CBD=∠ADE=70°．
∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠A+∠C，
∴∠C=∠CBD−∠A=70°−25°=45°．
故答案为：45．
由EF/​/BC，利用“两直线平行，内错角相等”，再利用三角形的外角性质，即可求出∠C的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
16.【答案】21
【解析】解：∵后面画出的图形与第一个图形完全一样
∴画第二个图形的时候，需往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用三个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格…
∴画第10个图时，网格的长为4+(1+3+1+3+1+3+1+3+1)=21个．
观察图形，发现：以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用3个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格，以此类推，则画10个图，需要4+1+3+1+3+1+3+1+3+1=21个．
本题考查的是全等图形的作图，根据图形观察发现画下一个图的时候，共需要的格数，一定要找清规律．
17.【答案】解：∵|a−3|+(b−2)2=0，
∴a−3=0，b−2=0，
解得a=3，b=2，
∵3−2=1，3+2=5，
∴1∴c=2，3，4．
【解析】根据非负数的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
18.【答案】解：设这个多边形的边数为n
∵n边形的内角和为(n−2)⋅180°，多边形的外角和为360°
∴(n−2)⋅180°=360°×3
解得n=8
∴此多边形的边数为8
【解析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的3倍，则内角和是3×360=1080°。n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数。
19.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC/​/DF．
【解析】根据是SSS证明△ABC和△DEF全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明两个三角形全等．
20.【答案】解：(1)∵△ADE≌△BCF，AD=8cm，
∴BC=AD=8cm，
又∵CD=6cm，
∴BD=BC−CD=8−6=2(cm)；
(2)∵△ADE≌△BCF，∠A=30°，∠E=80°，
∴∠B=∠A=30°，∠F=∠E=80°，
∴∠BCF=180°−(∠B+∠F)=180°−(30°+80°)=70°．
【解析】(1)由全等三角形的性质得BC=AD=8cm，然后根据BD=BC−CD可得出答案；
(2)由全等三角形的性质得∠B=∠A=30°，∠F=∠E=80°，然后根据三角形的内角和定理可求出∠BCF的度数．
此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；三角形的内角和等于180°是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AD是△ABC的高，BC=5，
∴△ABC的面积为：12BC⋅AD=12×5×4=10；
(2)∵CE是△ABC的高，AB=6，△ABC的面积为10，
∴12AB⋅CE=10，
即12×6⋅CE=10，
∴CE=103．
【解析】(1)根据三角形面积公式计算即可；
(2)结合(1)中的面积利用三角形面积公式即可求出CE的长．
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积计算公式是解题的关键．
22.【答案】解：∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=90°−65°=25°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠DAE2×25°=50°．
在△ABC中，∠B=54°，∠BAC=50°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−54°−50°=76°．
【解析】由DE⊥AC，可得出∠AED=90°，结合三角形内角和定理，可求出∠DAE的度数，由AD是∠BAC的平分线，利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠C的度数．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：AB+2CF=AC，理由如下：
由(1)可知，Rt△BED≌Rt△CFD，
∴DE=DF，CF=BE，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵AE=AB+BE，AF+CF=AC，
∴AB+BE+CF=AC，
∴AB+2CF=AC．
【解析】(1)证Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，得出DE=DF，再由角平分线的判定即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得DE=DF，CF=BE，再证Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，得AE=AF，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠FCD，
在△ABD和△CFD中，
∠ADB=∠CDFAD=DC∠BAD=∠DCF，
∴△ABD≌△CFD(ASA)，
(2)∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC−CD=2，
∴AF=AD−DF=5−2=3．

【解析】(1)由ASA证明△ABD≌△CFD即可；
(2)根据全等三角形的性质即可解决问题；
此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
25.【答案】= =
【解析】解：(1)①∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC，∠EAC+∠CAD=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
故答案为：=；
②在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：=；
(2)①∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠ABD=135°，
由(1)②知，△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=135°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=90°；
②过A作AM⊥DE于M，过C作CN⊥AE于N，如图：
由①知，∠BEC=90°，
∴CE⊥DE，
∴AM//CE，
又∵F是AC中点，
∴AM=CE=2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AE= 2AM=2 2，
∵∠AEC=135°，
∴∠CEN=45°，
∴CN= 22CE= 2，
∴△ACE的面积为：12×2 2× 2=2；
(3)连接CE，如图3所示：
∵∠BAC=∠ADE=90°且CD⊥DF，
∴∠CDE=∠FDA
在△CDE和△FDA中
CD=FD∠CDE=∠FDADE=DA，
∴△CDE≌△FDA(SAS)，
∴CE=AF，∠DCE=∠AFD，
∵DC=DF，CD⊥DF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠DCF=∠CFD=45°，
∴∠AFD=180°−45°=135°，
∴∠DCE=∠AFD=135°，
∴∠ECA=135°−45°=90°，
∴∠ACE=∠BAC=90°，
∴CE/​/AB，
∴S△ACE=S△ECB，
∵△CEF是公共部分，
∴S△AEF=S△CFB=18，
设AF的长度为a，
则S△AEF=a22=18，
解得：a=6(负值已舍去)，
故AF的长度为6．
(1)①由角的数量关系可求解；②由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE；
(2)①由全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB=135°，即可求解；②由等腰直角三角形的性质可求AE，CN的长，即可求解；
(3)连接EC，首先得到∠CDE=∠FDA，然后证明出△CDE≌△FDA(SAS)，然后得到S△AEF=S△CFB=18，设AF的长度为a，列方程求解即可．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．